廣東省惠州市2013屆高三第二次調研考試數學試題（文科）
第Ⅰ卷（，共50分）
一．：本大題共l0小題，在每小題給出的四個選項中．只有一項是符合題目要求的．每小題5分，滿分50分．
1.命題“ ”的否命題是( )．
A. B.
C. D.
2.為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文 密文（加密），接受方由密文 明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文 對應密文 ，例如，明文 對應密文 ．當接受方收到密文 時，則解密得到的明文為（ ）．
A． 4，6，1，7 B． 7，6，1，4 C． 6，4，1，7 D． 1，6，4，7
3.已知向量 ， ，若 ，則實數 的值等于（ ）．
A. B. C. D.
4.已知橢圓的長軸長是短軸長的 倍，則橢圓的離心率等于（ ）．
A． B． C． D．
5.在一次射擊訓練中，一小組的成績如下表：
環(huán)數
已知該小組的平均成績?yōu)?環(huán)，那么成績?yōu)?環(huán)的人數是（ ）．
． ． ． ．
6. 下列函數為奇函數的是（ ）．
． ． ． ．
7. 下列四個幾何體中，每個幾何體的三視圖有且僅有兩個視圖相同的是（ ）．
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
8.如果執(zhí)行下面的程序框圖，那么輸出的 （ ）．
Ａ．2450 Ｂ.2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652
9.將函數 的圖象先向左平移 ，然后將所得圖象上
所有的點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），則所得到的圖象
對應的函數解析式為（ ）．
A． B． C． D．
10.已知全集R，集合 ,若a>b>0，
則有( )．
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）
二．題：本大題共5小題，其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．每小題5分，滿分20分．
11．化簡： ．
12. 已知 是定義在R上的函數，且對任意 ，都有： ，又 則 ．
13.若實數 滿足條件 ，則目標函數 的最大值為_____ ．
14. (坐標系與參數方程選做題)極坐標系中，圓 上的動點到直線 的距離的最大值是 ．
15. (幾何證明選講選做題)如右圖所示， 是圓 的直徑，
， ， ，則 ．
三．解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．
16.（本小題12分） 在△ABC中， 是角 所對的邊，且滿足 ．
(Ⅰ)求角 的大小；
(Ⅱ)設 ，求 的最小值.
17．(本小題14分)已知：正方體 ， ，E為棱 的中點．
(Ⅰ) 求證： ；
(Ⅱ) 求證： 平面 ；
（Ⅲ）求三棱錐 的體積．
18．（本小題12分）有朋自遠方來，已知他乘火車、輪船、汽車、飛機來的概率分別是 ．
(Ⅰ)求他乘火車或飛機來的概率；
(Ⅱ)求他不乘輪船來的概率；
（Ⅲ)如果他來的概率為 ，請問他有可能是乘何種交通工具來的？
19.（本小題14分）設函數 的圖象關于原點對稱， 的圖象在點 處的切線的斜率為 ，且當 時 有極值．
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)求 的所有極值．
20. (本小題14分)已知圓 ： 和圓 ，直線 與圓 相切于點 ；圓 的圓心在射線 上，圓 過原點，且被直線 截得的弦長為 ．
(Ⅰ)求直線 的方程
(Ⅱ)求圓 的方程．
21．（本小題14分）已知數列 是等差數列， ；數列 的前n項和是 ，且 ．
(Ⅰ) 求數列 的通項公式；
(Ⅱ) 求證：數列 是等比數列；
(Ⅲ) 記 ，求 的前n項和 ．
廣東省惠州市2013屆高三第二次調研考試
數學試題（文科）參考答案
答案
1.解析：命題“ ”的否命題是：“ ”，故選C．
2.解析：由已知，得： ，故選 ．
3.解析：若 ，則 ，解得 ．故選 ．
4.解析：由題意得 ，又 ．
故選 ．
5.解析：設成績?yōu)?環(huán)的人數是 ，由平均數的概念，得： ．
故選 ．
6.解析： 是偶函數； 是指數函數； 是對數函數．故選 ．
7.解析：①的三視圖均為正方形；②的三視圖中正視圖．側視圖為相同的等腰三角形，俯視圖為圓；④的三視圖中正視圖．側視圖為相同的等腰三角形，俯視圖為正方形．故選 ．
8.解析：程序的運行結果是 ，選 ．
9.解析： 的圖象先向左平移 ，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍 ．答案： ．
10.解析：特殊值法：令 ，有 ．故選 ．
題號1112131415
答案
11.解析： ．
12.解析：令 ，則 ，令 ，則 ，
同理得 即當 時， 的值以 為周期，
所以 ．
13.解析：由圖象知：當函數 的圖象過點 時，
取得最大值為2．
14. (坐標系與參數方程選做題)解析：將極坐標方程轉化成直角坐標方程，圓 上的動點到直線 的距離的最大值就是圓心 到直線 的距離 再加上半徑 ．故填 ．
15. (幾何證明選講選做題)解析：連結 ，
則在 和 中： ，
且 ，所以 ，
故 ．
三．解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．
16.析：主要考察三角形中的邊角關系、向量的坐標運算、二次函數的最值．
解：(Ⅰ)∵ ，∴ ， ………………3分
又∵ ，∴ ． ……………………………………………5分
（Ⅱ） ……………………………………………6分
， ………………………8分
∵ ，∴ ． ……………10分
∴當 時，取得最小值為 ． …………12分
17．析：主要考察立體幾何中的位置關系、體積．
解：(Ⅰ)證明：連結 ，則 // ， …………1分
∵ 是正方形，∴ ．∵ 面 ，∴ ．
又 ，∴ 面 ． ………………4分
∵ 面 ，∴ ，
∴ ． …………………………………………5分
（Ⅱ）證明：作 的中點F，連結 ．
∵ 是 的中點，∴ ，
∴四邊形 是平行四邊形，∴ ． ………7分
∵ 是 的中點，∴ ，
又 ，∴ ．
∴四邊形 是平行四邊形， // ，
∵ ， ，
∴平面 面 ． …………………………………9分
又 平面 ，∴ 面 ． ………………10分
（3） ． ……………………………11分
． ……………………………14分
18．析：主要考察事件的運算、古典概型．
解：設“朋友乘火車、輪船、汽車、飛機來”分別為事件 ，則 ， ， ， ，且事件 之間是互斥的．
(Ⅰ)他乘火車或飛機來的概率為 ………4分
(Ⅱ)他乘輪船來的概率是 ，
所以他不乘輪船來的概率為 ． ………………8分
（Ⅲ)由于 ，
所以他可能是乘飛機來也可能是乘火車或汽車來的． …………………12分
19.析：主要考察函數的圖象與性質，導數的應用．
解：(Ⅰ)由函數 的圖象關于原點對稱，得 ，………………1分
∴ ，∴ ． …………2分
∴ ，∴ ． ……………………………4分
∴ ，即 ． ……………………6分
∴ ． ……………………………………………………7
0+0
?極小?極大?
∴ ． ………………………14分
20．析：主要考察直線．圓的方程，直線與圓的位置關系．
解：(Ⅰ)（法一）∵點 在圓 上， …………………………2分
∴直線 的方程為 ，即 ． ……………………………5分
（法二）當直線 垂直 軸時，不符合題意． ……………………………2分
當直線 與 軸不垂直時，設直線 的方程為 ，即 ．
則圓心 到直線 的距離 ，即： ，解得 ，……4分
∴直線 的方程為 ． ……………………………………………5分
（Ⅱ）設圓 ： ，∵圓 過原點，∴ ．
∴圓 的方程為 ．…………………………7分
∵圓 被直線 截得的弦長為 ，∴圓心 到直線 ： 的距離：
． …………………………………………9分
整理得： ，解得 或 ． ……………………………10分
∵ ，∴ ． …………………………………………………………13分
∴圓 ： ． ……………………………………14分
21．析：主要考察等差、等比數列的定義、式，求數列的和的方法．
解：(Ⅰ)設 的公差為 ，則： ， ，
∴ ． …………………………………………4分
（Ⅱ）當 時， ，由 ，得 ． …………………5分
當 時， ， ，
∴ ，即 ． …………………………7分
∴ ． ……………………………………………………………8分
∴ 是以 為首項， 為公比的等比數列． …………………………………9分
（Ⅲ）由（2）可知： ． ……………………………10分
∴ ． …………………………………11分
∴ ． …14分
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