數(shù) 學(xué) （理科）
2013.4
本試卷共4頁(yè)，150分�？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上
作答無(wú)效�？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).
1.集合 ，則
A. B. C. D.
2.在極坐標(biāo)系中, 曲線 圍成的圖形面積為
Ａ. B. Ｃ. Ｄ.
3.某程序的框圖如圖所示，執(zhí)行該程序， 若輸入的 值為5，則輸出的 值為
Ａ. B. C. D.
4.不等式組 表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則 的值為
Ａ. B. C. D.
5. 若向量 滿足 ，則 的值為
A. B. C. D.
6. 一個(gè)盒子里有3個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1，2，3的小球，每次取出一個(gè)，記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標(biāo)號(hào)最大值是3的取法有
A.12種 B. 15種 C. 17種 D.19種
7. 拋物線 的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又點(diǎn) ，則 的最
小值是
A. B. C. D.
8. 設(shè) 為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4，5，6的直線.給出下列三個(gè)結(jié)論：
① ，使得 是直角三角形；
② ，使得 是等邊三角形；
③三條直線上存在四點(diǎn) ，使得四面體 為在一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩互相垂直的四面體.
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是
A. ① B.①② C. ①③ D. ②③
二、題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9.在復(fù)平面上，若復(fù)數(shù) （ ）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)恰好在實(shí)軸上，則 =_______.
10.等差數(shù)列 中, , 則
11.如圖， 與 切于點(diǎn) ，交弦 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，
過(guò)點(diǎn) 作圓 的切線交 于點(diǎn) . 若 ， ，
則弦 的長(zhǎng)為_______.
12.在 中，若 ，則
13.已知函數(shù) 有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是_____.
14.已知函數(shù) ，任取 ，定義集合：
，點(diǎn) ， 滿足 .
設(shè) 分別表示集合 中元素的最大值和最小值，記 . 則
（1）函數(shù) 的最大值是_____；
（2）函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為________.
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明, 演算步驟或證明過(guò)程.
15.（本小題滿分13分）
已知函數(shù) .
（Ⅰ）求 的值和 的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值和最小值.
16.（本小題滿分13分）
在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報(bào)II類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試，成績(jī)分為A,B,C,D,E五個(gè)等級(jí). 某考場(chǎng)考生兩科的考試成績(jī)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績(jī)?yōu)锽的考生有10人.
（I）求該考場(chǎng)考生中“與表達(dá)”科目中成績(jī)?yōu)锳的人數(shù)；
（II）若等級(jí)A，B，C，D，E分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分.
（i）求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；
(ii)若該考場(chǎng)共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 從這10
人中隨機(jī)抽取兩人，求兩人成績(jī)之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.
17.（本小題滿分14分）
在四棱錐 中， 平面 ， 是正三角形， 與 的交點(diǎn) 恰好是 中點(diǎn)，又 ， ，點(diǎn) 在線段 上，且 ．
（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）求證： 平面 ;
（Ⅲ）求二面角 的余弦值．
18.（本小題滿分13分）
已知函數(shù) (其中 為常數(shù)且 )在 處取得極值.
(I) 當(dāng) 時(shí)，求 的單調(diào)區(qū)間；
(II) 若 在 上的最大值為 ，求 的值.
19.（本小題滿分14分）
已知圓 ： （ ）.若橢圓 ： （ ）的右頂點(diǎn)為圓 的圓心，離心率為 .
（I）求橢圓 的方程；
（II）若存在直線 ： ，使得直線 與橢圓 分別交于 ， 兩點(diǎn)，與圓 分別交于 ， 兩點(diǎn)，點(diǎn) 在線段 上，且 ，求圓 半徑 的取值范圍.
20.（本小題滿分13分）
設(shè) 為平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn)，其中 .令 ， ，若 ,且 ，則稱點(diǎn) 為點(diǎn) 的“相關(guān)點(diǎn)”，記作： . 已知 為平面上一個(gè)定點(diǎn)，平面上點(diǎn)列 滿足： ，且點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，其中 .
（Ⅰ）請(qǐng)問(wèn)：點(diǎn) 的“相關(guān)點(diǎn)”有幾個(gè)？判斷這些“相關(guān)點(diǎn)”是否在同一個(gè)圓上，若在同一個(gè)圓上，寫出圓的方程；若不在同一個(gè)圓上，說(shuō)明理由；
（Ⅱ）求證：若 與 重合， 一定為偶數(shù)；
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