數學（理科）
學校_____________班級_______________姓名______________考號___________
本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁，共150分．考試時長120分鐘．考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1、已知集合 ， ，那么集合 是（ ）
A． B．
C． D．
2、如圖是某班50位學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖，其中成績分組區(qū)間是： ， ， ， ， ， ，則圖中 的值等于（ ）
A． B． ?
C． D．
3、已知圓的極坐標方程是 ，那么該圓的直角坐標方程是（ ）
A． B．
C． D．
4、已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個面中，直角三角形的個數為（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5、程序框圖，運行相應的程序，當輸入 的值為 時，輸出 的值為（ ）
A．
B．
C．
D．
6、已知 ，那么 的值為（ ）
A． B． C． D．
7、過拋物線 焦點的直線交拋物線于 ， 兩點，若 ，則 的中點到 軸的距離等于（ ）
A． B． C． D．
8、已知函數 是定義在 上的奇函數，且當 時， （其中 是 的導函數），若 ， ， ，則 ， ， 的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共110分）
二、題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．
9、已知向量 ， ，若 ，則 ________．
10、若復數 是純虛數，則實數 的值為________．
11、各項均為正數的等比數列 的前 項和為 ，若 ， ，則 的值為________， 的值為________．
12、如圖， 為⊙ 的直徑， 切⊙ 于點 ，且過點 的割線 交 的延長線于點 ，若 ， ，則 ________， ________．
13、5名志愿者到3個不同的地方參加義務植樹，則每個地方至少有一名志愿者的方案共有________種．
14、在數列 中，若對任意的 ，都有 （ 為常數），則稱數列 為比等差數列， 稱為比公差．現給出以下命題：
①等比數列一定是比等差數列，等差數列不一定是比等差數列；
②若數列 滿足 ，則數列 是比等差數列，且比公差 ；
③若數列 滿足 ， ， （ ），則該數列不是比等差數列；
④若 是等差數列， 是等比數列，則數列 是比等差數列．
其中所有真命題的序號是________．
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
15、（本小題共13分）
已知函數 ．
⑴ 求 的最小正周期；
⑵ 當 時，求 的取值范圍．
16、（本小題共13分）
某校高三年級同學進行體育測試，測試成績分為優(yōu)秀、良好、合格三個等級．測試結果如下表：（單位：人）
優(yōu)秀良好合格
男
女
按優(yōu)秀、良好、合格三個等級分層，從中抽取 人，其中成績?yōu)閮?yōu)的有 人．
⑴ 求 的值；
⑵ 若用分層抽樣的方法，在合格的同學中按男女抽取一個容量為 的樣本，從中任選 人，記 為抽取女生的人數，求 的分布列及數學期望．
17、（本小題共14分）
如圖， 是等邊三角形， ， ，將 沿 折疊到 的位置，使得 ．
⑴ 求證： ；
⑵ 若 ， 分別是 ， 的中點，求二面角 的余弦值．
18、（本小題共14分）
已知函數 （ ）．
⑴ 求 的單調區(qū)間；
⑵ 如果 是曲線 上的任意一點，若以 為切點的切線的斜率 恒成立，求實數 的最小值；
⑶ 討論關于 的方程 的實根情況．
19、（本小題共13分）
已知橢圓 ： （ ）的離心率 ，原點到過點 ， 的直線的距離是 ．
⑴ 求橢圓 的方程；
⑵ 若橢圓 上一動點 關于直線 的對稱點為 ，求 的取值范圍．
⑶ 如果直線 （ ）交橢圓 于不同的兩點 ， ，且 ， 都在以 為圓心的圓上，求 的值．
20、（本小題共13分）
已知數列 ， ， ， ， （ ）．
⑴求 ， ；
⑵是否存在正整數 ，使得對任意的 ，有 ；
⑶設 ，問 是否為有理數，說明理由．
北京市東城區(qū)2014-2013學年度第二學期高三綜合練習（二）
數學參考答案（理科）
一、（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
（1）B （2）C （3）A （4）D
（5）D （6）B （7）D （8）C
二、題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
（9） （10） （11）
（12） （13） （14）①③
注：兩個空的填空題第一個空填對得3分，第二個空填對得2分．
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）因為
．
所以 的最小正周期 ．
（Ⅱ） 因為 ，
所以 ．
所以 的取值范圍是 ． ………………………………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）設該年級共 人，由題意得 ，所以 ．
則 ．
（Ⅱ）依題意， 所有取值為 ．
，
，
．
的分布列為：
． ………………………………………13分
（17）（共14分）
（Ⅰ）證明：因為
所以 ，
又因為 ，且 ，
所以 平面 ，
因為 平面 ，
所以 ．
（Ⅱ）因為△ 是等邊三角形，
， ，
不防設 ，則 ，
又因為 ， 分別為 ， 的中點，
由此以 為原點， ， ， 所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系 ．
則有 ， ， ， ， ， ．
所以 ， ．
設平面 的法向量為 ．
則
即
令 ，則 ．
所以 ．
又平面 的一個法向量為 ．
所以 ．
所以二面角 的余弦值為 ． ………………………………14分
（18）（共14分）
解:(Ⅰ) ，定義域為 ，
則 ．
因為 ，由 得 ， 由 得 ，
所以 的單調遞增區(qū)間為 ，單調遞減區(qū)間為 ．
(Ⅱ)由題意，以 為切點的切線的斜率 滿足
，
所以 對 恒成立．
又當 時， ，
所以 的最小值為 ．
(Ⅲ)由題意，方程 化簡得
+
令 ，則 ．
當 時， ，
當 時， ，
所以 在區(qū)間 上單調遞增，在區(qū)間 上單調遞減．
所以 在 處取得極大值即最大值，最大值為 ．
所以 當 ，即 時， 的圖象與 軸恰有兩個交點，
方程 有兩個實根，
當 時， 的圖象與 軸恰有一個交點，
方程 有一個實根，
當 時， 的圖象與 軸無交點，
方程 無實根． ……14分
（19）（共13分）
解: (Ⅰ)因為 ， ，
所以 ．
因為原點到直線 ： 的距離 ，
解得 ， ．
故所求橢圓 的方程為 ．
(Ⅱ)因為點 關于直線 的對稱點為 ，
所以
解得 ， ．
所以 ．
因為點 在橢圓 : 上，
所以 ．
因為 ， 所以 ．
所以 的取值范圍為 ．
(Ⅲ)由題意
消去 ，整理得
．
可知 ．
設 ， ， 的中點是 ，
則 ， ．
所以 ．
所以 ．
即 ．
又因為 ，
所以 ．所以 ． ………………………………13分
（20）（共13分）
解：（Ⅰ） ；
．
（Ⅱ）假設存在正整數 ，使得對任意的 ，有 ．
則存在無數個正整數 ，使得對任意的 ，有 ．
設 為其中最小的正整數．
若 為奇數，設 （ ），
則 ．
與已知 矛盾．
若 為偶數，設 （ ），
則 ，
而
從而 ．
而 ，與 為其中最小的正整數矛盾．
綜上，不存在正整數 ，使得對任意的 ，有 ．
（Ⅲ）若 為有理數，即 為無限循環(huán)小數，
則存在正整數 ， ，對任意的 ，且 ，有 ．
與（Ⅱ）同理，設 為其中最小的正整數．
若 為奇數，設 （ ），
當 時，有 ．
與已知 矛盾．
若 為偶數，設 （ ），
當 時，有 ，
而
從而 ．
而 ，與 為其中最小的正整數矛盾．
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