1．正數(shù)與負(fù)數(shù)
零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)．
2．?dāng)?shù)軸
規(guī)定了原點(diǎn)、方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸．任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示，而且原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示的數(shù)是負(fù)數(shù)，原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示的數(shù)是正數(shù)，原點(diǎn)本身表示的數(shù)是0．
3．相反數(shù)
如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么我們稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．特別地，0的相反數(shù)是0．從數(shù)軸上看，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且與原點(diǎn)的距離相等．@
（1）通常用a與−a表示一對(duì)相反數(shù)．
（2）a與b互為相反數(shù) ．
（3）互為相反數(shù)的絕對(duì)值相等．即 = .
（4） = a=b或a=−b（a與b互為相反數(shù)）.
4．絕對(duì)值
從數(shù)軸上看，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.
=
5．有理數(shù)的大小比較
（1）利用數(shù)軸比較大�。簲�(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．于是：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)．
（2）通用法則：兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而�。�
6．倒數(shù)
（1）乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．
（2）0沒有倒數(shù)．通常用a(a 0)與 表示一對(duì)倒數(shù)．
（3）相反數(shù)等于它本身的數(shù)是0；倒數(shù)等于它本身的數(shù)是±1；絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)．
7．有理數(shù)的加法
（1）同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加．
（2）絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0．一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．
8．有理數(shù)的減法
減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即a－b=a+（ ）．
9．有理數(shù)的乘法
兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘．任何數(shù)同0相乘，都得0．幾個(gè)不為0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)．
10．有理數(shù)的除法
除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．兩數(shù)相除，同號(hào)得得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．
11．有理數(shù)的乘方
求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，a 讀作a的n次方或a的n次冪．負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．
12．有理數(shù)的運(yùn)算律
（1）加法交換律：a+b=b+a；
（2）加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）；
（3）乘法交換律：ab=ba；
（4）乘法結(jié)合律：（ab）c=a（bc）；
（5）分配律：a（b+c）=ab+ac．
13．有理數(shù)的運(yùn)算順序
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加減．
（2）同級(jí)運(yùn)算，按從左到右順序進(jìn)行．
（3）如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按大括號(hào)、中括號(hào)、小括號(hào)的順序依次進(jìn)行．
14．科記數(shù)法
一般地，把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a×10 的形式，（其中a大于或等于1且小于10，n是正整數(shù)），這種記數(shù)方法叫做科記數(shù)法，它是表示大數(shù)的一種方法．
15．近似數(shù)
一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.
考點(diǎn)一、正負(fù)數(shù)
例1 （2018廣東廣州）中國人很早開始使用負(fù)數(shù)，中國古代數(shù)著作《九章算術(shù)》的 “方程”一章，在世界數(shù)史上首次正式引入負(fù)數(shù)，如果收入100元記作+100元，那么?80元表示
A．支出20元 B．收入20元
C．支出80元 D．收入80元
【名師點(diǎn)睛】此題考查用正負(fù)數(shù)表示兩個(gè)具有相反意義的量，具有相反意義的一對(duì)量在日常生活中很常見，若一個(gè)記為“+”，則另一個(gè)記為“−”. 說明：（1）用正數(shù)和負(fù)數(shù)可以表示意義相反的量．（2）正數(shù)前面可以加上“＋”號(hào)，一般地，正數(shù)前面的“＋”號(hào)可省略不寫，但有時(shí)為了強(qiáng)調(diào)，習(xí)慣上在正數(shù)前面要加上“＋”號(hào)．（3）0除了表示一個(gè)也沒有外，還是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界；這里在實(shí)際問題中有確定的意義．
考點(diǎn)二、相反數(shù)
例2 (2017福建)3的相反數(shù)是
A．−3 B．
C． D．3
【答案】A
【解析】只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，因此3的相反數(shù)是−3；故選A．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的意義，一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“?”號(hào)：一個(gè)正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．
考點(diǎn)三、絕對(duì)值
例3 （2017貴州安順市）?2017的絕對(duì)值是
A．2017 B．?2017
C．±2017 D．?
【答案】A
【解析】?2017的絕對(duì)值是2017．故選A．
考點(diǎn)四、數(shù)軸
例4 (2017北京)數(shù) 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是
A． B．
C． D．
【名師點(diǎn)睛】由于引進(jìn)了數(shù)軸，我們可以把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，在習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)思想．
考點(diǎn)五、有理數(shù)的比較大小
例5 （2017x疆建設(shè)兵團(tuán)）下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是
A．?1 B．0
C． D．3
【答案】A
【解析】∵?1＜0＜ ＜3，∴四個(gè)數(shù)中最小的數(shù)是?1．故選A．
考點(diǎn)六、倒數(shù)
例6（2017江蘇無錫市）?5的倒數(shù)是
A． B．±5
C．5 D．?
【答案】D
【解析】∵?5×（? ）=1，∴?5的倒數(shù)是? ．故選D．
考點(diǎn)七、乘方
例7（2017四川省自貢市）計(jì)算（?1）2017的結(jié)果是
A．?1 B．1
C．?2017 D．2017
【答案】A
【解析】根據(jù)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，得（?1）2017=?1，故選A．
考點(diǎn)八、科記數(shù)法
例8（2017湖南懷化市）為了貫徹習(xí)近平總書記提出的“精準(zhǔn)扶貧”戰(zhàn)略構(gòu)想，懷化市2018年共扶貧149700人，將149700用科記數(shù)法表示為
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】將149700用科記數(shù)法表示為1.497×105，故選A．
考點(diǎn)九、有理數(shù)的運(yùn)算
例9 (2017山東濱州)計(jì)算－(－1)＋|－1|，結(jié)果為
A．－2 B．2
C．0 D．－1
【答案】B
【解析】原式=1+1=2，故選B．
1．下列是具有相反意義的量的是
A．向東走 米和向北走 米 B．身高增加 厘米和體重減少 千克
C．勝 局和虧本 元 D．收入 元和支出 元
【答案】D
2．下列各數(shù)：+（−2），−（−3），−[−(−5)],−(−4)2負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為
A．1 B．2
C．3 D．
【答案】C
【解析】+（−2）=−2，−（−3）=3，−[−（−5）]=−5，−（−4）2=−16，故負(fù)數(shù)有3個(gè)，故選C．
3．與−8的和為0的有理數(shù)是
A．−8 B．8
C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)相反數(shù)的和為零可得與−8的和為0的有理數(shù)是8，故選B．
4．2018年10月18日上午9時(shí)，中國共產(chǎn)黨第十九次全國代表大會(huì)在京開幕，站PC端成為報(bào)道大會(huì)的主陣地．據(jù)統(tǒng)計(jì)，關(guān)鍵詞“十九大”在1.3萬個(gè)站中產(chǎn)生數(shù)據(jù)174000條，其中174000用科記數(shù)法表示為
A．17.4×105 B．1.74×105
C．17.4×104 D．1.74×106
【答案】B
【解析】174000=1.74×105．故選B．
5．下列各對(duì)數(shù)中，互為相反數(shù)的是
A．?（+5）和?5 B．+（?5）和?5
C．? 和?（+ ） D．+|+8|和?（+8）
【答案】D
6． 兩數(shù)在數(shù)軸上位置如圖所示，將 用“＜”連接，其中正確的是
A． ＜ ＜ ＜ B． ＜ ＜ ＜
C． ＜ ＜ ＜ D． ＜ ＜ ＜
【答案】B
【解析】由圖可知： 故選B．
7．在冬季某一天我國三個(gè)城市的最高氣溫分別是−11℃，3℃，−3℃，它們?nèi)我鈨沙鞘兄凶畲蟮臏夭钍?br>A．6℃ B．8℃
C．13℃ D．14℃
【答案】D
【解析】首先確定最高氣溫為3℃，最低氣溫−11℃，再計(jì)算3−（−11）= 3+11=14，故選D．
8．下面計(jì)算正確的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】A． 此選項(xiàng)正確.
B． 此選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C． 此選項(xiàng)錯(cuò)誤.
D． 此選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選A．
9．兩個(gè)有理數(shù)相除，其商是負(fù)數(shù)，則這兩個(gè)有理數(shù)
A．都是負(fù)數(shù) B．都是正數(shù)
C．一個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù) D．有一個(gè)是零
【答案】C
【解析】?jī)蓴?shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù).商為負(fù)數(shù)，則說明兩數(shù)異號(hào).
10．下列說法正確的有
①最大的負(fù)整數(shù)是?1；
②數(shù)軸上表示?3和3的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等；
③1.32×104是精確到百分位；
④a+6一定比a大；
⑤（?2）4與?24結(jié)果相等．
A．2個(gè) B．3個(gè)
C．4個(gè) D．0個(gè)
【答案】B
11．−5的絕對(duì)值為__________.
【答案】5
【解析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)得出−5的絕對(duì)值是5.
12． ， ， 在數(shù)軸上的位置如下圖，化簡(jiǎn) __________．
【答案】
【解析】根據(jù)數(shù)軸可知： ，所以 ，
所以 = ，
故答案為 .
13．一張人民日?qǐng)?bào)的厚度約為0.1 mm，現(xiàn)將它連續(xù)對(duì)折，要使對(duì)折后的整疊紙總厚度超過12 mm，至少要對(duì)折__________次．
【答案】7
【解析】將日?qǐng)?bào)對(duì)折n次后的折疊總厚度為0.1×2n，所以0.1×2n＞12，2n ＞120，n至少為7.故答案為7.
14．玩“24點(diǎn)”游戲，規(guī)則如下：任取4個(gè)整數(shù)，將這4個(gè)數(shù)(每個(gè)數(shù)只用1次)進(jìn)行“+、−、×、÷”四則運(yùn)算，使結(jié)果為24.現(xiàn)有4個(gè)整數(shù)：−13、−3、−2、3，應(yīng)用上述規(guī)則，寫出一個(gè)算式__________．
【答案】答案不唯一，如3×[(−3)+(−2)−(−13)]或(−2)×[(−13) −3÷(−3)]
【解析】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則可得3×[(−3)+(−2)−(−13)]或(−2)×[(−13) −3÷(−3)]，答案不唯一.
15．把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的集合內(nèi)：
－11 4.8 73 －2.7 3.1415926 0
正數(shù)集合｛ … ｝； 負(fù)數(shù)集合｛ … ｝；
正分?jǐn)?shù)集合｛ …｝； 負(fù)分?jǐn)?shù)集合｛ …｝；
非負(fù)整數(shù)集合｛ …｝； 非正整數(shù)集合｛ …｝.
【答案】詳見解析
【解析】正數(shù)集合：{ ,… }.
負(fù)數(shù)集合：{ ，… }.
正分?jǐn)?shù)集合：{ ，… }.
負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{ ，… }.
非負(fù)整數(shù)集合:{ ，… }.
非正整數(shù)集合：{ ，… }.
16．計(jì)算：（1）2+5−8；（2） .
【答案】（1）−1；（2） .
【解析】（1）2+5−8=−1.
（2） = .
17．計(jì)算：
（1） ;（2） ;
（3） .#
【答案】（1）8；（2） ；（3）−4.
18．某檢修小組從A地出發(fā)，在東西向的馬路上檢修線路，如果規(guī)定向東行駛為正，向西行駛為負(fù)，一天中七次行駛紀(jì)錄如下．(單位：km)
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
+3 −8 +7 −13 +5 −3 +7
（1）在第 次紀(jì)錄時(shí)距A地最遠(yuǎn);
（2）求收工時(shí)距A地何處多遠(yuǎn)？
（3）若每千米耗油0.15升，每升汽油需6.8元，問這天檢修小組工作一天回到出車地時(shí)需汽油費(fèi)多少元？
【答案】（1）四；（2）收工時(shí)距A地2 km；（3）檢修小組工作一天需汽油費(fèi)約為48.96元．
19．有資料表明，山的高度每增高加1 km，則氣溫大約升高?6℃．
（1）我國著名風(fēng)景區(qū)黃山的天都峰的高度約為1800 m，當(dāng)山下的地面溫度為18℃時(shí)，求山頂?shù)臍鉁兀?br>（2）若某地的地面溫度為20℃，高空某處的氣溫為?22℃，求此處的高度．
【答案】(1)7.2 ℃;(2)7 km.
【解析】（1）根據(jù)題意，得 ℃；
（2）根據(jù)題意，得 則此處高度為7 km．
20．（1）兩數(shù)的積是1，已知一個(gè)數(shù)是 ，求另一個(gè)數(shù)；
（2）兩數(shù)的商是 ，已知被除數(shù)是 ，求除數(shù)．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）根據(jù)題意，得所求另一個(gè)數(shù)為
（2）根據(jù)題意，得所求除數(shù)為
21．閱讀材料：若a−b>0，則a>b；若a−b=0，則a=b；若a−b<0，則a<b．運(yùn)用此方法可進(jìn)行有理數(shù)的大小比較，如比較5與3的大小.因?yàn)?−3=2>0，所以5>3，我們把這種比較大小的方法叫作“求差法”.
（1）請(qǐng)用“求差法”比較大小： 與 ；
（2）請(qǐng)運(yùn)用不同于（1）的方法比較 與 的大小.
【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【解析】（1）因?yàn)?，
所以 ；
（2）因?yàn)?， ，又 ，
所以根據(jù)兩負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小可得 .
22．已知A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示a，b.
（1）對(duì)照數(shù)軸填寫下表：
a 6 －6 －6 －6 2 －1.5
b 4 0 4 －4 10 －1.5
A，B兩點(diǎn)間的距離
（2）若A，B兩點(diǎn)間的距離記為d，試問d和a，b有何數(shù)量關(guān)系？
（3）在數(shù)軸上標(biāo)出所有符合條件的整數(shù)點(diǎn)P，使它到10和－10的距離之和為20，并求所有這些整數(shù)的和；￥
（4）找出（3）中滿足到10和－10的距離之差大于1且小于5的整數(shù)點(diǎn)P；
（5）若點(diǎn)C表示的數(shù)為x，當(dāng)點(diǎn)C在什么位置時(shí)， ＋ 取得的值最��？
【答案】詳見見解析
【解析】（1）見下表：
a 6 －6 －6 －6 2 －1.5
b 4 0 4 －4 10 －1.5
A，B兩點(diǎn)間的距離 2 6 10 2 8 0
（2）d= ；
（3）所有這些整數(shù)分別為：－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.
其和為0.
（4）由題意可知： < < ，所以整數(shù)點(diǎn)P為－2，－1，1，2.
（5）點(diǎn)C在－1和2之間時(shí)（包括－1和2），取得的值最小，最小值為3.
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