【學習導航】
知識網(wǎng)絡
學習要求
1．理解指數(shù)函數(shù)的概念；掌握指數(shù)函數(shù)的圖象、性質；
2．初步了解函數(shù)圖象之間最基本的初等變換。
3．能運用指數(shù)函數(shù)的性質比較兩個指數(shù)值的大�。�
4．提高觀察、運用能力．
自學評價
1．形如 的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中自變量是 ，函數(shù)定義域是 ，
值域是 ．
2. 下列函數(shù)是為指數(shù)函數(shù)有 ② ③ ⑤ ．
① ②
③ （ 且 ）④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ．
3.指數(shù)函數(shù) 恒經(jīng)過點 ．
4.當 時，函數(shù) 單調性
為 在 上是增函數(shù) ；
當 時，函數(shù)
單調性是在 上是減函數(shù) ．
【精典范例】
例1：比較大�。�
（1） ；（2） ；（3） ．
分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調性．
【解】（1）考慮指數(shù)函數(shù) ， ，
在 上是增函數(shù)，
∴ ．
（2）考慮指數(shù)函數(shù) ， ，
在 上是減函數(shù)，
∴ ．
（3） 在 上是增函數(shù)， 在 上是減函數(shù)，
∴ ，
∴ ．
點評:當?shù)讛?shù)相同的兩個冪比較大小時，要考慮指數(shù)函數(shù)；當?shù)讛?shù)不相同的兩個冪比較大小時，要尋找第三個值來與之比較．
例2：
（1）已知 ，求實數(shù) 的取值范圍；（2）已知 ，求實數(shù) 的取值范圍.
分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調性.
【解】（1） 在 上是增函數(shù)，
由 得 ，即實數(shù) 的取值范圍是 .
（2） 在 上是減函數(shù)，
又 ，
由 得 ，即實數(shù) 的取值范圍是 .
點評:通過函數(shù)值的大小關系來尋找出自變量的大小是單調性運用的又一常用方法.
例3：設 是實數(shù)，
，
（1）求 的值，使函數(shù) 為奇函數(shù)
（2）試證明：對于任意 在 為增函數(shù)；
分析：此題雖形式較為復雜，但應嚴格按照單調性、奇偶性的定義進行證明。
（1）∵ ，
由 是奇函數(shù)，∴
即 ，∴ .
（2）證明：設 ，則
，
由于指數(shù)函數(shù) 在 上是增函數(shù)，且 ，所以 即 ，
又由 ，得 ， ，
所以， 即 ．
因為此結論與 取值無關，所以對于 取任意實數(shù)， 在 為增函數(shù).
點評:求與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的奇偶性、單調性時要注意運用指數(shù)函數(shù)的有關性質來解決問題.
追蹤訓練一
1.若函數(shù) 在 上是減函數(shù)，則實數(shù) 的取值范圍是 （ ）
（ ） （ ）
（ ） （ ）
2.已知函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值與最小值的差是1，求實數(shù) 的值；
解：當 時，函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)， ，∵ ，∴ ；
當 時，函數(shù) 在區(qū)間 上是減函數(shù)， ，∵ ，
∴ ；
綜上： 或 ．
3. 解不等式：(1) (2)
析：本題的本質是利用函數(shù)的單調性求參數(shù)的范圍．
解：(1)∵
∴
又∵ 在定義域上是增函數(shù)
∴原不等式等價于
解之得
∴原不等式的解集為
(2) 可以整理為
∵ ， ∴ 即 ，
又∵ 在定義域上是減函數(shù)，∴
故原不等式的解集為 ．
【選修延伸】
一、與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)
例4: 求函數(shù) 的定義域、值域、單調區(qū)間．
分析：原函數(shù)由函數(shù) 與 復合而成，求解時要統(tǒng)籌考慮．
【解】設 ，則 ，由于它們的定義域都是 ，所以函數(shù) 的定義域為 ．
因為 ，
所以 ，又 ，
函數(shù) 的值域為 ．
函數(shù) 在 是增函數(shù)，而 在 上是減函數(shù)，
所以設 ，則 ，
從而 ，即 ，
函數(shù) 在 是增函數(shù)，
同理：函數(shù) 在 是減函數(shù)，函數(shù) 的增區(qū)間 ，
減區(qū)間是 ．
點評:形如 的定義域與 的定義域相同；求值域時要先確定 的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質確定 的值域；
當 時， 與 的單調性相同，
當 時， 與 的單調性相反．
思維點拔：
（1）比較兩個指數(shù)式的大小或解指數(shù)不等式往往要利用指數(shù)函數(shù)的性質；（2）與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的性質既要考慮到指數(shù)函數(shù)的性質，又要考慮到與之復合的函數(shù)性質．
追蹤訓練二
1．求下列函數(shù)的定義域、值域：
(1) (2)
解：（1） ∴
原函數(shù)的定義域是 ，
令 則
∴ 得 ，
所以，原函數(shù)的值域是 ．
（2） ∴
原函數(shù)的定義域是 ，
令 則 ，
在 是增函數(shù) ∴ ，
所以，原函數(shù)的值域是 ．
第16課 指數(shù)函數(shù)（1）
分層訓練
1．函數(shù) 是指數(shù)函數(shù)，則 的取值范圍是（ �。�
或
2．函數(shù) 的定義域為（ �。�
3． 若 ，則 的范圍為 ．
4． 已知函數(shù) 滿足：對任意的 ，都有 ，且有 ，則滿足上述條件的一個函數(shù)是 �。�
5．將三個數(shù) 按從小到大的順序排列是 ．
6．（1）函數(shù) 的定義域是 ；值域是 ；
（2）函數(shù) 的定義域是 ；值域是 ．
7．已知
，確定 的范圍，使得 ．
拓展延伸
8．實數(shù) 滿足 ，則 �。�
9．求函數(shù) ， 的最大值和最小值．
10．若函數(shù) 為奇函數(shù)，
（1）確定 的值；（2）討論函數(shù)的單調性．
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