數(shù)學(xué)試題（理工類(lèi)）
2013.4
本試卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）兩部分，其中第Ⅱ卷第22～24題為選考題，其它題為必考題�？忌鞔饡r(shí)，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無(wú)效�？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上。
2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂,如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案的標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。
3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域(黑色線(xiàn)框)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效。
4．保持卡面清潔，不折疊，不破損。
5．做選考題時(shí)，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑。
第I卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知U＝{1,2,3, 4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，則CU(A∪B)等于
A．{6,8} B．{5,7} C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}
2．已知 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z= ，則復(fù)數(shù) 的虛部是
A． B． C． D．
3．函數(shù)y= 與y= 圖形的交點(diǎn)為（a，b），則a所在區(qū)間是
A．（0，1）B．（1，2 ） C．（2，3 ） D．（3，4）
4. 已知F1、F2是雙曲線(xiàn)x2a2－y2b2＝1(a>0， b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線(xiàn)段F1F2為邊作正△MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，則雙曲線(xiàn)的離心率為
A．4＋23 B.3－1
C. 3＋12 D.3＋1
5. 右邊的程序框圖，若輸出S的值為－14，
則判斷框內(nèi)可填寫(xiě)
A．i<6? B．i<8?
C．i<5? D.i<7?
6. 函數(shù)f(x)=
A．在 上遞增，在 上遞減
B．在 上遞增，在 上遞減
C．在 上遞增，在 上遞減
D．在 上遞增，在 上遞減
7. 若某空間幾何體的三視圖如圖所示，
則該幾何體的體積是
A． 13 B．23 C. 1 D. 2
8. 已知點(diǎn) 是邊長(zhǎng)為1的等邊 的中心，
則 等于
A． B．
C． D．
9． 從6名同學(xué)中選4人分別到A、B、C、D四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去D城市游覽，則不同的選擇方案共有
A．96種B．144種C．240種D．300種
10．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知△AOB三邊所在直線(xiàn)的方程分別為x=0,y=0,2x+3y=30，則△AOB內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是
A．95B．91C．88D．75
11. 已知拋物線(xiàn) 上存在關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn) 、 ，則 等于
A．3 B.4 C. D.
12. 設(shè)函數(shù)f(x)=x- ,對(duì)任意 恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
A．(-1 , 1) B. C. D. 或（
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答．第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答．
二、題：本大題共4小題，每小題5分．
13. 已知函數(shù)f(x)＝ax＋1x＋2在區(qū)間(－2，＋∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
________________.
14. 已知向量
則 的值為.
15. 在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率為 ，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為。
16．底面半徑為1，高為3的圓錐，其內(nèi)接圓柱的底面半徑為R，內(nèi)接圓柱的體積最大時(shí)R值為。
三、解答題:解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明．證明過(guò)程或演算步驟
17.（本小題滿(mǎn)分12分）
已知函數(shù) 在點(diǎn) 處取得極值。
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程 在區(qū)間[0，2]上有兩個(gè)不等實(shí)根，求b的取值范圍；
18．(本小題滿(mǎn)分12分)
某班同學(xué)利用國(guó)慶節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì) 歲的人群隨機(jī)抽取 人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱(chēng)為“低碳族”，否則稱(chēng)為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：
（Ⅰ）補(bǔ)全頻率分布直方圖并求 、 、 的值；
（Ⅱ）從 歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取 人參加戶(hù)外低碳體驗(yàn)活動(dòng)，其中選取 人作為領(lǐng)隊(duì)，記選取的 名領(lǐng)隊(duì)中年齡在 歲的人數(shù)為 ，求 的分布列和期望 。
19．（本題滿(mǎn)分12分)
如圖，已知四棱錐P－ABCD，側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)
等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，∠BDA＝60°.
（Ⅰ）證明：∠PBC＝90°；
（Ⅱ）若PB＝3，求直線(xiàn)AB與平面PBC所成角的正弦值．
20．（本小題滿(mǎn)分12分）
設(shè)橢圓 的離心率 ，右焦點(diǎn)到直線(xiàn) 的距離 為坐標(biāo)原點(diǎn)。
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn) 作兩條互相垂直的射線(xiàn)，與橢圓 分別交于 兩點(diǎn)，證明點(diǎn) 到直線(xiàn) 的距離為定值. 并求出定值
21．（本小題12分）
已知函數(shù) (x) 定義在 上， ，滿(mǎn)足 ，且數(shù)列 ．
（Ⅰ）證明： (x)在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（Ⅱ）求 的表達(dá)式；
（Ⅲ）若 ，（ ）.試求 .
請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑.
22.（本小題滿(mǎn)分10分） 選修4―1；幾何證明選講．
如圖， 的角平分線(xiàn) 的延長(zhǎng)線(xiàn)交它的外接圓于點(diǎn)
（Ⅰ）證明： ∽
（Ⅱ）若 的面積 ，求 的大小。
23.（本小題滿(mǎn)分10分）選修4―4;坐標(biāo)系與參數(shù)方程．
已知曲線(xiàn) 的極坐標(biāo)方程是 ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線(xiàn) 的參數(shù)方程 .
（Ⅰ）寫(xiě)出直線(xiàn) 的普通方程與曲線(xiàn) 的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線(xiàn) 經(jīng)過(guò)伸縮變換 得到曲線(xiàn) ，設(shè)曲線(xiàn) 上任一點(diǎn)為 ，
求 的最小值.
24．（本小題滿(mǎn)分10分）選修4―5；不等式選講．
已知 ，設(shè)關(guān)于x的不等式 + 的解集為A.
（Ⅰ）若 =1,求A；
（Ⅱ）若 A=R, 求 的取值范圍。
數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
∴ 所求實(shí)數(shù) 的取值范圍是 …………………12分
18．解析：（Ⅰ）第二組的頻率為 ，所以高為 ．頻率直方圖如下：
-------------------------------2分
第一組的人數(shù)為 ，頻率為 ，所以 ．
第二組的頻率為0．3，所以第二組的人數(shù)為 ，所以 ．
第四組的頻率為 ,第四組的人數(shù)為 ，
所以 ． -------------------------------6分
（Ⅱ）因?yàn)?歲年齡段的“低碳族”與 歲年齡段的“低碳族”的比值為 ，所以采用分層抽樣法抽取18人， 歲中有12人， 歲中有6人．隨機(jī)變量 服從超幾何分布．
， ，
， ． 分
所以隨機(jī)變量 的分布列為
0123
∴數(shù)學(xué)期望 ．--------------------12分
19．(1)取AD中點(diǎn)O，連OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，又OP∩OB＝O，∴AD⊥平面POB，
∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB?平面POB，
∴BC⊥PB，即∠PBC＝90°. …………………………5分
(2)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)，由PO＝BO＝3，PB＝3，得∠POB＝120°，∴∠POz＝30°，∴P(0，－32， 32)，則AB→＝(－1，3，0)，BC→＝(－1,0,0)，PB→＝(0，332，－32)，設(shè)平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)，
則－x＝0332y－32z＝0，取z＝3，則n＝(0,1，3)，
設(shè)直線(xiàn) AB與平面PBC所成的角為θ，則
sinθ＝cos〈AB→，n〉＝34. …………………………12分
20、解：（I）由
∴ ，又 ，∴ 為等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式為
．…………..6分
(3)解：∵ + =6n, ∴ + =6(n+1),兩式相減，得 - =6，
∴ 與 均為公差為6 的等差數(shù)列，
∴易求得 = �！�.12分
22. 解：證明：（Ⅰ）由已知條件，可得
因?yàn)?是同弧上的圓周角，所以 ，
故 ∽ …….5分
（Ⅱ）因?yàn)?∽ ，所以 ，即
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