高二年級期末考試選修2-2一、選擇題1.曲線y=ex在點A（0，1）處的切線斜率為（ ） A．1B．2C．eD．2.曲線y=x3+2在點P（1，3）處的切線與y軸交點的縱坐標是（ ） A．-1B．-2C．0D．53.f（x）=x3-3x2+2在區(qū)間[-1，1]上的最大值是（ ） A．-2B．0C．2D．44.設f（x）=xlnx，若f′（x）=2，則x=（ ） A．e2B．eC．D．ln25.i是虛數單位1+i3等于（ ） A．iB．-iC．1+iD．1-i6.復數的共軛復數是（ ） A．i+2B．i-2C．-2-iD．2-i7.用反證法證明命題：“若，那么，，中至少有一個不小于”時，反設正確的是 （ �。�，，都不小于B．假設，，都小于C．假設，，至多有兩個小于D．假設，，至多有一個小于8.關于綜合法和分析法說法錯誤的是?（）B．綜合法又叫順推證法或由因導果法C．分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法D．綜合法和分析法都是因果分別互推的兩頭湊法9.不等式的解集為 （ ）A．（，1）∪（1，） B．（－∞，）∪（，+∞）C．（－∞，1）∪（，+∞） D．（，1）∪（，+∞）10.若曲線在點處的切線方程為，則B．C．D．不存在二、填空題11.函數f（x）=2x+lnx在x=1處的切線方程為 ．12.由直線x+y-2=0，曲線y=x3以及x軸所圍成的封閉圖形的面積為 ．13. 設是實數，且是實數，則 。14.表示虛數單位，則的值是 .15.觀察下列等式1=1，2+3+4=9，3+4+5+6+7=25，4+5+6+7+8+9+10=49，…照此規(guī)律，第六個等式是 ．三、解答題16.已知在數列{an}中，．（1）試求a2，a3，a4，a5的值；（2）歸納猜想數列的通項公式．17.已知復數z1滿足（z1-2）i=1+i，復數z2的虛部為2，且z1?z2是實數，求復數z2的模．18.已知函數．（1）求函數的極值；（2）求函數f（x）的單調區(qū)間．19.定義在R上的函數f（x）=ax3+bx2+cx+3同時滿足以下條件： ①f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數；?②f′（x）是偶函數；③f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式；（Ⅱ）設g（x）=4lnx-m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求實數m的取值范圍．20.的圖象過點，且在和上為增函數，在上為減函數.（I）的解析式；（II）在上的極值.21.（本小題滿分12分）用數學歸納法證明： 參考答案一、選擇題1.分析：由曲線的解析式，求出導函數，然后把切點的橫坐標x=0代入，求出對應的導函數的函數值即為切線方程的斜率． 解答：解：由y=ex，得到y(tǒng)′=ex， 把x=0代入得：y′x=0=1， 則曲線y=ex在點A（0，1）處的切線斜率為1． 故選A． 點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，是一道基礎題．2.分析：根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成一般式，最后令x=0解得的y即為曲線y=x3+2在點P（1，3）處的切線與y軸交點的縱坐標． 解答：解：∵y=x3+2，∴y'=3x2 則y'x=1=3x2x=1=3 ∴曲線y=x3+2在點P（1，3）處的切線方程為y-3=3（x-1）即3x-y=0 令x=0解得y=0 ∴曲線y=x3+2在點P（1，3）處的切線與y軸交點的縱坐標是0． 故選C． 點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及直線與坐標軸的交點坐標等有關問題，屬于基礎題．3.分析：由題意先對函數y進行求導，解出極值點，然后再根據函數的定義域，把極值點和區(qū)間端點值代入已知函數，判斷函數在區(qū)間上的增減性，比較函數值的大小，求出最大值，從而求解． 解答：解：f'（x）=3x2-6x=3x（x-2）， 令f'（x）=0可得x=0或2（2舍去）， 當-1＜x＜0時，f'（x）＞0， 當0＜x＜1時，f'（x）＜0， ∴當x=0時，f（x）取得最大值為f（0）=2． 故選C 點評：此題考查導數的定義及利用導數來求閉區(qū)間函數的最值，解題的關鍵是求導要精確．4.分析：利用乘積的運算法則求出函數的導數，求出f'（x）=2解方程即可． 解答：解：∵f（x）=xlnx ∴ ∵f′（x0）=2 ∴l(xiāng)nx+1=2 ∴x=e， 故選B． 點評：本題考查兩個函數積的導數及簡單應用．導數及應用是高考中的常考內容，要認真掌握，并確保得分．5.分析：由復數單位的定義，我們易得i2=-1，代入即可得到1+i3的值． 解答：解：∵i是虛數單位 ∴i2=-1 1+i3=1-i 故選D 點評：本題考查的知識點是虛數單位i及其性質，屬簡單題，其中熟練掌握虛數單位i的性質i2=-1是解答本類問題的關鍵．6.分析：首先要對所給的復數進行整理，分子和分母同乘以分母的共軛復數，化簡到最簡形式，把得到的復數虛部變?yōu)橄喾磾�，得到要求的共軛復數�?解答：解：∵復數==-2-i， ∴共軛復數是-2+i 故選B． 點評：復數的加減乘除運算是比較簡單的問題，在高考時有時會出現，若出現則是要我們一定要得分的題目．7.B【解析】試題分析：根據題意，由于反證法證明命題：“若，那么，，中至少有一個不小于”時，即將結論變?yōu)榉穸ň褪菍γ}的反設，因此可知至少有一個的否定是一個也沒有，或者說假設，，都小于，故答案為B.考點：反證法點評：主要是考查了反證法的運用，屬于基礎題。8.D【解析】試題分析：根據題意，由于綜合法和分析法分別是從條件入手推出結論和從結論入手得到結論成立的充分條件法，同時綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，故可知綜合法又叫順推證法或由因導果法，分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。因此可知答案為D.考點：綜合法和分析法點評：主要是考查了綜合法和分析法的概念的運用，屬于基礎題。9.【解析】略10.B【解析】試題分析：由導數的幾何意義知：，所以�？键c：導數的幾何意義。點評：直接考查導數的幾何意義，屬于基礎題型。二、填空題11.分析：由f（x）=2x+lnx，知f（1）=2，，k=f′（1）=3，由此能求出f（x）在x=1處的切線方程． 解答：解：∵f（x）=2x+lnx， ∴f（1）=2，， ∴k=f′（1）=3， ∴f（x）在x=1處的切線方程為y-2=3（x-1），即3x-y-1=0． 故答案為：3x-y-1=0． 點評：本題考查函數的切線方程的求法，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．12.分析：先求出兩曲線的交點坐標（1，1），再由面積與積分的關系將面積用積分表示出來，由公式求出積分，即可得到面積值． 解答：解：由題意令 解得交點坐標是（1，1） 故由直線x+y-2=0，曲線y=x3以及x軸圍成的圖形的面積為： ∫1x3dx+∫12（2-x）dx=x4 +（2x-x2） =+=． 故答案為： 點評：本題考查定積分在求面積中的應用，解答本題關鍵是根據題設中的條件建立起面積的積分表達式，再根據相關的公式求出積分的值，用定積分求面積是其重要運用，掌握住一些常用函數的導數的求法是解題的知識保證．13.【解析】解：因為14.0【解析】15.分析：由圖知，第n個等式的等式左邊第一個數是n，共2n-1個連續(xù)整數的和，右邊是奇數2n-1的平方，即可得結果． 解答：解：觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 ? 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 … 由圖知，第n個等式的等式左邊第一個數是n，共2n-1個連續(xù)整數的和，右邊是奇數2n-1的平方， 故有n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2． ∴照此規(guī)律，第六個等式是6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=112=121． 故答案為：6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=121． 點評：本題考查歸納推理的運用，關鍵是從所給的式子中，發(fā)現變化的規(guī)律．三、解答題16.分析：（1）把n=1及a1=3代入已知的等式即可求出a2的值，把n=2及a2的值代入已知的等式即可求出a3的值，把n=3及a3的值代入已知等式即可求出a4的值，把n=4及a4的值代入已知的等式即可求出a5的值； （2）然后把求出的五項的值觀察規(guī)律，即可歸納總結得到這個數列的通項公式an． 解答：解：（1），兩邊取倒數， 可變形為：， 把n=1及a1=3代入，即可求出a2=， 把n=2及a2的值代入，即可求出a3=1， 依次得到：a4=，a5=． （2）從上面的式子中歸納猜想數列的通項公式為：，n∈N*． 點評：此題考查數列的概念及簡單表示法、歸納推理，會根據一組數據的特點歸納總結得出一般性的規(guī)律，是一道基礎題．17.分析：利用兩個復數代數形式的乘除法法則求得z1，設出z2=a+2i，根據z1?z2是實數，求得a的值，即可求復數z2的模． 解答：解：由（z1-2）i=1+i，可得 z1=+2=3-i． 由于復數z2的虛部為2，可設z2=a+2i，再根據 z1?z2=（3-i）（a+2i）=（3a+2）+（6-a）i 為實數， 可得 6-a=0，故 a=6， ∴z2==2． 點評：本題主要考查復數的基本概念，兩個復數代數形式的乘除法法則的應用，虛數單位i的冪運算性質，屬于基礎題．18.分析：（1）求出f′（x），根據函數單調性及極值的定義即可求得； （2）借助（1）問的結論可求． 解答：解：（1）f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2）， 當x＜-2時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當-2＜x＜2時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減； 當x＞2時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增． 所以當x=-2時，f（x）有極大值f（-2）=-+8+4=， 當x=2時，f（x）有極小值f（2）=-8+4=-． （2）由（1）知，f（x）的單調增區(qū)間為：（-∞，-2），（2，+∞）；單調減區(qū)間為：（-2，2）． 點評：本題考查導數與函數的極值及單調性問題，屬基礎題．19.分析：（Ⅰ）求出f′（x）=3ax2+2bx+c，由f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，得到f′（1）=3a+2b+c=0，再由函數的奇偶性和切線方程能夠求出函數y=f（x）的解析式． （Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使4lnx-m＜x2-1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx-x2+1，由此入手，結合題設條件，能夠求出實數m的取值范圍． 解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2+2bx+c ∵f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數， ∴f′（1）=3a+2b+c=0…①…（1分） 由f′（x）是偶函數得：b=0②…（2分） 又f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直，f′（0）=c=-1③…（3分） 由①②③得：， 即…（4分） （Ⅱ）由已知得： 若存在x∈[1，e]，使4lnx-m＜x2-1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx-x2+1 設h（x）=4lnx-x2+1 m＞hmin，對h（x）求導，導數在（0，）大于零，（高二年級下學期期末考試選修2-2（中）
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