2013屆高三數(shù)學(xué)章末綜合測試題（15）平面解析幾何（1）

一、(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．已知圓x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圓心在直線x＋y＝1上，則D與E的關(guān)系是(　　)
A．D＋E＝2 B．D＋E＝1
C．D＋E＝－1 D．D＋E＝－2[X k b 1 . c o
　解析　D　依題意得，圓心－D2，－E2在直線x＋y＝1上，因此有－D2－E2＝1，即D＋E＝－2.
2．以線段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)為直徑的圓的方程為(　　)
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 　B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 　D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
　解析　B　直徑的兩端點(diǎn)為(0,2)，(2,0)，∴圓心為(1,1)，半徑為2，圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3．已知F1、F2是橢圓x24＋y2＝1的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上一動點(diǎn)，則使PF1•PF2取最大值的點(diǎn)P為(　　)
A．(－2,0) B．(0,1) C．(2,0) D．(0,1)和(0，－1)
　解析　D　由橢圓定義，PF1＋PF2＝2a＝4，∴PF1•PF2≤PF1＋PF222＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)PF1＝PF2，即P(0，－1)或(0,1)時(shí)，取“＝”．
4．已知橢圓x216 ＋y225＝1的焦點(diǎn)分別是F1、F2，P是橢圓上一點(diǎn)，若連接F1、F2、P三點(diǎn)恰好能構(gòu)成直角三角形，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是(　　)
A.165 B．3 C.163 D.253
　解析　A　橢圓x216＋y225＝1的焦點(diǎn)分別為F1(0，－3)、F2(0,3)，易得∠F1PF2<π2，∴∠PF1F2＝π2或∠PF2F1＝π2，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d＝ xp，又yp＝3，x2p16＋y2p25＝1，解得xP＝165，故選A.
5．若曲線y＝x2的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為(　　)
A．4x＋y＋4＝0 B．x－4y－4＝0
C．4x－y－12＝0 D．4x－y－4＝0
　解析　D　設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則y′x＝x0＝2x0， ∴2x0＝4，即x0＝2，
∴切點(diǎn)為(2,4)，方程為y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.
6．“>n>0”是“方程x2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
　解析　C　方程可化為x21＋y21n＝1，若焦點(diǎn)在y軸上，則1n>1>0，即>n>0.
7．設(shè)雙曲線x2a2－y2b2＝1的一條漸近線與拋物線y＝x2＋1只有一個公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為(　　)
A.54 B．5 C.52 D.5
　解析　D　雙曲線的漸近線為y＝±bax，由對稱性，只要與一條漸近線有一個公共點(diǎn)
即可由y＝x2＋1，y＝bax，得x2－bax＋1＝0.
∴Δ＝b2a2－4＝0，即b2＝4a2，∴e＝5.
8．P為橢圓x24＋y23＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為該橢圓的兩個焦點(diǎn)，若∠F1PF2＝60°，則PF1→•PF2→＝(　　)
A．3 B.3
C．23 D．2
　解析　D　∵S△PF1F2＝b2tan60°2＝3×tan 30°＝3＝12PF1→•PF2→•sin 60°，∴PF1→PF2→＝4，∴PF1→•PF2→＝4×12＝2.
9．設(shè)橢圓x22＋y2n2＝1(>0，n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)相同，離心率為12，則此橢圓的方程為(　　)
A.x212＋y216＝1 B.x216＋y212＝1
C.x248＋y264＝1 D.x264＋y248＝1
　解析　B　拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)，∴由題意得c＝2，c＝12，
∴＝4，n2＝12，∴方程為x216＋y212＝1.
10．設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點(diǎn)，且與C的 一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，AB為C的實(shí)軸長的2倍，則C的離心率為(　　)
A.2 B.3
C．2 D．3
　解析　B　設(shè)雙曲線C的方程為x2a2－y2b2＝1，焦點(diǎn)F(－c，0)，將x＝－c代入x2a2－y2b2＝
1可得y2＝b4a2，∴AB＝2×b2a＝2×2a，∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝ca＝3.
11．已知拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線過雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左頂點(diǎn)，且此雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，則雙曲線的焦距為(　　)
A.5 B．25
C.3 D．23
　解析　B　∵拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線x＝－1過雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左頂點(diǎn)，∴a＝1，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±bax＝±bx.∵雙 曲線的一條漸近線方程為y＝2x，∴b＝2，∴c＝a2＋b2＝5，∴雙曲線的焦距為25.
12．已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)(1，)(>0)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線x2a－y2＝1的左頂點(diǎn)為 A，若雙曲線的一條漸近線與直線A平行，則實(shí)數(shù)a的值為(　　)
A.19 B.14
C.13 D.12
　解析　A　由于(1，)在拋物線上，∴2＝2p，而到拋物線的焦點(diǎn)的距離為5，根據(jù)拋物線的定義知點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線x＝－p2的距離也為5，∴1＋p2＝5，∴p＝8，由此可以求得＝4，雙曲線的左頂點(diǎn)為A(－a，0)，∴kA＝41＋a，而雙曲線的漸近線方程為y＝±xa，根據(jù)題意得，41＋a＝1a，∴a＝19.
二、題(本大題共4小題，每小題5分， 共20分．把答案填在題中橫線上)
13．已知直線l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－(a－1)y＋2＝0(a∈R)，則l1⊥l2的充要條件是a＝________.
　解析　l1⊥l2⇔a•2a－1＝－1，解得a＝13.
【答案】　13
14．直線l：y＝k(x＋3)與圓O：x2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，AB＝22，則實(shí)數(shù)k＝________.
　解析　∵AB＝22，圓O半徑為2，∴O到l的距離d＝22－2＝2.即3kk2＋1＝2，解得k＝± 147.
【答案】　±147
15．過原點(diǎn)O作圓x2＋y2－6x－8y＋20＝0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P、Q，則線段PQ的長為________．
　解析　如圖，圓的方程可化為
(x－3)2＋(y－4)2＝5，
∴O＝5，OQ＝25－5＝25.
在△OQ中，
12QA•O＝12OQ•Q，
∴AQ＝25×55＝2，∴PQ＝4.
【答案】　4
16．在△ABC中，BC→＝4，△ABC的內(nèi)切圓切BC于D點(diǎn)，且BD→－CD→＝22，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為________．

　解析　以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，中垂線為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，E、F分別為兩個切點(diǎn)．
則BE＝BD，CD＝CF，
AE＝AF.∴AB－AC＝22，
∴點(diǎn)A的軌跡為以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(y≠0)，且a＝2，c＝2，∴b＝2，∴方程為x22－y22＝1(x>2)．
【答案】　x22－y22＝1(x>2)
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出字說明、證明過程或演算步驟)
17．(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在直線y＝x＋4上，半徑為22的圓C經(jīng)過原點(diǎn)O.
(1)求圓C的方程；
(2)求經(jīng)過點(diǎn)(0,2)且被圓C所截得弦長為4的直線方程．
　解析　(1)設(shè)圓心為(a，b)，
則b＝a＋4，a2＋b2＝22，解得a＝－2，b＝2，
故圓的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)當(dāng)斜率不存在時(shí)，x＝0，與圓的兩個交點(diǎn)為(0,4)，(0,0)，則弦長為4，符合題意；
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線為y－2＝kx，
則由題意得，8＝4＋－2k1＋k22，無解．
綜上，直線方程為x＝0.
18．(12分)(2011•合肥一模)橢圓的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(－3，0)和F2(3，0)，且橢圓過點(diǎn)1，－32.
(1)求橢圓方程；
(2)過點(diǎn)－65，0作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于，N兩點(diǎn)，A為橢圓的左頂點(diǎn)．試判斷∠AN的大小是否為定值，并說明理由．
　解析　(1)設(shè)橢圓方程為x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，
由c＝3，橢圓過點(diǎn)1，－32可得a2－b2＝3，1a2＋34b2＝1，
解得a2＝4，b2＝1，所以可得橢圓方程為x24＋y2＝1.
(2)由題意可設(shè)直線N的方程為：x＝ky－65，
聯(lián)立直線N和橢圓的方程：x＝ky－65，x24＋y2＝1，化簡得(k2＋4)y2－125ky－6425＝0.
設(shè)(x1，y1)，N(x2，y2)，
則y1y2＝－6425k2＋4，y1＋y2＝12k5k2＋4，
又A(－2,0)，則A→•AN→＝(x1＋2，y1)•(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1625＝0，所以∠AN＝π2.
19．(12分)已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個頂點(diǎn)到兩個焦 點(diǎn)的距離分別為7和1.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若P為橢圓C上的動點(diǎn)，為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，OPO＝e(e為橢圓離心率)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．
　解析　(1)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為a，c，
由已知，得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3.
∴橢圓方程為x216＋y27＝1.
(2)設(shè)(x，y)，P(x，y1)，其中x∈[－4,4]，
由已知得x2＋y21x2＋y2＝e2，而e＝34，
故16(x2＋y21)＝9(x2＋y2)，①
由點(diǎn)P在橢圓C上，得y21＝112－7x216，
代入①式并化簡，得9y2＝112.
∴點(diǎn)的軌跡方程為y＝±473(－4≤x≤4)，
∴軌跡是兩條平行于x軸的線段．
20．(12分)給定拋物線y2＝2x，設(shè)A(a,0)，a>0，P是拋物線上的一點(diǎn)，且PA＝d，試求d的最小值．
　解析　設(shè)P(x0，y0)(x0≥0)，則y20＝2x0，
∴d＝PA＝x0－a2＋y20＝x0－a2＋2x0＝[x0＋1－a]2＋2a－1.
∵a>0，x0≥0，
∴(1)當(dāng)0<a<1時(shí)，1－a>0，
此時(shí)有x0＝0時(shí)，din＝1－a2＋2a－1＝a；
(2)當(dāng)a≥1時(shí)，1－a≤0，
此時(shí)有x0＝a－1時(shí)，din＝2a－1.
21．(12分)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為2，且過點(diǎn)(4，－10)，點(diǎn)(3，)在雙曲線上．
(1)求雙曲線方程；
(2)求證：點(diǎn)在以F1F2為直徑的圓上；
(3)求△F1F2的面積．
　解析　(1)∵雙曲線離心率e＝2，
∴設(shè)所求雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，
則由點(diǎn)(4，－10)在雙曲線上，
知λ＝42－(－10)2＝6，
∴雙曲線方程為x2－y2＝6.
(2)若點(diǎn)(3，)在雙曲線上，則32－2＝6，∴2＝3，由雙曲線x2－y2＝6知F1(23，0)，F(xiàn)2(－23，0)，
∴F1→•F2→＝(23－3，－)•(－23－ 3，－)＝2－3＝0，
∴F1→⊥F2→，故點(diǎn)在以F1F2為直徑的圓上．
(3)S△F1F2＝12F1F2•＝23×3＝6.
22．(12分)已知實(shí)數(shù)>1，定點(diǎn)A(－,0)，B(,0)，S為一動點(diǎn)，點(diǎn) S與A，B兩點(diǎn)連線斜率之積為－12.
(1)求動點(diǎn)S的軌跡C的方程，并指出它是哪一種曲線；
(2)當(dāng)＝2時(shí)，問t取何值時(shí)，直線l：2x－y＋t＝0(t>0)與曲線C有且只有一個交點(diǎn)？
(3)在(2)的條件下，證明：直線l上橫坐標(biāo)小于2的點(diǎn)P到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線x＝2的距離之比的最小值等于曲線C的離心率．
　解 析　(1)設(shè)S(x，y)，則kSA＝y(tǒng)－0x＋，kSB＝y(tǒng)－0x－.
由題意，得y2x2－2＝－12，即x22＋y2＝1(x≠±)．
∵>1，
∴軌跡C是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去x軸上的兩頂點(diǎn))，其中長軸長為2，短軸長為2.
(2)當(dāng)＝2時(shí)，曲線C的方程為x22＋y2＝1(x≠±2)．
由2x－y＋t＝0，x22＋y2＝1，消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.
令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3.
∵t>0，∴t＝3.
此時(shí)直線l與曲線C有且只有一個公共點(diǎn)．
(3)由(2)知直線l的方程為2x－y＋3＝0，
設(shè)點(diǎn)P(a,2a＋3)(a<2)，d1表示P到點(diǎn)(1,0)的距離，d2表示P到直線x＝2的距離，則
d1＝a－12＋2a＋32＝5a2＋10a＋10，
d2＝2－a，
∴d1d2＝5a2＋10a＋102－a＝5×a2＋2a＋2a－22.
令f(a)＝a2＋2a＋2a－22，
則f′(a)＝2a＋2a－22－2a2＋2a＋2a－2a－24
＝－6a＋8a－23.
令f′(a)＝0，得a＝－43.
∵當(dāng)a<－43時(shí)，f′(a)<0；
當(dāng)－43<a<2時(shí)，f′(a)>0.
∴f(a)在a＝－43時(shí)取得最小值，即d1d2取得最小值，
∴d1d2in＝5•f－43＝22，
又橢圓的離心率為22，
∴d1d2的最小值等于橢圓的離心率．

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