一奇偶函數的概念

奇函數和偶函數的概念設函數y=f (x)的定義域為D，且D關于原點對稱。

(1) 如果對于函數f (x)的定義域D內任意一個x，都有f (-x)=-f (x)，那么函數f (x)就叫做奇函數.

(2) 如果對于函數f (x)的定義域D內任意一個x，都有f (-x)=-f (x)，那么函數f (x)就叫做偶函數.

二、奇函數和偶函數的判定

1：第一條是定義域關于原點對稱，這個是必要的條件，如果定義域不關于原點對稱，即使有f(x)=f(-x)，也不能稱為偶函數，對于f(x)=-f(-x)，也是如此，如果定義域不關于原點對稱，也無法稱為奇函數。

2：看f(x)與f(-x)的關系了。在定義域關于原點對稱的前提下

如果f(x)=f(-x)，則說明是偶函數。舉個例子：f(x)=cosx，則f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x)，這樣子就可以說明f(x)=cosx是偶函數了。同樣，你可以試試f(x)=x·x，f(-x)=(-x)·(-x)=x·x=f(x)，所以，可以說明f(x)=x·x是偶函數了。還有f(x)=f(-x)是最基本的形式，可以有變形，可以相減f(x)-f(-x)=0，也可以相除f(x)/f(-x)=1;

如果f(x)=-f(-x)，則說明f(x)為奇函數。舉個例子：f(x)=x;則f(-x)=-x=-f(x)，所以f(x)=x是奇函數了。同樣，對于基本的f(x)=-f(-x)也可以變形，相加為零，相除為負一。

3：奇函數和偶函數在圖形的差別

奇函數是關于原點對稱;偶函數是關于Y軸對稱。

三、一些相關概念

函數的奇偶性：定義域內任意實數x

注：1、定義域關于原點對稱是函數為奇、偶函數的必要條件

2、偶函數沒有反函數

3、定義在R或[-a,a]、[-a,a]上的奇函數必過原點，即f(0)=0

4、偶函數的圖像關于y軸對稱，奇函數的圖像關于原點中心對稱

5、奇+奇=奇 偶+偶=偶 偶+奇=不定

奇*奇=偶 偶*偶=偶 偶*奇=奇

四、相關例題講解

例1已知函數f(x),g(x)都定義在實數集R上，且滿足f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，f(x)+g(x)=x^2+x-2，試求函數f(x),g(x)的解析式。

2.函數f(x)=x(-1?x?1)的奇偶性是 ( )

A.奇函數非偶函數 B.偶函數非奇函數

C.奇函數且偶函數 D.非奇非偶函數

3. 已知函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函數，那么g(x)=ax3+bx2+cx是( )

A.奇函數 B.偶函數

C.既奇又偶函數 D.非奇非偶函數

4. (2005重慶)若函數f(x)是定義在R上的偶函數，在 上是減函數，

且f(2)=0，則使得f(x)<0的x的取值范圍是 ( )

A.(-￥,2) B. (2,+￥) C. (-￥,-2)è(2,+￥) D. (-2,2)

5. 已知函數f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數.

當x∈(-∞,0)時，f(x)=x-x4，則 當x∈(0.+∞)時，f(x)=

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