山西大學(xué)附中高三下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（理）考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分 考查內(nèi)容：高中全部 一選擇題(共12小題。每小題5分，共60分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．設(shè)，若，若，則 （ ）A．0 B．－2 C．0或－2 D．0或±22．將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)，則不同的放球方法有（　�。〢． 10種 B．20種 C． 36種 D．52種3．已知數(shù)據(jù)是市個(gè)普通職工的的年收入,設(shè)這個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，平均數(shù)為，方差為，如果再加上比爾．蓋茨的的年收入（約900億元），則這個(gè)數(shù)據(jù)中，下列說(shuō)法正確的是（ ）A．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)一定變大，方差可能不變gkstkB．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差變大C．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差也不變D．年收入平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變。4．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，則等于 （ ）A． B． C． D．5．已知函數(shù) 則( )A． B． C． D．6．設(shè)復(fù)數(shù)，若,則復(fù)數(shù)z的虛部為( ）A． B． C． D． 7．的三內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，設(shè)向量,．若使則角C的大小為 ( )A． B． C． D． 8．過(guò)拋物線焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則為（）A． 銳角三角形 B． 直角三角形 C． 鈍角三角形 D．不確定9．在中，，，則的最小值是 （ ） A． B． C． D．A．2 B． 1 C．3 ．D． 11． 若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 （ ） B．2 C． D．8 12．已知函數(shù)，若，且，則 （ ）A．2 B．4 C．8 D．隨值變化二． 填空題：(本大題共小題，每小題5分)13．已知某幾何體的三視圖如圖，其中正視圖中半圓的直徑為2，則該幾何體的體積為．14．曲線與直線圍成的封閉圖形的面積為 ．15． 如圖，圓O：內(nèi)的正弦曲線與x軸圍成的區(qū)域記為M（圖中陰影部分）隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為 ． 16．已知無(wú)窮數(shù)列具有如下性質(zhì):①為正整數(shù)；②對(duì)于任意的正整數(shù),當(dāng)為偶數(shù)時(shí),;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),．在數(shù)列中，若當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（，），則首項(xiàng)可取數(shù)值的個(gè)數(shù)為 （用表示）．三．解答題：（共70分）17．（本題滿分12分）已知．（Ⅰ）求的最大值及取得最大值時(shí)的值；（Ⅱ）在中，角，，的對(duì)邊分別為若，，，求的面積．18．（本題滿分12分）某高中為了推進(jìn)新課程改革，滿足不同層次學(xué)生的需求，決定從高一年級(jí)開(kāi)始，在每周的周一、周、周三的課外活動(dòng)期間同時(shí)開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物和信息技術(shù)輔導(dǎo)講座，每位有興趣的同學(xué)可以在期間的任何一天參加任何一門科目的輔導(dǎo)講座，也可以放棄任何一門科目的輔導(dǎo)講座。（規(guī)定：各科達(dá)到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時(shí)稱為滿座，否則稱為不滿座）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，各學(xué)科講座各天的滿座的概率如下表：信息技術(shù)生物化學(xué)物理數(shù)學(xué)周一周周根據(jù)上表：（Ⅰ）求數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周、周三都不滿座的概率；設(shè)周二各輔導(dǎo)講座滿座的科目數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（本題滿分12分）等邊三角形的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn),且滿足 (如圖1)．將△沿折起到△的位置,使二面角為直二面角,連結(jié) (如圖2)．（Ⅰ）求證:平面在線段上是否存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為?若存在,求出的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．gkstk20．（本題滿分12分）已知橢圓的離心率，橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為,左、右焦點(diǎn)分別為原點(diǎn)到直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的方程；是橢圓上異于的任一點(diǎn),直線分別交軸于點(diǎn),若直線與過(guò)點(diǎn)的圓相切，切點(diǎn)為．證明：線段的長(zhǎng)為定值,并求出該定值．21．（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)定義在上，，導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；是否存在，使得對(duì)任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．gkstk請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．2．（本題滿分10分）選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線 (t為參數(shù))， (為參數(shù))．（Ⅰ）化，的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線過(guò)曲線的左頂點(diǎn)且傾斜角為的直線交曲絨于兩點(diǎn)，求．gkstk23．（本題滿分10分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若的最小值為3，求值；求不等式的解集．山大附中高三月考理科數(shù)學(xué)一．選擇題CABBB;DCCCA;DA二．填空題：13．；14．．；16．17、解:（Ⅰ）． …… 2分當(dāng)，即，時(shí)，函數(shù)取得最大值2．…… 4分（Ⅱ）由，得，∵，∴，解得． …… 6分因?yàn)�，根�?jù)正弦定理，得， ……8分由余弦定理，有，則，解得，， ……10分故△ABC的面積． ……12分18．解：（1）設(shè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周二、周三都不講為事件A,ξ012345P故19．證明:(1)因?yàn)榈冗叀鞯倪呴L(zhǎng)為3,且, 所以,． 在△中,, 由余弦定理得． 因?yàn)? 所以．……………3分折疊后有,因?yàn)槎�面角是直二面�?所以平面平面 ,又平面平面,平面,, 所以平面．………6分(2)解法1:假設(shè)在線段上存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為． 如圖,作于點(diǎn),連結(jié)、 ，由(1)有平面,而平面, 所以,又, 所以平面, 所以是直線與平面所成的角 , ………………………8分設(shè),則,,在△中,,所以 ,在△中,, ,由, 得 ,解得,滿足,符合題意 所以在線段上存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為,此時(shí) ………12分解法2:由(1)的證明,可知,平面． 以為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖 ,設(shè), 則,, ,所以,,,所以 ,因?yàn)槠矫? 所以平面的一個(gè)法向量為 , ………………………9分因?yàn)橹本�與平面所成的角為, 所以,, 解得 ,即,滿足,符合題意,所以在線段上存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為,此時(shí) ．………12分20解：（1）因?yàn)闄E圓C的離心率e＝，則a＝2b，c＝b， 直線A2B2方程為 bx－ay－ab＝0，即bx－2by－2b2＝0．所以＝，解得b＝1．所以 a＝2，橢圓方程為＋y2＝1． ……………分（）由（1）可知A1(0，1) A2(0，－1),設(shè)P(x0，y0), 直線PA1：y－1＝x，令y＝0,得xN＝－； 直線PA2：y＋1＝x，令y＝0,得xM＝；……………………………………10分解法一:設(shè)圓G的圓心為((－)，h),則r2＝[(－)－]2＋h2＝(＋)2＋h2． OG2＝(－)2＋h2．OT2＝OG2－r2＝(－)2＋h2－(＋)2－h(huán)2＝．而＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以O(shè)T2＝4，所以O(shè)T＝2,即線段OT的長(zhǎng)度為定值2. ………………… 12分解法二:OM?ON＝(－)?＝,而＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以O(shè)M?ON＝4．由切割線定理得OT2＝OM?ON＝4．所以O(shè)T＝2,即線段OT的長(zhǎng)度為定值2. …… 1分21、解　(1)由題設(shè)易知f(x)＝ln x，g(x)＝ln x＋，所以g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的單調(diào)增區(qū)間．因此，x＝1是g(x)的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為g(1)＝1.(2)滿足條件的x0不存在．證明如下：假設(shè)存在x0＞0，使g(x)－g(x0)＜對(duì)任意x＞0成立，即對(duì)任意x＞0，有l(wèi)n x＜g(x0)＜ln x＋，(*)但對(duì)上述x0，取x1＝eg(x0)時(shí)，有l(wèi)n x1＝g(x0)，這與(*)左邊不等式矛盾，因此，不存在x0＞0，使g(x)－g(x0)＜對(duì)任意x＞0成立．另一種證法如下：假設(shè)存在x0＞0，使g(x)－g(x0)＜對(duì)任意的x＞0成立．由(1)知，g(x)的最小值為g(1)＝1，又g(x)＝ln x＋＞ln x，而x＞1時(shí)，ln x的值域?yàn)?0，＋∞)， x≥1時(shí)g(x)的值域?yàn)閇1，＋∞)，從而可取一個(gè)x1＞1，使g(x1)≥g(x0)＋1.即g(x1)－g(x0)≥1，故g(x1)－g(x0)≥1＞，與假設(shè)矛盾．∴不存在x1＞0，使g(x)－g(x0)＜對(duì)任意x＞0成立．22解：⑴曲線為圓心是，半徑是1的圓．曲線為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8，短軸長(zhǎng)是6的橢圓．……4分⑵曲線的左頂點(diǎn)為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）將其代入曲線整理可得：，設(shè)對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為，則所以. ……………………………10分23解：⑴因?yàn)橐驗(yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故為所求.……………………4分⑵不等式即不等式 ， ①當(dāng)時(shí)，原不等式可化為即所以，當(dāng)時(shí)，原不等式成立.②當(dāng)時(shí)，原不等式可化為即所以，當(dāng)時(shí)，原不等式成立.③當(dāng)時(shí)，原不等式可化為即 由于時(shí)所以，當(dāng)時(shí)，原不等式成立.綜合①②③可知： 不等式的解集為……………………10分F2F1B2B1A2A1NOPGTyxM圖 2山西省山大附中屆高三下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)理試題
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