2018-2019學年湖北省武漢市漢陽區(qū)八年級（上）期中數學試卷
　
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列“表情圖”中，屬于軸對稱圖形的是（　　）
A．  B．  C．  D．
2．（3分）下列四個圖形中，線段BE是△ABC的高的是（　　）
A．  B．  C．  D．
3．（3分）下列長度的三條線段能組成三角形的是（　�。�
A．1，2，3 B．1， ，3 C．3，4，8 D．4，5，6
4．（3分）一定能確定△ABC≌△DEF的條件是（　�。�
A．∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E B．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D
C．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
5．（3分）如圖，聰聰書上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據所學知識很快就畫了一個與書本上完全一樣的三角形，那么聰聰畫圖的依據是（　　）
 
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．（3分）已知等腰三角形的兩邊長分別為5和6，則這個等腰三角形的周長為（　　）
A．11 B．16 C．17 D．16或17
7．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于點D，AE∥BD交CB的延長線于點E．若∠E=35°，則∠BAC的度數為（　�。�
 
A．40° B．45° C．60° D．70°
8．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交邊AB于D點，交邊AC于E點，若△ABC與△EBC的周長分別是40，24，則AB為（　　）
 
A．8 B．12 C．16 D．20
 9．（3分）如圖，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，點P是腰AD上的一個動點，要使PC+PB最小，則點P應該滿足（　�。�
 
A．PB=PC B．PA=PD C．∠BPC=90° D．∠APB=∠DPC
10．（3分）在平面直角坐標系中，已知A（0，2），B（2，0），若在坐標軸上取點C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數是（　�。�
A．6 B．7 C．8 D．9
　
二、填空題（每題3分，共18分）
11．（3分）已知點P關于x軸的對稱點P1的坐標是（2，1），則點P的坐標是　   �。�
12．（3分）如圖，將三角形紙板的直角頂點放在直尺的一邊上，∠1=20°，∠2=40°，則∠3的度數是　   �。�
 
13．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AE⊥AB交BC于點E，∠BAC=120°，AE=3，則BC的長是　   �。�
 
14．（3分）如果一個等腰三角形一條腰上的高等于另一腰的一半，則該等腰三角形的底角的度數　   　．
15．（3分）在△ABC中，AB=2cm，AC=4cm，則BC邊上的中線AD的取值范圍是　   �。�
16．（3分）請你仔細觀察圖中等邊三角形圖形的變換規(guī)律，寫出你發(fā)現關于等邊三角形內一點到三邊距離的數學事實：　   �。�
 
三、解答題（共8道小題，共72分）
17．（8分）一個多邊形的內角和是外角和的2倍，則這個多邊形是幾邊形？
18．（8分）如圖，點B、E、C、F在同一直線上，BE=CF，AB=DE，AC=DF．
求證：AB∥DE．
 
19．（8分）如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線BE，CD相交于點F．
（1）∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFD的度數；
（2）直接寫出∠A與∠BFD的數量關系．
 
20．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，A（?1，5），B（?1，0），C（?4，3）．
（1）在圖中作出△ABC關于直線m（直線m上各點的橫坐標都為?2）對稱的圖形△A1B1C1；
（2）線段BC上有一點P（? ， ），直接 寫出點P關于直線m對稱的點的坐標；
（3）線段BC上有一點M（a，b），直接寫出點M關于直線m對稱的點的坐標．
 
21．（8分）如圖△ABC是等邊三角形．
（1）請按要求完成圖形，分別作∠ABC，∠ACB的平分線，交點為O；再分別作OB，OC的垂直平分線分別交BC于點D，E；
（2）在（1）的條件下，判斷△ODE的形狀，并證明你的結論．
 
22．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°．
（1）教材中有這樣的結論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．請結合圖1，證明該結論；
（2）若將圖2分割成三個全等的三角形，請你畫出圖形，并簡單描述輔助線的作法．
 
23．（10分）定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個小等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線．
 
（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D在AC邊上，且AD=BD=BC，求∠A的大小；
（2）在圖1中過點C作一條線段CE，使BD，CE是△ABC的三等分線；在圖2中畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標注每個等腰三角形頂角的度數；
（3）在△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，請直接寫出∠C所有可能的值．
24．（12分）（1）問題解決：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°?α，BD平分∠ABC．
①如圖1，若α=90°，根據教材中一個重要性質直接可得AD=CD，這 個性質是　   ��；
②在圖2中，求證AD=CD；
 
（2）拓展探究：根據（1）的解題經驗，請解決如下問題：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求證BD+AD=BC．
　
 

2018-2019學年湖北省武漢市漢陽區(qū)八年級（上）期中數學試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列“表情圖”中，屬于軸對稱圖形的是（　�。�
A．  B．  C．  D． 
【解答】解：A不屬于軸對稱圖形，故錯誤；
B不屬于軸對稱圖形，故錯誤；
C不屬于軸對稱圖形，故錯誤；
D屬于軸對稱圖形，故正確；
故選：D．
　
2．（3分）下列四個圖形中，線段BE是△ABC的高的是（　　）
A．  B． C． D．
【解答】解：線段BE是△ABC的高的圖是選項D．
故選D．
　
3．（3分）下列長度的三條線段能組成三角形的是（　�。�
A．1，2，3 B．1， ，3 C．3，4，8 D．4，5，6
【解答】解：A、1+2=3，不能組成三角形，故本選項錯誤；
B、1+ ＜3，不能組成三角形，故本選項錯誤；
C、3+4＜8，不能組成三角形，故本選項錯誤；
D、4+5＞6，能組成三角形，故本選項正確．
故選D．
　
4．（3分）一定能確定△ABC≌△DEF的條件是（　�。�
A．∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E B．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D
C．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
【解答】解：
A、根據ASA即可推出△ABC≌△DEF，故本選項正確；
B、根據∠A=∠E，∠B=∠D，AB=DE才能推出△ABC≌△DEF，故本選項錯誤；
C、根據AB=DE，BC=EF，∠B=∠E才能推出△ABC≌△DEF，故本選項錯誤；
D、根據AAA不能推出△ABC≌△DEF，故本選項錯誤；
故選A．
　
5．（3分）如圖，聰聰書上的三角形被 墨跡污染了一部分，他根據所學知識很快就畫了一個與書本上完全一樣的三角形，那么聰聰畫圖的依據是（　�。�
 
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【解答】解：根據題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“角邊角”定理作出完全一樣的三角形．
故選：C．
　
6．（3分）已知等腰三角形的兩邊長分別為5和6，則這個等腰三角形的周長為（　�。�
A．11 B．16 C．17 D．16或17
【解答】解：①6是腰長時，三角形的三邊分別為6、6、5，
能組成三角形，
周長=6+6+5=17；
②6是底邊時，三角形的三邊分別為6、5、5，
能組成三角形，
周長=6+5+5=16．
綜上所述，三角形的周長為16或17．
故選D．
　
7．（3分）如圖，在△ABC中，A B=AC，BD平分∠ABC交AC于點D，AE∥BD交CB的延長線于點E．若∠E=35°，則∠BAC的度數為（　�。�
 
A．40° B．45° C．60° D．70°
【解答】解：∵AE∥BD，
∴∠CBD=∠E=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBA=70°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，
∴∠BAC=180°?70°×2=40°．
故選：A．
　
8．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交邊AB于D點，交邊AC于E點，若△ABC與△EBC的周長分別是40，24，則AB為（　　）
 
A．8 B．12 C．16 D．20
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴AE=BE；
∵△ABC的周長=AB+AC+BC，△EBC的周長=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∴△ABC的周長?△EBC的周長=AB，
∴AB=40?24=16．
故選：C．
　
9．（3分）如圖，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，點P是腰AD上的一個動點，要使PC+PB最小，則點P應該滿足（　　）
 
A．PB=PC B．PA=PD C．∠BPC=90° D．∠APB=∠DPC
【解答】解：如圖，作點C關于AD的對稱點E，連接BE交AD于P，連接CP．
根據軸對稱的性質，得∠DPC=∠EPD，
根據對頂角相等知∠APB=∠EPD，
所以∠APB=∠DPC．
故選D．
 
　
10．（3分）在平面直角坐標系中，已知A（0，2），B（2，0），若在坐標軸上取點C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數是（　�。�
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：如圖所示：
 
當AB=AC時，符合條件的點有3個；
當BA=BC時，符合條件的點有3個；
當點C在AB的垂直平分線上時，符合條件的點有一個．
故符合條件的點C共有7個．
故選：B．
　
二、填空題（每題3分，共18分）
11．（3分）已知點P關于x軸的對稱點P1的坐標是（2，1），則點P的坐標是�。�2，?1）�。�
【解答】解：點P關于x軸的對稱點P1的坐標是（2，1），則點P的坐標是（2，?1），
故答案為：（2，?1）．
　
12．（3分）如圖，將三角形紙板的直角頂點放在直尺的一邊上，∠1=20°，∠2=40°，則∠3的度數是　20°　．
 
【解答】解：由題意得：∠4=∠2=40°；
由三角形外角的性質得：∠4=∠1+∠3，
∴∠3=∠4?∠1=40°?20°=20°，
故答案為：20°．
 
　
13．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AE⊥AB交BC于點E，∠BAC=120°，AE=3，則BC的長是　9�。�
 
【解答】解：過點A作AF⊥BC交BC于F，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，BC=2BF，
在Rt△BAE中，
AB=AE•cot30°=3× =3 ，
在Rt△AF B中，
BF=AB•cos30°=3 × = ，
∴BC=2BF=2× =9，
故答案為：9．
　
14．（3分）如果一個等腰三角形一條腰上的高等于另一腰的一半，則該等腰三角形的底角的度數　15°或75°�。�
【解答】解：解：（1）當等腰三角形是銳角三角形時，腰上的高在三角形內部，如圖，
 
BD為等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD= AB，
根據直角三角形中30°角的對邊等于斜邊的一半的逆用，可知頂角為30°，此時底角為75°；

（2）當等腰三角形是鈍角三角形時，腰上的高在三角形外部，如圖，
 
BD為等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD= AB，
根據直角三角形中30°角的對邊等于斜邊的一半的逆用，可知頂角的鄰補角為30°，此時頂角是150°，
底角為15°．
故答案為：15°或75°．
　
15．（3分）在△ABC中，AB=2cm，AC=4cm，則BC邊上的中線AD的取值范圍是　1cm＜AD＜3cm　．
【解答】解：延長AD到E，使AD=DE，連接BE，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，
在△ADC與△EDB中，
∵ ，
∴△ADC≌ △EDB，
∴EB=AC，
根據三角形的三邊關系定理：4cm?2cm＜AE＜4cm+2cm，
∴1cm＜AD＜3cm，
故答案為：1cm＜AD＜3cm．
 
　
16．（3分）請你仔細觀察圖中等邊三角形圖形的變換規(guī)律，寫出你發(fā)現關于等邊三角形內一點到三邊距離的數學事實：　等邊三角形內任意一點到三邊的距離之和等于該等邊三角形的高�。�
【解答】解：由圖可知，等邊三角形里任意一點到三邊的距離和等于它的高．
　
三、解答題（共8道小題，共72分）
17．（8分）一個多邊形的內角和是外角和的2倍，則這個多邊形是幾邊形？
【解答】解：設這個多邊形的邊數為n，
∴（n?2）•180°=2×360°，
解得：n=6．
故這個多邊形是六邊形．
　
18．（8分）如圖，點B、E、C、F在同一直線上，BE=CF，AB= DE，AC=DF．
求證：AB∥DE．
 
【解答】證明：∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
 ，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
 
　
19．（8分）如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線BE，CD相交于點F．
（1）∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFD的度數；
（2）直接寫出∠A與∠BFD的數量關系．
 
【解答】解：（1）∵∠ABC=40°，∠A=60°，
∴∠ACB=180°?40 °?60°=80°，
∵∠B、∠C的平分線BE，CD相交于點F，
∴∠BFD=∠FBC+∠FCB= ∠ABC+ ∠ACB=20°+40°=60°．

（2）∵∠B、∠C的平分線BE，CD相交于點F，
∴∠BFD=∠FBC+∠FCB= ∠ABC+ ∠ACB= （∠ABC+∠ACB）= （180°?∠A）=90°? ∠A．
 
　
20．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，A（?1，5），B（?1，0），C（?4，3）．
（1）在圖中作出△ABC關于直線m（直線m上各點的橫坐標都為?2）對稱的圖形△A1B1C1；
（2）線段BC上有一點P（? ， ），直接寫出點P關于直線m對稱的點的坐標；
（3）線段BC上有一點M（a，b），直接寫出點M關于直線m對稱的點的坐標．
 
【解答】解：（1）如圖所示，
（2）線段BC上有一點P（? ， ），點P關于直線m對稱的點的坐標是（? ， ），
（3）線段BC上有一點M（a，b），點M關于直線m對稱的點的坐標是（?4?a，b）．
 
　
21．（8分）如圖△ABC是等邊三角形．
（1）請按要求完成圖形，分別作∠ABC，∠ACB的平分線，交點為O；再分別作OB，OC的垂直平分線分別交BC于點D，E；
（2）在（1）的條件下，判斷△ODE的形狀，并證明你的結論．
 
【解答】解：（1）如圖，
 
（2）△ODE為等邊三角形．
理由如下：
∵△ABC是等邊三角形．
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵OB平分∠ABC，OC平分∠AC B，
∴∠OBC= ∠ABC=30°，∠OCB= ∠ACB=30°，
∵OB，OC的垂直平分線分別交BC于點D，E，
∴DB=DO，EC=EO，
∴∠ODB=∠DBO=30°，∠EOC=∠ECO=30°，
∴∠ODE=∠ODB+∠DBO=60°，∠OED=∠EOC+∠ECO=60°，
∴△ODE為等邊三角形．
　
22．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°．
（1）教材中有這樣的結論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．請結合圖1，證明該結論；
（2）若將圖2分割成三個全等的三角形，請你畫出圖形，并簡單描述輔助線的作法．
 
【解答】解：（1）證法一：如答 圖所示，延長BC到D，使CD=BC，連接AD，易證AD=AB，∠BAD=60°．
 
∴△ABD為等邊三角形，
∴AB=BD，
∴BC=CD= AB，即BC= AB．

證法二：如答圖所示，取AB的中點D，
連接DC，有CD= AB=AD=DB，
∴∠DCA=∠A=30°，∠BDC=∠DCA+∠A=60°．
∴△DBC為等邊三角形，
∴BC=DB= AB，即BC= AB．

證法三：如答圖所示，在AB上取一點D，使BD=BC，
∵∠B=60°，
∴△BDC為等邊三角形，
∴∠DCB=60°，∠ACD=90°?∠DCB=90°?60°=30°=∠A．
∴DC=DA，即有BC=BD=DA= AB，
∴BC= AB．

證法四：如圖所示，作△ABC的外接圓⊙D，∠C=90°，AB為⊙O的直徑，
連DC有DB=DC，∠BDC=2∠A=2×30 °=60°，
∴△DBC為等邊三角形，
∴BC=DB=DA= AB，即BC= AB．

（2）如圖2，作∠ACB平分線交AC于點D，作DE⊥AB于點E，
則△ADE≌△BDE≌△BDC
 
由作圖知∠DBC=∠DBE=∠A=30°，∠AED=∠BED=∠C=90°，
∴AD=BD，
∴AE=BE= AB，
又∵ BC= AB，
∴AE=BE=BC，
在△ADE、△BDE、△BDC中，
∵ ，
∴△ADE≌△BDE≌△BDC．
　
23．（10分）定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個小等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線．
 
（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D在AC邊上，且AD=BD=BC，求∠A的大�。�
（2）在圖1中過點C作一條線段CE，使BD，CE是△ABC的三等分線；在圖2中畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標注每個等腰三角形頂角的度數；
（3）在△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，請直接寫出∠C所有可能的值．
【解答】解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BD=BC=AD，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
設∠A=∠ABD=x，則∠BDC=2x，∠C= ，
可得2x= ，
解得：x=36°，
則∠A=36°；

（2）如圖所示：
 

（3）如圖所示：
 
①當AD=AE時，
∵2x+x=30°+30°，
∴x=20°；
②當AD=DE時，
∵30°+30°+2x+x=180°，
∴x=40°；
綜上所述，∠C為20°或40°的角．
　
24．（12分）（1）問題解決：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°?α，BD平分∠ABC．
①如圖1，若α=90°，根據教材中一個重要性質直接可得AD=CD，這個性質是　角平分線上的點到角的兩邊距離相等��；
②在圖2中，求證AD=CD；
 
（2）拓展探究：根據（1）的解題經驗，請解決如下問題：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求證BD+AD=BC．
【解答】解：（1）①根據角平分線的性質定理可知AD=CD．
所以這個性質是角平分線上的點到角的兩邊距離相等．
故答案為角平分線上的點到角的兩邊距離相等．
②如圖2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．
 
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE=DF，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°，
∴∠EAD=∠C，∵∠E=∠DFC=90°，
∴△DEA≌△DFC，
∴DA=DC．

（2）如圖3中，在BC時截取BK=BD，BT=BA，連接DK．
 
∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠C=40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK= ∠ABC=20°，
∵BD=BK，
∴∠BKD=∠BDK=80°，
∵∠BKD=∠C+∠KDC，
∴∠KDC=∠C=40°，
∴DK=CK，
∵BD=BD，BA=BT，∠DBA=∠DBT，
∴△DBA≌△DBT，
∴AD=DT，∠A=∠BTD=100°，
∴∠DTK=∠DKT=80°，
∴DT=DK=CK，
∴BD+AD=BK+CK=BC．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://portlandfoamroofing.com/chuer/1144052.html

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