余姚中學 高二數(shù)學期中考試試卷（理科） 一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1 . 若,則直線的傾斜角的取值范圍是（ ） A. B. C. D.2 . 已知向量,,且與互相垂直，則的值是 ( )A.1B. C. D.3．已知點M是直線l：2x－y－4＝0與x軸的交點，過M點作直線l的垂線，得到的直線方程是(　　)A．x－2y－2＝0 B．x－2y＋2＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0 某三棱錐的側(cè)視圖和俯視圖如圖1所示，則該三棱錐的體積為(　　)圖1A．4 B．8C．12 D．24下列命題中錯誤的是A. 如果平面平面，平面平面，，那么如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面如果平面平面，過內(nèi)任意一點作交線的垂線，那么此垂線必垂直于，則直線與橢圓的位置關系是 ( )A.相交B.相切 C.相離 D.以上三種情況均有可能7．已知l，m是兩條不重合的直線，α，β，γ是三個不重合的平面，給出下列條件，能得到α∥β的是 (　　)A．lα，lβ B．αγ，βγ C．mα，lα，mβ，lβ D．lα，mβ，lm8．已知是平面上不共線的三點，是三角形的重心，動點滿足,則點一定為三角形的（ ） A.邊中線的中點 B.邊中線的三等分點（非重心） C.重心 D.邊的中點9．是雙曲線：（）的左、右焦點，過的直線與的左、右兩支分別交于兩點．若 則雙曲線的離心率為 ( ) …gkstkA． B． C．2 D．10．單位正方體在一個平面內(nèi)的投影面積的最大值和最小值分別為（�。〢. B. C. D.二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）11 . 在正方體中，分別為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是 . 12 . 直線經(jīng)過橢圓 (a＞b＞0)的一個焦點和一個頂點,則該橢圓的離心率等于. 13 . 正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，O是A1C1的中點，則O到平面ABC1D1的距離為，到直線：的距離相等，則實數(shù)的值等于 . 15．已知直線的方向向量是，平面的法向量分別是若且，則與的關系是：的右頂點A作斜率為1的直線，分別與兩漸近線交于兩點，若，則雙曲線的離心率為 . 17．棱長為的正在空間直角坐標系中移動，但保持點分別在軸、軸上移動，則原點的最距離為已知圓，是軸上的動點，、分別切圓于、 兩點.（1）如果=，求直線的方程；（2）求動弦的中點的軌跡方程.19.（本題滿分14分）在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點．(1)求證：BD⊥EG；()求二面角C－DF－E的余弦值．的三棱柱中，側(cè)面底面，．（1）求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大��；（2） 已知點滿足，在直線上是否存在點，使？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由．21. （本題滿分15分）已知橢圓的左頂點，過右焦點且垂直于長軸的弦長為．（1）求橢圓的方程；（2）若過點的直線與橢圓交于點，與軸交于點，過原點與平行的直線與橢圓交于點，求證：為定值．22. （15分）如圖，是離心率為的橢圓的左、右焦點，直線：將線段分成兩段，其長度之比為．設是C上的兩個動點，線段的中垂線與C交于兩點，線段AB的中點M在直線上．（） 求橢圓的方程；（） 求的取值范圍．余姚中學 高二數(shù)學期中考試試卷（理科） 一、DCCAD,ADBAA.二．11. 12. 13. 14. 或 15. 與重合.16. 或 17.三、解答題：18 .答：（1）∵ ∴∴ ∴ ∴ -------------（3分）∴直線的方程為 -…gkstk ---------------（7分）（2）設∵，弦的中點為∴ ∴∴ ∴ ---------------------------------------（14分）19.(1)證明：EF⊥平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，EF⊥AE，EFBE.又AEEB，EB，EF，EA兩兩垂直．以點E為坐標原點，EB，EF，EA分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(xiàn)(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)．＝(2,2,0)，＝(－2,2,2)．?＝－2×2＋2×2＝0.⊥. …………………………………………（7分）(2)由已知得＝(2,0,0)是平面EFDA的一個法向量．設平面DCF的法向量為n＝(x，y，z)，＝(0，－1,2)，＝(2,1,0)，即令z＝1，得n＝(－1,2,1)．設二面角C－DF－E的大小為θ，則cosθ＝cos〈n，〉＝－＝－.二面角C－DF－E的余弦值為－.底面，作于點，∴平面.又，且各棱長都相等，∴，，. ---------（2分）故以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，∴，，．--（4分）設平面的法向量為，則 解得. ---（6分）由． 而側(cè)棱與平面所成角，即是向量與平面的法向量所成銳角的余角，∴側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小為． -------（8分）(2)∵，而 ∴又，∴點的坐標為． -------（10分）假設存在點符合題意，則點的坐標可設為，∴．∵，為平面的法向量，由，得． --------（12分）又平面，故存在點，使，其坐標為，即恰好為點． --------（14分）21. 解：（1），設過右焦點且垂直于長軸的弦為，將代入橢圓方程，解得， …………（2分）故，可得． …………（4分）所以，橢圓方程為． ………（6分）（2）由題意知，直線斜率存在，故設為，則直線的方程為，直線的方程為．可得，則． …………（8分）設，，聯(lián)立方程組，消去得：，…gkstk，， 則． ……（11分）設與橢圓交另一點為，，聯(lián)立方程組，消去得，，所以． …………（13分）故．所以等于定值． ------------（15分）22.．解：（）設F2（c，0），則=，所以c=1．因為離心率e=，所以a=，所以b=1所以橢圓C的方程為． （6分）（）當直線AB垂直于x軸時，直線AB方程為x=?，此時P（，0）、Q（，0），．當直線AB不垂直于x軸時，設直線AB的斜率為k，M（?，m） （m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得（x1+x2）+2（y1+y2）=0，則?1+4mk=0，∴k=此時，直線PQ斜率為k1=?4m，PQ的直線方程為，即y=?4mx?m．聯(lián)立消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m2?2=0．所以，．于是=（x1?1）（x2?1）+y1y2=x1x2?（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）===．令t=1+32m2，1＜t＜29，則．又1＜t＜29，所以．綜上，的取值范圍為[?1，）．（15分）yBDFCGAEzx2103學年度第一學期（第20題）BDFCGAEF2F1BAOyx2103學年度第一學期浙江省余姚中學2015-2016學年高二上學期期中考試（數(shù)學理）
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