2015-2016學年度下學期高三二輪復習數學（理）驗收試題（4）【新課標】第Ⅰ卷（選擇題，共60分）選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分。在下列各題的四個選項中，只有一項是最符合題意的）1. 定義，已知。則 （ ） A. B. C. D. 2．已知，為虛數單位，且，則的值為 （ ）A． B． C． D．3. 設是等差數列的前項和，若，則等于 （ ）A. B. C. D. 4．已知是實數，則“且”是“”的 （ ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．設函數，其中，，則的展開式中的系數為 （ ）A． B． C． D．6. 過原點的直線與圓有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 7．一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的表面積為 ( )A． B. C. D. 8. 執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的，則輸入整數的最小值是 ( ) A. 15 B. 14 C. 7 D. 89．已知，且，則下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 10．將5名同學分到甲、乙、丙3個小組，若甲組至少兩人，乙、丙組至少各一人，則不同的分配方案的種數為（　 ）A．80 B．120 C．140 D．18011. 中心在原點，焦點在軸上的雙曲線的離心率為，直線與雙曲線交于兩點，線段中點在第一象限，并且在拋物線上，且到拋物線焦點的距離為，則直線的斜率為（ ）A. B. C. D. 12．已知向量,,滿足,,.若對每一確定的,的最大值和最小值分別為，則對任意，的最小值是 ( ) A. B． C． D． 第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．函數的圖象與函數的圖象的公共點個數是 個。14．已知滿足約束條件，且恒成立，則的取值范圍為 。15. 已知數列的首項，且對任意的都有，則 。16. 下列說法正確的是 。 （1）從勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢人員每20分鐘從中抽取一件產品進行檢測， 這樣的抽樣方法為分層抽樣；（2）兩個隨機變量相關性越強，相關系數的絕對值越接近1，若或時，則與的關系完全對應（即有函數關系），在散點圖上各個散點均在一條直線上； （3）在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高；（4）對于回歸直線方程，當每增加一個單位時，平均增加12個單位； （5）已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則。三、解答題（本題共6小題， 17-21題每題12分，選做題10分，共70分）17.（本小題共12分）在中，角所對的邊分別為，若。 （1）求證； （2）若的平分線交于，且，求的值。18.（本小題共12分）哈爾濱市第一次聯考后，某校對甲、乙兩個文科班的數學考試成績進行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀．統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯表，且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為。優(yōu)秀非優(yōu)秀合計甲班10乙班30 合計110 （1）請完成上面的列聯表； （2）根據列聯表的數據，若按99.9%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關系”； （3）若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學生從2到11進行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數之和為被抽取人的序號。試求抽到9號或10號的概率。參考公式與臨界值表：。0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82819.（本小題共12分）如圖，在四棱錐中，頂點在底面內的射影恰好落在的中點上， 又，且 （1）求證：； （2）若，求直線與所成角的余弦值； （3）若平面與平面所成的角為，求的值。20.（本小題共12分）已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點為，點是點關于軸的對稱點， 過點的直線交拋物線于兩點。（1）試問在軸上是否存在不同于點的一點，使得與軸所在的直線所成的銳角相等，若存在，求出定點的坐標，若不存在說明理由。（2）若的面積為，求向量的夾角；21. （本小題共12分）設函數。 （1）求函數的最小值； （2）設，討論函數的單調性； （3）斜率為的直線與曲線交于,兩點， 求證：。請考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分，做答時請寫清題號。22. （本小題共10分）如圖所示，已知是圓的直徑，是弦，，垂足為， 平分。 （1）求證：直線與圓的相切； （2）求證：。23. （本小題共10分）軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為，射線為，與的交點為，與除極點外的一個交點為。當時，。（1）求，的直角坐標方程；（2）設與軸正半軸交點為，當時，設直線與曲線的另一個交點為，求。24．（本小題滿分10分）選修4—5：不等式證明選講 已知函數。（1）若的解集為，求實數的值。（2）當且時，解關于的不等式。一選擇題：BCDAD CACDA DB二填空題：2個 2 （2）（3）（5）17解：（1）∵acosB+bcosA=b，由正弦定理可得 sinAcosB+cosAsinB=sinB，∴sin（A+B）=sinB， --------3分即sinC=sinB，∴b=c，∴C=B． --------------6分（2）△BCD中，用正弦定理可得=，由第一問知道C=B，而BD是角平分線，∴=2cos． ---------8分由于三角形內角和為180°，設 A=x，B=2α=C，那么4α+x=180°，故α+=45°．--9分∵sin=，∴cos=，∴cosα=cos（45°?）=cos45°cos+sin45°sin=．∴=2cos=2cosα=．---------------12分18.（1） -------4分優(yōu)秀非優(yōu)秀合計甲班105060乙班203050合計3080110（2）根據列聯表中的數據，得到K2= ≈7.487＜10.828．因此按99.9%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系” -------8分（3）設“抽到9或10號”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數為（x，y）．所有的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6）共36個．事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）（6，4）共7個．所以P(A)= ，即抽到9號或10號的概率為． -------12分19 解：因為AB中點O為點P在平面ABCD內的射影，所以PO⊥底面ABCD．以O為坐標原點，AB所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系o?xyz（如圖）．（1）設BC=a，OP=h則依題意得：B（a，0，0），A（?a，0，0），P（0，0，h），C（a，a，0），D（?a，2a，0）．∴=（2a，a，0），=（?a，2a，?h），于是?=?2a2+2a2=0，∴PD⊥AC；--------4分（2）由PO=BC，得h=a，于是P（0，0，a），——5分∵=（2a， 0，0），=（?a，2a，?a），∴?=?2a2，cos＜，＞==，∴直線PD與AB所成的角的余弦值為；-----------8分（3）設平面PAB的法向量為m，可得m=（0，1，0），設平面PCD的法向量為n=（x，y，z），由=（a，a，?h），=（?a，2a，?h），∴，解得n=（1，2，），∴m?n=2，cos＜m，n＞=，∵二面角為60°，∴=4，解得=，即=．----------------12分20.（1）由題意知：拋物線方程為：且 -------1分設設直線代入得 -------- 2分假設存在滿足題意，則 ----- ------5分 存在T（1,0）----------------6分（2）（法一） ----------------7分設直線OA,OB的傾斜角分別為，--------9分設------11分 ----------------------12分法二： -----------------------7分---------9分-------11分 --------------------12分21.（1）解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．∵當時，f'（x）＜0；當時，f'（x）＞0，∴當時，．----------------- 4分（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），．①當a≥0時，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函數；②當a＜0時，令F'（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；令F'（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．綜上，當a≥0時，F（x）在（0，+∞）上是增函數；當a＜0時，F（x）在上單調遞增，在上單調遞減．------------------------------------8分（3）證：．要證，即證，等價于證，令，則只要證，由t＞1知lnt＞0，故等價于證lnt＜t?1＜tlnt（t＞1）（*）．①設g（t）=t?1?lnt（t≥1），則，故g（t）在[1，+∞）上是增函數，∴當t＞1時，g（t）=t?1?lnt＞g（1）=0，即t?1＞lnt（t＞1）．②設h（t）=tlnt?（t?1）（t≥1），則h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函數，∴當t＞1時，h（t）=tlnt?（t?1）＞h（1）=0，即t?1＜tlnt（t＞1）．由①②知（*）成立，得證．---------------------------------12分22. 證明：（Ⅰ）連接，因為,所以.2分又因為，所以，又因為平分，所以，4分所以，即，所以是的切線.5分（Ⅱ）連接，因為是圓的直徑，所以，因為，8分所以△∽△，所以，即.10分23.（1）由得，所以的直角坐標方程是--2分由已知得的直角坐標方程是，當時射線與曲線交點的直角坐標為，-----------3分的直角坐標方程是.①-----------5分（2）聯立與得或，不是極點.---6分又可得， 的參數方程為② -------8分將②帶入①得,設點的參【新課標版】2015屆高三下學期第四次二輪復習綜合驗收卷 數學理
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