§7.2 萬有引力理論的成就
【學習目標】
1．了解萬有引力定律在天學上的應用
2．會用萬有引力定律計算天體的質量和密度
3．掌握綜合運用萬有引力定律和圓周運動學知識分析具體問題的方法
能力目標
通過求解太陽.地球的質量，培養(yǎng)學生理論聯(lián)系實際的運用能力
德育目標
通過介紹用萬有引力定律發(fā)現(xiàn)未知天體的過程，使學生懂得理論于實踐，反過又可以指導實踐的辨證唯物主義觀點
【自主學習】
一.天體質量的估算
對一個物體的物理特性進行測量的方法主要有兩種：直接測量和間接測量。而直接測量往往很困難，無法測出結果，所以間接測量就成為一種非常有用的方法，但間接測量需要科學的方法和科學理論作為依據(jù)。
求天體質量的方法主要有兩種:一種方法是根據(jù)重力加速度求天體質量,即引力=重力mg=Gm/R2; 另一種方法是根據(jù)天體的圓周運動,即其向心力由萬有引力提供,
1．某行星的一顆小衛(wèi)星在半徑為r的圓軌道上繞行星運行，運行的周期是T。已知引力常量為G，這個行星的質量=＿＿
2. 已知地球表面的重力加速度為g,引力常量為G,地球半徑為R,則地球質量=＿＿
二.發(fā)現(xiàn)未知天體
關于萬有引力定律應用于天學研究上的事實,下列說法中正確的是( )
A.天王星.海王星和冥王星都是運用萬有引力定律,經過大量計算以后發(fā)現(xiàn)的
B.在18世紀已發(fā)現(xiàn)的7個行星中，人們發(fā)現(xiàn)第七個行星天王星的運動軌道總是根據(jù)萬有引力定律計算出的理論軌道有較大的偏差,于是有人推測在天王星軌道外還有一個行星,是它的存在引起上述偏差.
C.海王星是運用萬有引力定律,經過大量計算以后發(fā)現(xiàn)的
D. 冥王星是英國的亞當斯和法國的勒維列運用萬有引力定律,經過大量計算以后發(fā)現(xiàn)的
【典型例題】
解決天體運動問題的基本思路
很多天體運動都可以近似地看成圓周運動，其向心力由萬有引力提供
[例1] 已知太陽光從太陽射到地球需時間500s,地球公轉軌道可近似看成圓軌道,地球半徑為6400km,試計算太陽質量與地球質量m之比?
跟蹤練習 所有行星繞太陽運轉其軌道半徑的立方和運轉周期的平方的比值即r3/T2=k,那么k的大小決定于( )
A.只與行星質量有關 B.只與恒星質量有關
C.與行星及恒星的質量都有關 D.與恒星質量及行星的速率有關
地球表面物體的重力近似等于物體受到地球的引力
[例2] 某物體在地面上受到的重力為160N,將它放置在衛(wèi)星中,在衛(wèi)星以a=1/2 g隨火箭向上加速度上升的過程中,當物體與衛(wèi)星中的支持物的相互擠壓力為90N時,求此時衛(wèi)星距地球表面有多遠? （地球半徑R=6.4×103km,g=10m/s2）
估算天體的密度
［例3］一艘宇宙飛船飛近某一個不知名的行星,并進入靠近該行星表面的圓形軌道,宇航員進行預定的考察工作,宇航員能不能僅用一只表通過測定時間測定該行星的密度? 說明理由及推導過程.
雙星問題
［例4］兩個星球組成雙星,它們在相互之間的萬有引力作用下,繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動,現(xiàn)測得兩星中心距離為R,其運動周期為T,求兩星的總質量?
答案 自主學習 1 =4π2r3/GT2 2 =gR2/G BC
例1 3×105 B 例2 1.92×km 例3 ρ=3π/GT2 例4 4π2r3/GT2
【能力訓練】
一、選擇題
1．設在地球上和在x天體上，以相同的初速度豎直上拋一物體，物體上升的最大高度比為(均不計阻力)，且已知地球和x天體的半徑比也為，則地球質量與x天體的質量比為( )
A．1B．C．2D．1/
2．(1988年•全國高考)設地球表面重力加速度為g0，物體在距離地心4R(R是地球的半徑)處，由于地球的作用而產生的加速度為g，則g/g0為( )
�。粒�1Ｂ．1/9Ｃ．1/4Ｄ．1/16
3．對于萬有引力定律的數(shù)學表達式F＝ ，下列說法正確的是( )
�。粒街蠫為引力常數(shù)，是人為規(guī)定的
�。拢畆趨近于零時，萬有引力趨于無窮大
Ｃ．m1、m2之間的萬有引力總是大小相等，與m1、m2的質量是否相等無關
�。模甿1、m2之間的萬有引力總是大小相等方向相反，是一對平衡力
4．地球的半徑為R，地球表面處物體所受的重力為mg，近似等于物體所受的萬有引力．關于物體在下列位置所受萬有引力大小的說法中，正確的是( )
�。粒x地面高度R處為4mg �。拢x地面高度R處為mg/2
�。茫x地面高度－3R處為mg/3 Ｄ．離地心R/2處為4mg
5．物體在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的1/6，這說明了( )
A．地球的半徑是月球半徑的6倍 B．地球的質量是月球質量的6倍
C．月球吸引地球的力是地球吸引月球的力的1/6
D．物體在月球表面的重力是其在地球表面的重力的1/6
6．關于天體的運動，下列敘述正確的是( )
A．地球是靜止的，是宇宙的中心 B．太陽是宇宙的中心
C．地球繞太陽做勻速圓周運動 D．九大行星都繞太陽運動，其軌道是橢圓
7．太陽表面半徑為R’，平均密度為ρ′，地球表面半徑和平均密度分別為R和ρ，地球表面附近的重力加速度為g0 ，則太陽表面附近的重力加速度g′( )
A． B． g0 C． g0D． g0
8．假設火星和地球都是球體，火星質量火和地球質量地之比為火/地＝p，火星半徑R火和地球半徑R地之比為R火/R地＝q，那么火星表面處的重力加速度g火和地球表面處的重力加速度g地之比g火/g地等于( )
A．p/q2B．pq2 C．p/qD．pq
二、非選擇題
9．已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，萬有引力恒量為G，用以上各量表示地球質量＝________．
10．已知地球半徑約為6.4×106 m，又知月球繞地球的運動可近似看做圓周運動，則可估算出月球到地心的距離為________m．(結果保留一位有效數(shù)字)
11．火星的半徑是地球半徑的一半，火星質量約為地球質量的1/9，那么地球表面質量為50 kg的物體受到地球的吸引力約是火星表面同質量的物體受到火星吸引力的______倍．
12．假如地球自轉速度達到使赤道上的物體“飄”起(即完全失重)，那么地球上一天等于多少小時？(地球半徑取6.4×106 m)
13．飛船以a＝g/2的加速度勻加速上升，由于超重現(xiàn)象，用彈簧秤測得質量為10 kg的物體重量為75 N．由此可知，飛船所處位置距地面高度為多大？(地球半徑為6400 km， g＝10 m/s2)
14．兩顆靠得很近的恒星，必須各以一定的速率繞它們連線上某一點轉動，才不至于由于萬有引力的作用而將它們吸引到一起．已知這兩顆恒星的質量為m1、m2，相距L，求這兩顆恒星的轉動周期．
【學后反思】
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參考答案
一、選擇題
1．解析：mg＝G ，g＝G H＝ ，g＝
兩式聯(lián)立求解得：∶′＝∶1
答案：B
2．解析：本題考查萬有引力定律的簡單應用．地球表面處的重力加速度和在離地心高4R處的加速度均由地球對物體的萬有引力產生，所以有
F＝G ＝mg，
答案：D
3．C
4解析：F＝mg＝G ，F(xiàn)′＝mg′＝G ，F(xiàn)′＝ F＝ mg．故C選項正確．
答案：C
5．D
6．D
7．解析：mg0＝G ，g0＝G ＝G R3/R2，g0＝ GR．同理可得g′＝ G′R′．故g′＝ g0，則C選項正確．
答案：C
8．解析：由G ＝mg，得g＝
所以， ＝ •( )2＝P/q2
答案：A
二、非選擇題
9．解析：地球表面上物體重力等于地球對物體的萬有引力，即mg＝G
所以�。�
答案：
10．解析：地球對月球的萬有引力提供月球繞地球運轉所需的向心力，月球繞地球運轉的周期為27天，即
G ＝m •r①
T＝27×24×3600 s
G ＝m′g �、�
由①、②兩式可得
r＝ ＝ ＝4×108 m
答案：4×108
11．解析：物體受地球的吸引力為
F＝G �、�
物體受火星的吸引力為
F′＝G ②
兩式相除得
答案：
12．解析：由萬有引力提供向心力，則
G ＝mg＝m2R＝m •R
所以T＝2 ＝2
�。�2 s
�。�16×102 s＝ h＝1.396 h＝1.4 h
答案：1.4 h
13．解析：該題應用第二定律和萬有引力的知識求解，設物體所在位置高度為h，重力加速度為g′，物體在地球表面重力加速度為g，則
F-mg′＝ma①
g′＝G ②
g＝G ③
由①式得：
g′＝ -a＝ - ＝
由②、③得：
所以h＝R＝6400 km．
答案：6400 km
14．解析：由萬有引力定律和向心力公式求即可．m1、m2做勻速圓周運動的半徑分別為R1、R2，它們的向心力是由它們之間的萬有引力提供，所以
G ＝m1 R1①
G ＝m2 R2②
R1+R2＝L③
由①②③得：
，得：R1＝ L
代入①式
T2＝
所以：T＝2 答案：2
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