14、(2013年南京)如圖，AD是圓O的切線，切點(diǎn)為A，AB是圓O
的弦。過(guò)點(diǎn)B作BC//AD，交圓O于點(diǎn)C，連接AC，過(guò)
點(diǎn)C作CD//AB，交AD于點(diǎn)D。連接AO并延長(zhǎng)交BC
于點(diǎn)，交過(guò)點(diǎn)C的直線于點(diǎn)P，且BCP=ACD。
(1) 判斷直線PC與圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由：
(2) 若AB=9，BC=6，求PC的長(zhǎng)。
解析： 解法一：(1) 直線PC與圓O相切。
如圖，連接CO并延長(zhǎng)，交圓O于點(diǎn)N，連接BN。
∵AB//CD，∴BAC=ACD。
∵BAC=BNC，∴BNC=ACD。
∵BCP=ACD，∴BNC=BCP。
∵CN是圓O的直徑，∴CBN=90。
∴BNCBCN=90，∴BCPBCN=90。
∴PCO=90，即PCOC。
又點(diǎn)C在圓O上，∴直線PC與圓O相切。 (4分)

(2) ∵AD是圓O的切線，∴ADOA，即OAD=90。
∵BC//AD，∴OC=180OAD=90，即OBC。
∴C=B�！郃B=AC。
在Rt△AC中，AC=90，AC=AB=9，C= 1 2 BC=3，
由勾股定理，得A=AC 2C 2 =9232 =62 。
設(shè)圓O的半徑為r。
在Rt△OC中，OC=90，O=AAO=62 r，C=3，OC=r，
由勾股定理，得O 2C 2=OC 2，即(62 r)232=r2。解得r= 27 8 2 。
在△OC和△OCP中，
∵OC=OCP，OC=COP，
∴△OC～△OCP。∴ O OC = C PC ，即 62  27 8 2 27 8 2 = 3 PC 。
∴PC= 27 7 。(8分)
解法二：(1) 直線PC與圓O相切。如圖，連接OC。
∵AD是圓O的切線，∴ADOA，
即OAD=90。
∵BC//AD，∴OC=180OAD=90，
即OBC。
∴C=B。∴AB=AC。∴AB=AC。
∴BAC=2AC。又∵OC=2AC，∴OC=BAC。
∵AB//CD，∴BAC=ACD�！�OC=ACD。又∵BCP=ACD，
∴OC=BCP�！�OCOC=90，∴BCPOC=90。
∴PCO=90，即PCOC。又∵點(diǎn)C在圓O上，∴直線PC與圓O相切。
(2) 在Rt△AC中，AC=90，AC=AB=9，C= 1 2 BC=3，
由勾股定理，得A=AC 2C 2 =9232 =62 。
設(shè)圓O的半徑為r。
在Rt△OC中，OC=90，O=AAO=62 r，C=3，OC=r，
由勾股定理，得O 2C 2=OC 2，即(62 r)232=r2。解得r= 27 8 2 。
在△OC和△OCP中，∵OC=OCP，OC=COP，
∴△OC～△OCP，∴ O OC = C PC ，即 62  27 8 2 27 8 2 = 3 PC 。
∴PC= 27 7 。(8分)

15、（2013•曲靖）如圖，⊙O的直徑AB=10，C、D是圓上的兩點(diǎn)，且 ．設(shè)過(guò)點(diǎn)D的切線ED交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接OC交AD于點(diǎn)G．
（1）求證：DF⊥AF．
（2）求OG的長(zhǎng)．

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)．
分析：（1）連接BD，根據(jù) ，可得∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°，從而可得∠AFD=90°；
（2）根據(jù)垂徑定理可得OG垂直平分AD，繼而可判斷OG是△ABD的中位線，在Rt△ABD中求出BD，即可得出OG．
解答：解：（1）連接BD，
∵ ，
∴∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°，
∴∠ADF=∠ABD=60°，
∴∠CAD+∠ADF=90°，
∴DF⊥AF．
（2）在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=10，
∴BD=5，
∵ = ，
∴OG垂直平分AD，
∴OG是△ABD的中位線，
∴OG= BD= ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理及垂徑定理的知識(shí)，解答本題要求同學(xué)們熟練掌握各定理的內(nèi)容及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．
　
16、（2013•六盤(pán)水）（1）觀察發(fā)現(xiàn)
如圖（1）：若點(diǎn)A、B在直線同側(cè)，在直線上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，做法如下：
作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′，與直線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線段AB′的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值．

如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為　 �。�
（2）實(shí)踐運(yùn)用
如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2， 的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是 的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為　 �。�

（3）拓展延伸
如圖（4）：點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)，點(diǎn)N，使P+PN的值最小，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法．

考點(diǎn)：圓的綜合題；軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題．
分析：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長(zhǎng)為BP+PE的最小值；由AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE= ；
（2）實(shí)踐運(yùn)用：過(guò)B點(diǎn)作弦BE⊥CD，連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、PB，根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE，即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，則AE的長(zhǎng)就是BP+AP的最小值；
由于 的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是 的中點(diǎn)得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判斷△OAE為等腰直角三角形，則AE= OA= ；
（3）拓展延伸：分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB和BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E和F，然后連結(jié)EF，EF交AB于、交BC于N．
解答：解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)
如圖（2），CE的長(zhǎng)為BP+PE的最小值，
∵在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)
∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，
∴CE= BE= ；
故答案為 ；

（2）實(shí)踐運(yùn)用
如圖（3），過(guò)B點(diǎn)作弦BE⊥CD，連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、PB，
∵BE⊥CD，
∴CD平分BE，即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，
∵ 的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是 的中點(diǎn)，
∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，
∴∠EOC=30°，
∴∠AOE=60°+30°=90°，
∵OA=OE=1，
∴AE= OA= ，
∵AE的長(zhǎng)就是BP+AP的最小值．
故答案為 ；

（3）拓展延伸
如圖（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常用到，同時(shí)熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱(chēng)?最短路徑問(wèn)題．

17、（2013•衡陽(yáng)壓軸題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)A、B．
（1）求⊙的半徑及圓心的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)B作⊙的切線l，求直線l的解析式；
（3）∠BOA的平分線交AB于點(diǎn)N，交⊙于點(diǎn)E，求點(diǎn)N的坐標(biāo)和線段OE的長(zhǎng)．

考點(diǎn)：圓的綜合題．
專(zhuān)題：綜合題．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理∠AOB=90°得AB為⊙的直徑，則可得到線段AB的中點(diǎn)即點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用勾股定理計(jì)算出AB=10，則可確定⊙的半徑為5；
（2）點(diǎn)B作⊙的切線l交x軸于C，根據(jù)切線的性質(zhì)得AB⊥BC，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，然后根據(jù)相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽R(shí)t△BCO，所以 = ，可解得OC= ，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（? ，0），最后運(yùn)用待定系數(shù)法確定l的解析式；
（3）作ND⊥x軸，連結(jié)AE，易得△NOD為等腰直角三角形，所以ND=OD，ON= ND，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，則ND：OB=AD：AO，即ND：6=（8?ND）：8，解得ND= ，所以O(shè)D= ，ON= ，即可確定N點(diǎn)坐標(biāo)；由于△ADN∽△AOB，利用ND：OB=AN：AB，可求得AN= ，則BN=10? = ，然后利用圓周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出E，最后由OE=ON+NE計(jì)算即可．
解答：解：（1）∵∠AOB=90°，
∴AB為⊙的直徑，
∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB= =10，
∴⊙的半徑為5；圓心的坐標(biāo)為（（4，3）；

（2）點(diǎn)B作⊙的切線l交x軸于C，如圖，
∵BC與⊙相切，AB為直徑，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBO+∠ABO=90°，
而∠BAO=∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBO，
∴Rt△ABO∽R(shí)t△BCO，
∴ = ，即 = ，解得OC= ，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（? ，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（0，6）、C點(diǎn)（? ，0）分別代入 ，
解得 ，
∴直線l的解析式為y= x+6；

（3）作ND⊥x軸，連結(jié)AE，如圖，
∵∠BOA的平分線交AB于點(diǎn)N，
∴△NOD為等腰直角三角形，
∴ND=OD，
∴ND∥OB，
∴△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AD：AO，
∴ND：6=（8?ND）：8，解得ND= ，
∴OD= ，ON= ND= ，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）；
∵△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AN：AB，即 ：6=AN：10，解得AN= ，
∴BN=10? = ，
∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，
∴△BON∽△EAN，
∴BN：NE=ON：AN，即 ：NE= ： ，解得NE= ，
∴OE=ON+NE= + =7 ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理及其推論；學(xué)會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；熟練運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算．

18、(2013浙江麗水)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。
（1）求證：BE=CE；
（2）求∠CBF的度數(shù) ；
（3）若AB=6，求 的長(zhǎng)。

19、（2013成都市）如圖， 的半徑r=25,四邊形ABCD內(nèi)接于 ， 于點(diǎn)H，P為CA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且 。
（1）試判斷PD與 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若 ， ,求BD的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，求四邊形ABCD的面積。

解析：
（1）PD與⊙O相切，∠ABD= ∠AOD
∠ADO+ ∠ADO=90° ∴∠ADO+∠PDA=90°
∴PD⊥DO即PD與⊙O相切
（2）設(shè)AH=x，AC⊥BD ∠PHD=90°
由tan∠ADB= 知DH=
又PA= ∴PH=PA+AH=
∴PD= =2DH ⇒∠PDH=60°
因?yàn)镻D為⊙O切線，由割線弦定理知∠DCB=∠PDH=60°
∴∠DOB=120° BD=2R•sin60°=2×25× =25
（3）過(guò)A作AG⊥PD
∵PA= ∠DPH=30°
∴GA= PG=
∴tan∠PDA=
又AC⊥BD ∴S=

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