數(shù)學思想方法作為基礎(chǔ)知識的重要組成部分,但又有別于基礎(chǔ)知識。除基本的數(shù)學方法以外,其他思想方法都呈隱蔽形式,滲透在學習新知識和運用知識解決問題的過程之中。這就要求教師在教學過程中把握滲透的時機,選擇適當?shù)姆椒?使學生能夠領(lǐng)悟并逐步學會運用這些思想方法去解決問題。下面是筆者對在課堂教學中滲透數(shù)學思想方法途徑的幾點認識。

　　一、在知識的形成過程中滲透數(shù)學思想方法

　　數(shù)學知識的發(fā)生過程實際上也是數(shù)學思想方法的發(fā)生過程。任何一個概念,都經(jīng)歷著由感性到理性的抽象概括過程;任何一個規(guī)律,都經(jīng)歷著由特殊到一般的歸納過程。如果我們把這些認識過程返璞歸真,在教師的引導(dǎo)下,讓學生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn),去參與概念的形成和規(guī)律的揭示過程,學生獲得的就不僅是數(shù)學概念、定理、法則,更重要的是發(fā)展了抽象概括的思維和歸納的思維,還可以養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)。因此,概念的形成過程、結(jié)論的推導(dǎo)過程、規(guī)律的被揭示過程都是滲透數(shù)學思想方法的極好機會和途徑。

　　1.展開概念??不要簡單地給定義

　　概念是思維的細胞,是濃縮的知識點,是感性認識飛躍到理性認識的結(jié)果。而飛躍的實現(xiàn)要經(jīng)過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工,依據(jù)數(shù)學思想方法的指導(dǎo)。因此概念教學應(yīng)當完整地體現(xiàn)這一生動的過程,引導(dǎo)學生揭示隱藏于知識之中的思維內(nèi)核。心理學認為,人對事物的第一次接觸是最敏感的,教學成功與否,關(guān)鍵是喚起對舊知識的回憶,探尋新知識的清澈的源頭。并通過事物的發(fā)生和發(fā)展的教學,掌握活的數(shù)學概念。

　　例如,函數(shù)的概念學生在初中階段就已經(jīng)接觸,但較完整的定義卻在高中出現(xiàn)。如何在函數(shù)概念的教學中滲透函數(shù)思想呢?筆者認為:中學數(shù)學中的函數(shù)思想包括變數(shù)思想、集合的對應(yīng)(映射)思想、數(shù)形結(jié)合的思想、研究函數(shù)自變量、函數(shù)取值范圍以及變量之間關(guān)系的不等式控制思想等。其中變數(shù)思想是函數(shù)思想的基礎(chǔ),對應(yīng)思想是函數(shù)思想的實質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想和控制思想是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)和應(yīng)用。在函數(shù)知識的形成與學習過程中,應(yīng)逐步滲透上述思想。為此,根據(jù)高一學生的認知水平,在函數(shù)概念教學時應(yīng)該抓住函數(shù)是兩個變量之間的一種特殊的對應(yīng)(映射)的思想進行滲透�？梢酝ㄟ^豐富的實例,讓學生體會函數(shù)是描述變量間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學模型。

　　2.延遲判斷??不要過早地下結(jié)論

　　判斷可以看作是壓縮了的知識鏈。數(shù)學定理、性質(zhì)、法則、公理、關(guān)系、規(guī)律等結(jié)論都是一個個具體的判斷。教學中要引導(dǎo)學生積極參與這些結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過程,弄清每個結(jié)論的因果關(guān)系,使學生看到某個判斷時,能像回憶自己參加有趣活動那樣津津樂道。當然,延遲判斷,必定拉長了教學時間,但磨刀不誤砍柴工,以后應(yīng)用就自如了。

　　3.激活推理??不要呆板地找關(guān)聯(lián)

　　激活推理就是要使判斷上下貫通,前后遷移、左右逢源,盡可能從已有的判斷生出眾多的思維觸角,促成思維鏈條的高效運轉(zhuǎn),不斷在數(shù)學思想方法指導(dǎo)下推出一個個新的判斷、新的思維結(jié)果。

　　如在立體幾何三垂線定理的教學中,為充分調(diào)動學生的思維活動,可以設(shè)計下列幾個問題:①若直線l與平面α垂直,則l垂直α內(nèi)的任何直線,那么當l是平面α的斜線時,l與α內(nèi)的直線有幾種位置關(guān)系呢?②當l是平面α的斜線時,平面α內(nèi)有沒有直線與l垂直,在什么情況下,l與α內(nèi)的直線垂直?讓學生開展討論,并闡述理由。③你覺得三垂線定理的本質(zhì)是什么?它有什么作用?

　　二、在解題探索過程中滲透數(shù)學思想方法

　　教學大綱明確指出:“要加強對解題的正確指導(dǎo),引導(dǎo)學生從解題的思想方法上作必要的概括�！睌�(shù)學中的化歸、數(shù)學模型、數(shù)形結(jié)合、類比、歸納猜想等思想方法,既是解題思路分析中必不可少的思想方法,又是具有思維導(dǎo)向型的思想方法。如,學生一旦形成了化歸意識,就能化未知為已知、化繁為簡、化一般為特殊,優(yōu)化解題方法;數(shù)學思想方法在解題思路探索中的滲透,可以使學生的思維品質(zhì)更具合理性、條理性和敏捷性。如:

　　例1求f(x)=3sin(x+20°)+sin(x+80°)的最大值和最小值。

　　不少同學直接使用公式展開,結(jié)果相當繁瑣,造成思維混亂。化解這一問題的方法是,將x+20°(或x+80°)看成一個整體,x+80°化為(x+20°)+60°。這里涉及了換元思想方法(整體思想方法)和化繁為簡的化歸思想方法。在具體教學中,可以告知學生從函數(shù)解析式的特點看本題,本題的焦點是角度不同(即自變量不同)。因此,關(guān)鍵在于如何利用三角恒等變換公式將函數(shù)中的角化成同一個角。

　　例2圓周上有2007個點,每兩點間連一條弦,如果其中任意三條弦在圓內(nèi)不共點,求以這些弦在圓內(nèi)的交點為頂點的三角形個數(shù)。

　　這是一個計數(shù)問題,如果直接計算有相當大的難度。為此,思考每一個圓內(nèi)三角形與圓上的點有什么關(guān)系?這種想法的實質(zhì)就是對應(yīng)思想(映射思想),是化歸思想方法中的一種。圓的三條弦恰好在圓內(nèi)交出一個三角形,弦不同所得的三角形也不同�？梢�,每一個圓內(nèi)三角形與圓上的6個不同的點構(gòu)成一個一一映射,即f:{圓內(nèi)三角形}→{圓上六點組}。因此,符合條件的三角形有個。

　　三、在問題的解決過程中滲透數(shù)學思想方法

　　問題解決,是以思考為內(nèi)涵,以問題目標為定向的心理活動,是在新情景下通過思考去實現(xiàn)學習目標的活動,“思考活動”和“探索過程”是問題解決的內(nèi)核。數(shù)學領(lǐng)域中的問題解決,與其他科學領(lǐng)域用數(shù)學去解決問題不同。數(shù)學領(lǐng)域里的問題解決,不僅關(guān)心問題的結(jié)果,而且關(guān)心求得結(jié)果的過程,即問題解決的整個思考過程。數(shù)學問題解決,是按照一定的思維對策進行的思維過程。在數(shù)學問題解決的過程中,既運用抽象、歸納、類比、演繹等邏輯思維形式,又運用直覺、靈感(頓悟)等非邏輯思維形式來探索問題的解決辦法。

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