底數(shù)則要大于0且不為1
對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為什么要大于0且不為1？
【在一個普通對數(shù)式里 a<0,或=1 的時候是會有相應(yīng)b的值的。但是，根據(jù)對數(shù)定義: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切實數(shù)（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根據(jù)定義運算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0，那么這個等式兩邊就不會成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一個等于4，另一個等于-4）】
通常我們將以10為底的對數(shù)叫常用對數(shù)（common logarithm),并把log10N記為lgN。另外，在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828???為底數(shù)的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)（natural logarithm),并且把loge N 記為In N. 根據(jù)對數(shù)的定義，可以得到對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：
當(dāng)a 〉0，a≠ 1時，a^x=N→X=logaN。
由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的這個關(guān)系，可以得到關(guān)于對數(shù)的如下結(jié)論：
負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)
loga 1=0 loga a=1(a為常數(shù))
編輯本段對數(shù)的定義和運算性質(zhì)
一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次冪等于N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作log(a)（N）=b,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。
底數(shù)則要>0且≠1 真數(shù)>0
對數(shù)的運算性質(zhì)
當(dāng)a>0且a≠1時，M>0,N>0，那么：
�。�1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
�。�2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
�。�3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）
(4)log(a^n)(M)=1/nlog(a)(M)(n∈R)
�。�5）換底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）
(6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 證明：
設(shè)a=n^x則a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x?log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)
(7)對數(shù)恒等式：a^log（a)N=N;
log（a）a^b=b
（8）由冪的對數(shù)的運算性質(zhì)可得(推導(dǎo)公式)
1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M
2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M
3.log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M
4.log(以 n次根號下的a 為底)(以 n次根號下的M 為真數(shù))=log(a)M ,
log(以 n次根號下的a 為底)(以 m次根號下的M 為真數(shù))=(n/m)log(a)M
5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1
對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系
當(dāng)a>0且a≠1時，a^x=N x=?(a)N
編輯本段對數(shù)函數(shù)
右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：
可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數(shù)。
�。�1） 對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合。
�。�2） 對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合。
（3） 函數(shù)圖像總是通過（1，0）點。
�。�4） a大于1時，為單調(diào)增函數(shù)，并且上凸；a大于0小于1時，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，并且下凹。
�。�5） 顯然對數(shù)函數(shù)無界。
對數(shù)函數(shù)的常用簡略表達(dá)方式：
�。�1）log(a)(b)=log(a)(b)
�。�2）lg(b)=log(10)(b)
�。�3）ln(b)=log(e)(b)
對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)：
如果a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么：
（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
�。�2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n屬于R）
�。�4）log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n屬于R）
對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系
當(dāng)a大于0,a不等于1時，a的X次方=N等價于log(a)N=x
log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n屬于R）
換底公式 （很重要）
log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga
ln 自然對數(shù) 以e為底 e為無限不循環(huán)小數(shù)(約為2.718281828454590)
lg 常用對數(shù) 以10為底
編輯本段常用簡略表達(dá)方式
�。�1）常用對數(shù)：lg(b)=log(10)(b)
（2）自然對數(shù):ln(b)=log(e)(b)
e=2.718281828454590... 通常情況下只取e=2.71828 對數(shù)函數(shù)的定義
對數(shù)函數(shù)的一般形式為 y=?(a)x，它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)(圖象關(guān)于直線y=x對稱的兩函數(shù)互為反函數(shù)），可表示為x=a^y。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定（a>0且a≠1），同樣適用于對數(shù)函數(shù)。
右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：
可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數(shù)。
編輯本段性質(zhì)
定義域求解：對數(shù)函數(shù)y=loga x 的定義域是{x ?x>0}，但如果遇到對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域的求解，除了要注意真數(shù)大于0以外，還應(yīng)注意底數(shù)大于0且不等于1，如求函數(shù)y=logx（2x-1）的定義域，需滿足{x>0且x≠1} 。
{2x-1>0 ，x>1/2且x≠1}，即其定義域為 {x ?x>1/2且x≠1}值域：實數(shù)集R
定點：函數(shù)圖像恒過定點（1，0）。
單調(diào)性：a>1時，在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，并且上凸
0
周期性：不是周期函數(shù)
零點：x=1
注意：負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù)。
兩句經(jīng)典話：底真同對數(shù)正
底真異對數(shù)負(fù)
指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo):
本文來自：逍遙右腦記憶 http://portlandfoamroofing.com/gaoyi/57680.html
相關(guān)閱讀：函數(shù)概念的應(yīng)用