理科數(shù)學
2013．05
全卷分兩部分：第一部分為所有考生必做部分（滿分160分，考試時間120分鐘），第二部分為選修物理考生的加試部分（滿分40分，考試時間30分鐘）．
注意事項：
1．答卷前，請考生務必將自己的學校、姓名、考試號等信息填寫在答卷規(guī)定的地方．
2．第一部分試題答案均寫在答題卷相應位置，答在其它地方無效．
3．選修物理的考生在第一部分考試結束后，將答卷交回，再參加加試部分的考試．
第一部分
一、題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置上）
1．已知集合 ，則 ▲ ．
2．若復數(shù) 是實數(shù)，則 ▲ ．
3．已知某一組數(shù)據(jù) ，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則其方差為 ▲ ．
4．若以連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù) 分別作為點P的橫、縱坐標，則點P在直線 上的概率為 ▲ ．
5．運行如圖語句，則輸出的結果T＝ ▲ ．
6．若拋物線 的焦點與雙曲線 的右焦點重合，則雙曲線的離心率為 ▲ ．
7．已知一個圓錐的底面圓的半徑為1，體積為 ，則該圓錐的側面積為 ▲ ．
8．將函數(shù) 的圖象向左平移 個單位得到函數(shù) 的圖象，若 在 上為增函數(shù)，則 最大值為 ▲ ．
9．已知O是坐標原點，點 ，若點 為平面區(qū)域 上的一個動點，則 的取值范圍是 ▲ ．
10．數(shù)列 中， ， （ 是常數(shù)， ），且 成公比不為 的等比數(shù)列，則 的通項公式是 ▲ ．
11．若對任意 ，不等式 恒成立，則實數(shù) 的范圍 ▲ ．
12．函數(shù) 的圖象上關于原點 對稱的點有 ▲ ．對.
13．在平面直角坐標系 中，已知點 是橢圓 上的一個動點，點P在線段 的延長線上，且 ，則點P橫坐標的最大值為 ▲ ．
14．從 軸上一點A分別向函數(shù) 與函數(shù) 引不是水平方向的切線 和 ，兩切線 、 分別與 軸相交于點B和點C，O為坐標原點，記△OAB的面積為 ，△OAC的面積為 ，則 + 的最小值為 ▲ ．
二、解答題：（本大題共6道題，計90分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（本小題滿分14分）
已知函數(shù) .
（1）求 的最小正周期；
（2）在 中， 分別是 A、 B、 C的對邊，若 ， ， 的面積為 ，求 的值.
16．（本小題滿分14分）
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直線A1B上．
（1）求證：平面A1BC⊥平面ABB1A1；
（2）若 ，AB=BC=2，P為AC中點，求三棱錐 的體積。
17．（本小題滿分15分）
某地區(qū)注重生態(tài)環(huán)境建設，每年用于改造生態(tài)環(huán)境總費用為 億元，其中用于風景區(qū)改造為 億元。該市決定建立生態(tài)環(huán)境改造投資方案，該方案要求同時具備下列三個條件：①每年用于風景區(qū)改造費用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費用增加而增加；②每年改造生態(tài)環(huán)境總費用至少 億元，至多 億元；③每年用于風景區(qū)改造費用不得低于每年改造生態(tài)環(huán)境總費用的15%，但不得每年改造生態(tài)環(huán)境總費用的22%。
（1）若 ， ，請你分析能否采用函數(shù)模型y＝ 作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案；
（2）若 、 取正整數(shù)，并用函數(shù)模型y＝ 作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案，請你求出 、 的取值．
18．（本小題滿分15分）
橢圓 的右焦點為 ，右準線為 ，離心率為 ，點 在橢圓上，以 為圓心， 為半徑的圓與 的兩個公共點是 ．
（1）若 是邊長為 的等邊三角形，求圓的方程；
（2）若 三點在同一條直線 上，且原點到直線 的距離為 ，求橢圓方程．
19．（本小題滿分16分）
已知函數(shù) ， ，（ ）．
（1）求函數(shù) 的極值；
（2）已知 ，函數(shù) ， ，判斷并證明 的單調性；
（3）設 ，試比較 與 ，并加以證明．
20．（本小題滿分16分）
設滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列 為 階“期待數(shù)列”：
① ；② ．
（1）若等比數(shù)列 為 ( )階“期待數(shù)列”，求公比 ；
（2）若一個等差數(shù)列 既是 ( )階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式；
（3）記 階“期待數(shù)列” 的前 項和為 ：
（?）求證： ；
（?）若存在 使 ，試問數(shù)列 能否為 階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請說明理由．
第二部分（加試部分）
（總分40分，加試時間30分鐘）
注意事項：
答卷前，請考生務必將自己的學校、姓名、考試號等信息填寫在答題卷上規(guī)定的位置．解答過程應寫在答題卷的相應位置，在其它地方答題無效．
21．B 選修4 - 2：矩陣與變換（本題滿分10分）
已知矩陣 ，向量 ．求向量 ，使得 ．
21．C 選修4 - 4：坐標系與參數(shù)方程（本題滿分10分）
在直角坐標系 內，直線 的參數(shù)方程為 為參數(shù) ．以 為極軸建立極坐標系，圓 的極坐標方程為 .判斷直線 和圓 的位置關系.
22．（本題滿分10分）
某高校設計了一個實驗學科的實驗考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作。規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過。已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成。
（1）求出甲考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計算數(shù)學期望；
（2）若考生乙每題正確完成的概率都是 ，且每題正確完成與否互不影響。試從至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實驗操作能力．
23．（本題滿分10分）
（1）設 ，試比較 與 的大�。�
（2）是否存在常數(shù) ，使得 對任意大于 的自然數(shù) 都成立？若存在，試求出 的值并證明你的結論；若不存在，請說明理由。
參考答案
第一部分
2013．05
1． 2． 3． 24．
5．6256． 7． 8．
9． 10． 11．
12．3
13．
提示：設 ，由 ，得 ，
= = = ，
研究點P橫坐標的最大值，僅考慮 ，
（當且僅當 時取“=”）．
14．8
提示： ，設兩切點分別為 ， ，（ ， ），
： ，即 ，令 ，得 ；
令 ，得 ．
： ，即 ，令 ，得 ；令 ，得 ．
依題意， ，得 ，
+ = = = ，
= ，可得當 時， 有最小值8．
15． 解：（1）
4分
6分
（2）由 ， ，
又 的內角， ，
， 8分
， ， ， 11分
， 14分
16．證：直三棱柱ABC-A1B1C1中，A A1⊥平面ABC，
∴A A1⊥BC，
∵AD⊥平面A1BC，
∴AD⊥BC，
∵A A1 ，AD為平面ABB1A1內兩相交直線，
∴BC⊥平面ABB1A1，
又∵ 平面A1BC，
∴平面A1BC⊥平面ABB1A1
7分
(2) 由等積變換得 ，
在直角三角形 中，由射影定理( )知 ，
∵ ，
∴三棱錐的高為 10分
又∵底面積 12分
∴ = 14分
法二：連接 ，取 中點 ，連接 ，∵P為AC中點，
, , 9分
由（1）AD⊥平面A1BC，∴ ⊥平面A1BC，
∴ 為三棱錐P- A1BC的高，11分
由（1）BC⊥平面ABB1A1 ， 12分
，14分
17．解：（1）∵ ，
∴函數(shù)y＝ 是增函數(shù)，滿足條件①。3分
設 ，
則 ，
令 ，得 。
當 時， ， 在 上是減函數(shù)；
當 時， ， 在 上是增函數(shù)，
又 ， ，即 ， 在 上是增函數(shù)，
∴當 時， 有最小值0.16=16%>15%，
當 時， 有最大值0.1665=16.65%<22%,
∴能采用函數(shù)模型y＝ 作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案。9分
（2）由(1)知 ，
依題意，當 ， 、 時， 恒成立；
下面求 的正整數(shù)解。
令 ，12分
由(1)知 ， 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)，
又由（1）知，在 時， ，且 =16%∈[15%，22%]，
合條件，經(jīng)枚舉 ， ∈[15%，22%]，
而 [15%，22%]，可得 或 或 ，
由 單調性知 或 或 均合題意。15分
18．解：設橢圓的半長軸是 ，半短軸是 ，半焦距離是 ，
由橢圓 的離心率為 ，可得橢圓 方程是 ，2分
（只要是一個字母，其它形式同樣得分，）
焦點 ，準線 ，設點 ，
（1） 是邊長為 的等邊三角形，
則圓半徑為 ，且 到直線 的距離是 ，
又 到直線 的距離是 ，
所以， ， ，
所以
所以，圓的方程是 。6分
（2）因為 三點共線，且 是圓心，所以 是線段 中點，
由 點橫坐標是 得， ，8分
再由 得： ， ，
所以直線 斜率 10分
直線 ： ， 12分
原點 到直線 的距離 ，
依題意 ， ，所以 ，
所以橢圓的方程是 ．15分
19．解：（1） ，令 ，得 ．
當 時， ， 是減函數(shù)；
當 時， ， 是增函數(shù)．
∴當 時， 有極小值 ， 無極大值．4分
（2）
= = ，
由（1）知 在 上是增函數(shù)，
當 時， ，
即 ，
∴ ，即 在 上是增函數(shù)．10分
（3） ，由（2）知， 在 上是增函數(shù)，
則 ，
令 得， ．16分
20．解：（1）若 ，則由① =0，得 ，
由②得 或 ．
若 ，由①得， ，得 ，不可能．
綜上所述， ．
（2）設等差數(shù)列 的公差為 ， >0．
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ >0，由 得 ， ，
由題中的①、②得 ，
，
兩式相減得， ， ∴ ，
又 ，得 ，
∴ ．
（3）記 ， ，…， 中非負項和為 ，負項和為 ，
則 ， ，得 ， ，
（?） ，即 ．
（?）若存在 使 ，由前面的證明過程知：
， ，…， ， ， ，…， ，
且 … ．
記數(shù)列 的前 項和為 ，
則由（?）知， ，
∴ = ，而 ，
∴ ，從而 ， ，
又 … ，
則 ，
∴ ，
與 不能同時成立，
所以，對于有窮數(shù)列 ，若存在 使 ，則數(shù)列 和數(shù)列 不能為 階“期待數(shù)列”．
第二部分（加試部分）
21．B 解： ，4分
設 ，由 得 ，
即 ，8分
解得 ，所以 10分
21．C 解: 將 消去參數(shù) ，得直線 的直角坐標方程為 ； 3分
由 ,即 ，
兩邊同乘以 得 ，
所以⊙ 的直角坐標方程為： 7分
又圓心 到直線 的距離 ，
所以直線 和⊙ 相交． 10分
22．解：（Ⅰ）設考生甲正確完成實驗操作的題數(shù)分別為 ，
則 ，所以 ， 2分
所以考生甲正確完成實驗操作的題數(shù)的概率分布列為：
123
；4分
（Ⅱ）設考生乙正確完成實驗操作的題數(shù)為 ，則
，所以 ， 6分
又 且 ，8分
從至少正確完成2題的概率考察，甲通過的可能性大，
因此可以判斷甲的實驗操作能力較強。10分
23．解：（Ⅰ）設 ，則 ，
當 時， ， 單調遞減；
當 時， ， 單調遞增；
故函數(shù) 有最小值 ，則 恒成立4 分
（Ⅱ）取 進行驗算：
猜測：① ，
②存在 ，使得 恒成立。6分
證明一：對 ，且 ，
有
又因 ，
故 8分
從而有 成立，即
所以存在 ，使得 恒成立 10分
證明二：
由（1）知：當 時， ，
設 ， ，
則 ，所以 ， ， ，
當 時，再由二項式定理得：
即 對任意大于 的自然數(shù) 恒成立，8分
從而有 成立，即
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