從角的歷史來看，其核心作用在于描述方向的改變.因此，凡是與方向以及方向改變有關(guān)的內(nèi)容都與角相關(guān)聯(lián).
比如“平移與旋轉(zhuǎn)”，所謂“平移”就是物體沿著直線運(yùn)動，不改變方向.這里所說的不改變方向可以從兩個方面理解，一是物體上的同一個點(diǎn)在運(yùn)動過程中永遠(yuǎn)在同一條直線上，不改變方向；二是物體上兩個不同的點(diǎn)分別沿著兩條直線運(yùn)動，這樣的兩條直線方向是一致的，也即是平行的.“旋轉(zhuǎn)”是一種物體在運(yùn)動過程中，方向不斷改變的運(yùn)動.所謂方向不斷改變的含義是物體上的同一個點(diǎn)在任意兩個不同時刻，在旋轉(zhuǎn)一周之內(nèi)其運(yùn)動方向都不一樣.數(shù)學(xué)中描述這種方向的改變通常依賴的是“圓心角”或切線的斜率，這些概念都是與角密切相關(guān)的.由此進(jìn)一步說明了角的核心作用在于描述方向的改變.旋轉(zhuǎn)作為方向不斷改變的一種運(yùn)動，其特殊性在于方向改變的均勻性.這種均勻性表現(xiàn)為物體上一個點(diǎn)如果轉(zhuǎn)過的弧長相同，那么對應(yīng)的圓心角也一定是相同的.
由此可見，“平移與旋轉(zhuǎn)”這一課程內(nèi)容，與角的認(rèn)識密不可分.在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)充分認(rèn)識到這一點(diǎn)，將方向與角的相關(guān)聯(lián)系融入到教學(xué)中，使得學(xué)生逐步熟悉角這一概念用于描述方向的重要作用.類似于此，與方向和角有關(guān)的內(nèi)容，還有方向與位置、圓的認(rèn)識、鐘表的認(rèn)識、平行與相交、多邊形內(nèi)角和等.從度量的角度說，方向還可以通過線段長度的比來確定.因此，角與比也是密不可分的.下面通過例子說明這些關(guān)聯(lián)性.
一、折線統(tǒng)計圖與角
“折線統(tǒng)計圖”通常被認(rèn)為是描述發(fā)展趨勢的.這種說法有一定道理，但并不完全準(zhǔn)確.因為“趨勢”指的是將來會怎么樣，是一種主觀的預(yù)測.影響這種預(yù)測的因素根據(jù)實際問題的不同，差異是很大的.嚴(yán)格意義上來說，從折線統(tǒng)計圖上可以看到從過去到現(xiàn)在的發(fā)展?fàn)顩r，至于未來的發(fā)展趨勢，需要具體問題具體分析.比如，如果圖1的橫軸表示時間，縱軸表示氣溫，那么從早晨到中午是上升的趨勢，由此就不能說往后氣溫還會繼續(xù)上升.
這里主要想說明折線統(tǒng)計圖與角的聯(lián)系.從圖1上的折線可以看出，總體是上升的，但上升的“坡度”是有變化的.比如，從O到A上升的坡度就小于從A到B的上升坡度；從B到C就沒有上升；從C到D與開始從O到A的上升坡度是一樣的.從數(shù)學(xué)的意義看，決定這種“坡度”的因素是什么呢？
從O到B在A點(diǎn)出現(xiàn)了“拐彎”，也就是出現(xiàn)了“角”，這就是《幾何原本》英譯本中說的“傾斜”.為什么會出現(xiàn)角，原因就是從A到B與從O到A相比，方向發(fā)生了改變.換一個說法，就是線段OA和線段AB各自所在直線的方向不同了.這種方向的不同在數(shù)學(xué)中通常是用水平方向（橫軸）作為比較的標(biāo)準(zhǔn).從圖1不難看出，線段OA與水平方向的夾角∠AOE,要小于線段AB與水平方向的夾角∠BAF.所以方向的改變反映出的是角的大小的改變，又一次說明了角用于表達(dá)方向的意義.
另外從圖1看到，在三角形AOE中，線段AE與OE的比是1∶2；在三角形ABF中，類似的比是3∶2.所以角的變化還與相應(yīng)線段長度的比有關(guān)，中學(xué)將要學(xué)習(xí)的三角函數(shù)和直線的斜率就是由此產(chǎn)生的.上面的比值1/2和3/2分別叫做線段OA和線段AB所在直線的斜率，即傾斜的程度.也就是直線與橫軸向右的方向夾角的正切.圖1中BC線段的方向與水平方向一致，所以斜率為0，意味著沒有變化；CD的斜率是2/4=1/2，與OA的斜率相同，說明與OA方向一致.如果把線段OA和CD分別延長，就會發(fā)現(xiàn)這兩條直線平行.所以決定折線統(tǒng)計圖上升坡度的因素是角.
折線統(tǒng)計圖的教學(xué)不能僅限于所謂的實際意義方面，還應(yīng)當(dāng)把角的理解融入進(jìn)去，使得這一內(nèi)容具有“數(shù)學(xué)味”.這樣不僅能夠加深對角相關(guān)知識的理解，還能提升學(xué)生說理的能力，從知識和能力方面為今后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).
二、速度與角
與運(yùn)動有關(guān)的問題通常需要研究運(yùn)動的時間、距離和速度三者之間的關(guān)系.對于運(yùn)動過程中速度不變的運(yùn)動叫做勻速運(yùn)動，速度發(fā)生變化的運(yùn)動叫做變速運(yùn)動.為了研究的方便，可以畫出如下的折線圖（見圖2）.
在圖2中，假設(shè)某點(diǎn)從O點(diǎn)經(jīng)A、B、C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動，橫軸表示運(yùn)動經(jīng)過的時間.從O點(diǎn)到A點(diǎn)的運(yùn)動時間與從A點(diǎn)到B點(diǎn)的運(yùn)動時間是相同的（因為OE=AF），但從圖2中明顯看出運(yùn)動距離EA和FB是不一樣的.相同時間運(yùn)動距離不同，說明運(yùn)動速度不同.在圖2中顯示出的就是EA和FB與水平方向的夾角∠AOE和∠BAF不同.從B點(diǎn)到C點(diǎn)和從C點(diǎn)到D點(diǎn)運(yùn)動時間和運(yùn)動距離都是相同的，說明速度沒有發(fā)生變化，圖2中顯示出的是∠CBG和∠DCI相同.因此，從B到D就是勻速運(yùn)動.
如果用這樣的折線圖研究距離、速度和時間三者的關(guān)系，那么運(yùn)動速度實際上在圖中是由角度決定的.如果運(yùn)動速度時時刻刻都在變化，可以想象折線就會成為曲線了，因為角度是在不斷變化，數(shù)學(xué)中通常叫做連續(xù)變化.對于角度連續(xù)變化的曲線，就要利用曲線的“切線”及其斜率來描述速度的變化規(guī)律了，微積分中的導(dǎo)數(shù)概念就是這樣產(chǎn)生的.在微積分中計算曲線弧的長度實際上也是利用這樣的方法.
三、周角與三角形內(nèi)角和
周長與周角中的“周”意義是相同的，都有“旋轉(zhuǎn)一圈”的意思.用角度理解“旋轉(zhuǎn)一圈”，就是旋轉(zhuǎn)了360度.以長方形為例，在圖3長方形ABCD中，想象A點(diǎn)位置有一只螞蟻向右沿著AB邊爬行，到B點(diǎn)拐彎向上沿著BC邊繼續(xù)爬行，到C點(diǎn)拐彎向左沿著CD邊爬行，到D點(diǎn)拐彎向下爬行到A點(diǎn)拐彎向右，并停止爬行.這時候，螞蟻回到出發(fā)時的狀態(tài)，即位于A點(diǎn)，頭朝向B點(diǎn)方向.那么螞蟻爬行的軌跡就形成了這個長方形的“周”，螞蟻爬行的距離就是長方形的周長.如果把螞蟻從出發(fā)到回來的方向因素考慮進(jìn)來，那么螞蟻在爬行過程中拐彎所轉(zhuǎn)過的角度總和一定等于周角360度.比如，螞蟻爬行到B點(diǎn)時，爬行方向由“向右”轉(zhuǎn)向“向上”，轉(zhuǎn)過的角度是90度；到C點(diǎn)由“向上”轉(zhuǎn)向“向左”，轉(zhuǎn)過的角也是90度.依此類推，螞蟻從出發(fā)到回來，一共拐彎4次，每次轉(zhuǎn)過的角度都是90度，所以螞蟻爬行一周所轉(zhuǎn)過的角度總和是360度.用類似方法還可以證明“三角形內(nèi)角和等于180度”.
在圖4三角形ABC中，假設(shè)一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著三角形的三條邊爬行，最后回到A點(diǎn)位置，并且頭的朝向與出發(fā)前一致，即朝向B點(diǎn)方向.全程共拐彎三次，雖然對任意三角形不知道每次拐彎轉(zhuǎn)過的角度，但所轉(zhuǎn)過的角度總和應(yīng)當(dāng)?shù)扔谥芙羌?60度，即：∠EBC+∠FCA+∠DAB=360（度）.
另外從圖4中看出，∠ABE、∠BCF、∠CAD分別都是平角180度.分別去上面螞蟻拐彎時轉(zhuǎn)過的角，就得到三角形的三個內(nèi)角.其總和就是：
180×3-360=180（度）
從這個方法可以聯(lián)想出任意多邊形內(nèi)角和.比如一個10邊形，應(yīng)當(dāng)有10條邊和10個頂點(diǎn).假設(shè)一只螞蟻從一個頂點(diǎn)出發(fā)，沿著10邊形的各條邊爬行，最后回到原來狀態(tài).由于螞蟻每次拐彎都是在頂點(diǎn)處，所以一共拐彎10次.拐彎轉(zhuǎn)過角度總和仍然是360度，類似于上面的平角一共10個，所以10邊形內(nèi)角和就是：
180×10-360=1440（度）
這樣的方法與中學(xué)乃至大學(xué)課程中的向量有關(guān).所謂向量就是不僅考慮量的大小，還考慮量的方向.前面例子中，不僅考慮螞蟻爬行的距離，還考慮螞蟻爬行的方向，描述這種方向的方法就是拐彎時轉(zhuǎn)過的角度.這些思想和方法如果在小學(xué)階段有所滲透，無疑對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和發(fā)展是有益的.
四、形狀與角
數(shù)學(xué)中研究平面圖形形狀首先關(guān)心是否完全一樣，所謂完全一樣就是可以重合，這樣的兩個圖形叫做“全等（Congruent）”.兩個圖形如果全等，就意味著不僅形狀一樣，而且大小相同；如果大小不一樣，就關(guān)心模樣“像不像”的問題，所謂“像”的含義好比把一個人的照片放大，雖然人的大小不同，但模樣是一樣的，這時候叫做“相似（Similar）”.兩個圖形相似就意味著通過對其中一個圖形成比例地放大或縮小，能夠使得兩者全等，也就是可以重合.
兩條直線通過移動位置可以完全重合，這說明所有直線都是全等的.同樣道理，所有射線也都是全等的.任意兩條線段中的一條都可以通過延長或縮短，與另外一條線段重合，這說明任意兩條直線段都是相似的，這樣的性質(zhì)曲線就不具備.其原因是直線或直線段的方向是確定的，曲線的方向是不確定的.由此看來，形體的形狀與方向是密切相關(guān)的，也就是與角是相關(guān)聯(lián)的.
不難發(fā)現(xiàn)，所有的正方形模樣都一樣.就是說通過放大或縮小一個正方形，可以與任何一個正方形重合，也就是任意兩個正方形都相似.兩條邊長不同的長方形就不具備這個特征.這是為什么呢？
圖5中是任意兩個大小不同的正方形，有一個共同特征，就是相同位置的線段所形成的角度都是一樣的.比如底邊與對角線的夾角∠ACD=∠EGH=45度.再看長方形的情況.圖6中兩個長方形對應(yīng)的角度∠ACD和∠EGH顯然是不相等的.導(dǎo)致它們的模樣就不像，也就是不相似.因此，制約兩個圖形是否相似的因素就是對應(yīng)的角.兩個圖形如果相似，那么所有對應(yīng)位置線段所形成的角度都相等.反過來，兩個圖形所有對應(yīng)位置的角度都相等，那么這兩個圖形相似.如前所說，角的大小可以通過相應(yīng)邊長的比來確定，所以中學(xué)數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)與“相似三角形對應(yīng)邊成比例”都與此相關(guān).
在數(shù)學(xué)中所說的正多邊形，當(dāng)邊數(shù)相同的時候，一定是相似的.所以正多邊形中的“正（Regular）”，其含義是形狀的確定性或規(guī)范性.類似具有形狀的確定性和規(guī)范性的圖形還有圓、正方體、球等等.
應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，在小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，關(guān)于角的內(nèi)容的系統(tǒng)性相對比較薄弱.這種薄弱主要反映在出現(xiàn)頻率少和對相關(guān)聯(lián)的知識認(rèn)識的不足.導(dǎo)致的結(jié)果是小學(xué)階段的學(xué)生對角很不熟悉，進(jìn)入中學(xué)學(xué)習(xí)諸如平面圖形的關(guān)系、三角函數(shù)、極坐標(biāo)、向量以及物理中的角速度、變速運(yùn)動、力的分解等內(nèi)容時，都會感覺到生疏困難.以上內(nèi)容旨在說明在小學(xué)數(shù)學(xué)的課程與教學(xué)中應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)對角及其相關(guān)知識系統(tǒng)性的認(rèn)識。（來源：中國教育文摘）
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