全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編7：立體幾何
一、
1 ．（高考新課標(biāo)1（理））如圖,有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器,容器高8c,將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6c,如果不計(jì)容器的厚度,則球的體積為
（ �。�
A． B． C． D．
【答案】A
2 ．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））設(shè) 是兩條不同的直線(xiàn), 是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是（ ）
A．若 , , ,則 B．若 , , ,則
C．若 , , ,則 D．若 , , ,則
【答案】D
3 ．（上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）若兩個(gè)球的表面積之比為 ,則這兩個(gè)球的體積之比為（ �。�
A． B． C． D．
【答案】C
4 ．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對(duì)））已知正四棱柱 中 ,則 與平面 所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A [:ww12999.Co]
5 ．（高考新課標(biāo)1（理））某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為
（ �。�
A． B． C． D．
【答案】A
6 ．（高考湖北卷（理））一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體從上到下由四個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成,其體積分別記為 , , , ,上面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體,下面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為多面體,則有（ �。�
A． B． C． D．
【答案】C
7 ．（高考湖南卷（理））已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能等于（ �。�
A． B． C． D．
【答案】C
8 ．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））某四棱臺(tái)的三視圖如圖所 示,則該四棱臺(tái)的體積是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
9 ．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））已知 為異面直線(xiàn), 平面 , 平面 .直線(xiàn) 滿(mǎn)足 ,則（ �。�
A． ,且 B． ,且
C． 與 相交,且交線(xiàn)垂直于 D． 與 相交,且交線(xiàn)平行于
【答案】D
10．（2 013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）已知三棱柱 的側(cè)棱與底面垂直,體積為 ,底面是邊長(zhǎng)為 的正三角形.若 為底面 的中心,則 與平面 所成角的大小為（ �。�
A． B． C． D．
【答案】B
11．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））某幾何體的三視圖如題 圖所示,則該幾何體的體積為（ �。�
A． B． C． D．
【答案】C
12．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））已知三棱柱 的6個(gè)頂點(diǎn)都在球 的球面上,若 , , ,則球 的半徑為（ �。�
A． B． C． D．
【答案】C
13．（高考江西卷（理））如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面 上,且 ,正 方體的六個(gè)面所在的平面與直線(xiàn)CE,EF相交的平面?zhèn)�數(shù)分別記為 ,那么
（ �。�
A．8B．9C．10D．11
【答案】A
14．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系 中的坐標(biāo)分別是 ,畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí),以 平面為投影面,則得到正視圖可以為
（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
15．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））在下列命題中,不是公理的是（ �。�
A．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行
B．過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面
C．如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線(xiàn)上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)
D．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn), 那么他們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)
【答案】A
16．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））在空間中,過(guò)點(diǎn) 作平面 的垂線(xiàn),垂足為 ,記 .設(shè) 是兩個(gè)不同的平面,對(duì)空間任意一點(diǎn) , ,恒有 ,則（ �。�
A．平面 與平面 垂直B．平面 與平面 所成的(銳)二面角為
C．平面 與平面 平行D．平面 與平面 所成的(銳)二面角為
【答案】A
17．（高考四川卷（理））一個(gè)幾何體的三視圖如圖所 示,則該幾何體的直觀圖可以是
【答案】D
二、題
18．（高考上海卷（理））在 平面上,將兩個(gè)半圓弧 和 、兩條直線(xiàn) 和 圍成的封閉圖形記為D,如圖中陰影部分.記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為 ,過(guò) 作 的水平截面,所得截面面積為 ,試?yán)米?原理、一個(gè)平放的圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體,得出 的體積值為_(kāi)_________
【答案】 .
19．（高考陜西卷（理））某幾何體的三視圖如圖所示, 則其體積為_(kāi)__ _____.
【答案】
20．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對(duì)））已知圓 和圓 是球 的大圓和小圓,其公共弦長(zhǎng)等于球 的半徑, ,且圓 與圓 所在的平面所成的一個(gè)二面角為 ,則球 的表面積等于______.
【答案】
21．（高考北京卷（理））如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線(xiàn)段D1E上,點(diǎn)P到直線(xiàn)CC1的距離的最小值為_(kāi)_________.
【答案】
22．（普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題））如圖,在三棱柱 中, 分別是 的中點(diǎn),設(shè)三棱錐 的體積為 ,三棱柱 的體積為 ,則 ____________.
【答案】
23．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））若某幾何體的三視圖(單位:c)如圖所示,則此幾何體的體積等于________ .
【答案】24
24．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））如圖,正方體 的棱長(zhǎng)為1,P為BC的中點(diǎn),Q為線(xiàn)段 上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是__①②③⑤___(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)).[
①當(dāng) 時(shí),S為四邊形;②當(dāng) 時(shí),S為等腰梯形;③當(dāng) 時(shí),S與 的交點(diǎn)R滿(mǎn)足 ;④當(dāng) 時(shí),S為六邊形;⑤當(dāng) 時(shí),S的面積為 .
【答案】①②③⑤
25．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是____________.
【答案】
26．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知某一多面體內(nèi)接于一個(gè)簡(jiǎn)單組合體,如果該組合體的正視圖.測(cè)試圖.俯視圖均如圖所示,且圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形,則該球的表面積是_______________
【答案】
27．（上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）在如圖所示的正方體 中,異面直線(xiàn) 與 所成角的大小為_(kāi)______
【答案】
三、解答題
28．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點(diǎn).
(I)求證:
(II)
【答案】
29．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））如圖,四棱錐 中, , , 為 的中點(diǎn), .
(1)求 的長(zhǎng); (2)求二面角 的正弦值.
【答案】
1．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））如圖,圓錐頂點(diǎn)為 .底面圓心為 ,其母線(xiàn)與底面所成的角為22.5°. 和 是底面圓 上的兩條平行的弦,軸 與平面 所成的角為60°.
(Ⅰ)證明:平面 與平面 的交線(xiàn)平行于底面; (Ⅱ)求 .
【答案】解: (Ⅰ)
.
所以, .
(Ⅱ) .
.
.
法二:
1．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一 考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））如圖,在四面體 中, 平面 , . 是 的中點(diǎn), 是 的中點(diǎn),點(diǎn) 在線(xiàn)段 上,且 .
(1)證明: 平面 ;(2)若二面角 的大小為 ,求 的大小.
【答案】解:證明(Ⅰ)方法一:如圖6,取 的中點(diǎn) ,且 是 中點(diǎn),所以 .因?yàn)?是 中點(diǎn),所以 ;又因?yàn)?Ⅰ) 且 ,所以 ,所以面 面 ,且 面 ,所以 面 ;
方法二:如圖7所示,取 中點(diǎn) ,且 是 中點(diǎn),所以 ;取 的三等分點(diǎn) ,使 ,且 ,所以 ,所以 ,且 ,所以 面 ;
(Ⅱ)如圖8所示,由已知得到面 面 ,過(guò) 作 于 ,所以 ,過(guò) 作 于 ,連接 ,所以 就是 的二面角;由已知得到 ,設(shè) ,所以
,
在 中, ,所以在 中, ,所以在 中
;
2．（上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）如圖,在正三棱錐 中, ,異面直線(xiàn) 與 所成角的大小為 ,求該三棱柱的體積.
【答案】[解]因?yàn)?.
所以 為異面直線(xiàn) 與 .所成的角,即 = .
在Rt 中, ,
從而 ,
因此該三棱柱的體積為 .
3．（普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題））本小題滿(mǎn)分14分.
如圖,在三棱錐 中,平面 平面 , , ,過(guò) 作 ,垂足為 ,點(diǎn) 分別是棱 的中點(diǎn).
求證:(1)平面 平面 ; (2) .
【答案】證明:(1)∵ , ∴F分別是SB的中點(diǎn)
∵E.F分別是SA.SB的中點(diǎn) ∴EF∥AB
又∵EF 平面ABC, AB 平面ABC ∴EF∥平面ABC
同理:FG∥平面ABC
又∵EF FG=F, EF.FG 平面ABC∴平面 平面
(2)∵平面 平面
平面 平面 =BC
AF 平面SAB
AF⊥SB
∴AF⊥平面SBC 又∵BC 平面SBC ∴AF⊥BC
又∵ , AB AF=A, AB.AF 平面SAB ∴BC⊥平面SAB又∵SA 平面SAB∴BC⊥SA
4．（高考上海卷（理））如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,證明直線(xiàn)BC1平行于平面DA1C,并求直線(xiàn)BC1到平面D1AC的距離.
【答案】因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為長(zhǎng)方體,故 ,
故ABC1D1為平行四邊形,故 ,顯然B不在平面D1AC上,于是直線(xiàn)BC1平行于平面DA1C;
直線(xiàn)BC1到平面D1AC的距離即為點(diǎn)B到平面D1AC的距離設(shè)為
考慮三棱錐ABCD1的體積,以ABC為底面,可得
而 中, ,故
所以, ,即直線(xiàn)BC1到平面D1AC的距離為 .
5．（高考湖北卷（理））如圖, 是圓 的直徑,點(diǎn) 是圓 上異于 的點(diǎn),直線(xiàn) 平面 , , 分別是 , 的中點(diǎn).
(I)記平面 與平面 的交線(xiàn)為 ,試判斷直線(xiàn) 與平面 的位置關(guān)系,并加以證明;
(II)設(shè)(I)中的直線(xiàn) 與圓 的另一個(gè)交點(diǎn)為 ,且點(diǎn) 滿(mǎn)足 .記直線(xiàn) 與平面 所成的角為 ,異面直線(xiàn) 與 所成的角為 ,二面角 的大小為 ,求證: .
(II)連接DF,用幾何方法很快就可以得到求證.(這一題用幾何方法較快,向量的方法很麻煩,特別是用向量不能方便的表示角的正弦.個(gè)人認(rèn)為此題與新課程中對(duì)立體幾何的處理方向有很大的偏差.)
6．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））如圖1,在等腰直角三角形 中, , , 分別是 上的點(diǎn), , 為 的中點(diǎn).將 沿 折起,得到如圖2所示的四棱錐 ,其中 .
(Ⅰ) 證明: 平面 ; (Ⅱ) 求二面角 的平面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ) 在圖1中,易得
連結(jié) ,在 中,由余弦定理可得
由翻折不變性可知 ,
所以 ,所以 ,
理可證 , 又 ,所以 平面 .
(Ⅱ) 傳統(tǒng)法:過(guò) 作 交 的延長(zhǎng)線(xiàn)于 ,連結(jié) ,
因?yàn)?平面 ,所以 ,
所以 為二面角 的平面角.
結(jié)合圖1可知, 為 中點(diǎn),故 ,從而
所以 ,所以二面角 的平面角的余弦值為 .
向量法:以 點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示,
則 , ,
所以 ,
設(shè) 為平面 的法向量,則
,即 ,解得 ,令 ,得
由(Ⅰ) 知, 為平面 的一個(gè)法向量,
所以 ,即二面角 的平面角的余弦值為 .
7．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 側(cè)棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E為棱AA1的中點(diǎn).
(Ⅰ) 證明B1C1⊥CE;
(Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值.
(Ⅲ) 設(shè)點(diǎn)在線(xiàn)段C1E上, 且直線(xiàn)A與平面ADD1A1所成角的正弦值為 , 求線(xiàn)段A的長(zhǎng).
【答案】
8．（高考新課標(biāo)1（理））如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
(Ⅰ)證明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直線(xiàn)A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)取AB中點(diǎn)E,連結(jié)CE, , ,
∵AB= , = ,∴ 是正三角形,
∴ ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵ =E,∴AB⊥面 ,
∴AB⊥ ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB, ⊥AB,
又∵面ABC⊥面 ,面ABC∩面 =AB,∴EC⊥面 ,∴EC⊥ ,
∴EA,EC, 兩兩相互垂直,以E為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)?軸正方向, 為單位長(zhǎng)度,建立如圖所示 空間直角坐標(biāo)系 ,
有題設(shè)知A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B(-1,0,0),則 =(1,0, ), = =(-1,0, ), =(0,- , ),
設(shè) = 是平面 的法向量,
則 ,即 ,可取 =( ,1,-1),
∴ = ,
∴直線(xiàn)A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值為
9．（高考陜西卷（理））如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ) 證明: A1C⊥平面BB1D1D;
(Ⅱ) 求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角 的大小.
【答案】解:(Ⅰ) ;又因?yàn)?在正方形AB CD中, .
在正方形AB CD中,AO = 1 .
.
.(證畢)
(Ⅱ) 建立直角坐標(biāo)系統(tǒng),使用向量解題.
以O(shè)為原點(diǎn),以O(shè)C為X軸正方向,以O(shè)B為Y軸正方向.則
.
由(Ⅰ)知, 平面BB1D1D的一個(gè)法向量
設(shè)平面OCB1的法向量為
.
所以,平面OCB1與平面BB1D1D的夾角 為
10．（高考江西卷（理））如圖,四棱錐 中, , ,連接 并延長(zhǎng)交 于 .
(1)求證: ;
(2)求平面 與平面 的夾角的余弦值.
【答案】解:(1)在 中,因?yàn)?是 的中點(diǎn),所以 ,
故 ,
因?yàn)?,所以 ,
從而有 ,
故 ,又因?yàn)?所以 ∥ .
又 平面 ,
所以 故 平面 .
(3)以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系,則 ,
(4)
,故
設(shè)平面 的法向量 ,則 ,
解得 ,即 .
設(shè)平面 的法向量 ,則 ,解得 ,
即 .從而平面 與平面 的夾角的余弦值為 .
11．（高考四川卷（理））如圖,在三棱柱 中,側(cè)棱 底面 , , , 分別是線(xiàn)段 的中點(diǎn), 是線(xiàn)段 的中點(diǎn).
(Ⅰ)在平面 內(nèi),試作出過(guò)點(diǎn) 與平面 平行的直線(xiàn) ,說(shuō)明理由,并證明直線(xiàn) 平面 ;
(Ⅱ)設(shè)(Ⅰ)中的直線(xiàn) 交 于點(diǎn) ,交 于點(diǎn) ,求二面角 的余弦值.
【答案】解: 如圖,在平面 內(nèi),過(guò)點(diǎn) 做直線(xiàn) // ,因?yàn)?在平面 外,
在平面 內(nèi),由直線(xiàn)與平面平行的判定定理可知, //平面 .
由已知, , 是 的中點(diǎn),所以, ,則直線(xiàn) .
因?yàn)?平面 ,所以 直線(xiàn) .又因?yàn)?在平面 內(nèi),且 與 相交,所以直線(xiàn)平面
解法一:
連接 ,過(guò) 作 于 ,過(guò) 作 于 ,連接 .
由 知, 平面 ,所以平面 平面 .
所以 平面 ,則 .
所以 平面 ,則 .
故 為二面角 的平面角(設(shè)為 ).
設(shè) ,則由 , ,有 , .
又 為 的中點(diǎn),所以 為 的中點(diǎn),且 ,
在 中, ;在 中, .
從而, , , [來(lái)
所以 .
所以 .
故二面角 的余弦值為
解法二:
設(shè) .如圖,過(guò) 作 平行于 ,以 為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以 , 的方向?yàn)?軸, 軸, 軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系 (點(diǎn) 與點(diǎn) 重合).
則 , .
因?yàn)?為 的中點(diǎn),所以 分別為 的中點(diǎn),
故 ,
所以 , , .
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ,則
即 故有
從而
取 ,則 ,所以 .
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ,則
即 故有
從而
取 ,則 ,所以 .
設(shè)二面角 的平面角為 ,又 為銳角,
則 .
故二面角 的余弦值為
12．（普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題））本小題滿(mǎn)分10分.
如圖,在直三棱柱 中, , , ,點(diǎn) 是 的中點(diǎn)
(1)求異面直線(xiàn) 與 所成角的余弦值
(2)求平面 與 所成二面角的正弦值.
【答案】本題主要考察異面直線(xiàn).二面角.空間向量等基礎(chǔ)知識(shí)以及基本運(yùn)算,考察運(yùn)用空間向量解決問(wèn)題的能力.
解:(1)以 為為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系 ,
則 , , , ,
∴ ,
∴
∴異面直線(xiàn) 與 所成角的余弦值為
(2) 是平面 的的一個(gè)法向量
設(shè)平面 的法向量為 ,∵ ,
由
∴ 取 ,得 ,∴平面 的法向量為
設(shè)平面 與 所成二面角為
∴ , 得
∴平面 與 所成二面角的正弦值為
13．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對(duì)））如圖,四棱錐 中, 與 都是等邊三角形.
(I)證明: (II)求二面角 的大小.
【答案】
14．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））如圖所示,在三棱錐 中, 平面 , , 分別是 的中點(diǎn), , 與 交 于點(diǎn) , 與 交于點(diǎn) ,連接 .
(Ⅰ)求證: ; (Ⅱ)求二面角 的余 弦值.
【答案】解:(Ⅰ)證明:因?yàn)?分別是 的中點(diǎn),
所以 ∥ , ∥ ,所以 ∥ ,
又 平面 , 平面 ,
所以 ∥平面 ,
又 平面 ,平面 平面 ,
所以 ∥ ,
又 ∥ ,
所以 ∥ .
(Ⅱ)解法一:在△ 中, , ,
所以 ,即 ,因?yàn)?平面 ,所以 ,
又 ,所以 平面 ,由(Ⅰ)知 ∥ ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以 ,同理可得 ,
所以 為二面角 的平面角,設(shè) ,連接 ,
在 △ 中,由勾股定理得, ,
在 △ 中,由勾股定理得, ,
又 為△ 的重心,所以
同理 ,
在△ 中,由余弦定理得 ,
即二面角 的余弦值為 .
解法二:在△ 中, , ,
所以 ,又 平面 ,所以 兩兩垂直,
以 為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以 所在直線(xiàn)為 軸, 軸, 軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè) ,則 , , , , ,,所以 , , , ,
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ,
由 , ,
得
取 ,得 .
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為
由 , ,
得
取 ,得 .所以
因?yàn)槎娼?為鈍角,所以二面角 的余弦值為 .
15．（高考湖南卷（理））如圖5,在直棱柱 , , .
(I)證明: ; (II)求直線(xiàn) 所成角的正弦值.
【答案】解: (Ⅰ)
. (證畢)
.
16．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））如圖,在四棱柱 中,側(cè)棱 , , , , , , .
(1)求證:
(2)若直線(xiàn) 與平面 所成角的正弦值為 ,求 的值;
(3)現(xiàn)將與四棱柱 形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼接成一個(gè)新的棱柱,規(guī)定:若拼接成的新的四棱柱形狀和大小完全相同,則視為同一種拼接方案.問(wèn):共有幾種不同的方案?在這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為 ,寫(xiě)出 的表達(dá)式(直接寫(xiě)出答案,不必要說(shuō)明理由)
【答案】解:(Ⅰ)取 中點(diǎn) ,連接
,
四邊形 為平行四邊形
且
在 中,
,即 ,又 ,所以
平面 , 平面
,又 ,
平面
(Ⅱ)以 為原點(diǎn), 的方向?yàn)?軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 , , ,
所以 , ,
設(shè)平面 的法向量 ,則由
得 取 ,得
設(shè) 與平面 所成角為 ,則
,解得 .故所求 的值為1
(Ⅲ)共有 種不同的方案
17．（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））如圖,直棱柱 中, 分別是 的中點(diǎn), .
(Ⅰ)證明: 平面 ; (Ⅱ)求二面角 的正弦值.
【答案】
18．（高考北京卷（理））如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形, 平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求證:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;
(Ⅲ)證明:在線(xiàn)段BC1存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B,并求 的值.
【答案】解:
(I)因?yàn)锳A1C1C為正方形,所以AA1 ⊥AC.
因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線(xiàn)AC,所以AA1⊥平面ABC.
(II)由(I)知AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由題知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)- ,則B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
設(shè)平面A1BC1的法向量為 ,則 ,即 ,
令 ,則 , ,所以 .
同理可得,平面BB1C1的法向量為 ,所以 . 由題知二面角A1-BC1-B1為銳角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值為 .
(III)設(shè)D 是直線(xiàn)BC1上一點(diǎn),且 . 所以 .解得 , , .
所以 .
由 ,即 .解得 .
因?yàn)?,所以在線(xiàn)段BC1上存在點(diǎn)D,
使得AD⊥A1B.
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