初中一年級學(xué)生思維處于從直觀形象思維向抽象邏輯思維轉(zhuǎn)折時期的特點，教師通過活動教具、作圖等，從而引導(dǎo)學(xué)生操作、觀察，歸納概括有關(guān)數(shù)學(xué)猜想。在此基礎(chǔ)上，通過具體例子引導(dǎo)學(xué)生體會證明猜想的方法，并由特殊推向一般、從具體引向抽象，獲得了相關(guān)的證明。這樣概括過程，先使學(xué)生獲得關(guān)于推理的一些直接經(jīng)驗，形象直觀，有操作、有想象、有分析、有歸納，思維經(jīng)歷了從具體到抽象的過程。在獲得定理的證明后，及時概括相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生的思維得到及時升華。接著，讓學(xué)生用剛剛獲得思想方法去證明其它猜想，從而及時鞏固了學(xué)到的知識。由于所有判定定理都是學(xué)生自己事先猜想出來的，而猜想的證明也是在教師的引導(dǎo)下學(xué)生自己獨立作出的，因此學(xué)生從中體驗到了自己也有能力獲得數(shù)學(xué)定理，這對激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愿望，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心也是非常有好處的。另外，在教學(xué)過程中，教師特別重視了“化歸”這一重要的數(shù)學(xué)思想方法的滲透，充分利用知識之間的相互聯(lián)系性，通過分析、歸納、概括，將要解決的新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，這個過程的實質(zhì)就是概括。我們相信，通過這樣的教學(xué)，長期堅持，潛移默化，學(xué)生的觀察、猜想、分析、歸納、概括以及邏輯論證等能力都會得到很好的培養(yǎng)和提高。

實踐表明，通過向?qū)W生展示各個平行線定理的直觀背景、產(chǎn)生過程及其證明方法的形成過程，學(xué)生的思維活動被激活了，通過他們自己主動的思維活動，不但獲得了關(guān)于定理的猜想，概括出了定理的證明方法，而且還受到了數(shù)學(xué)思想方法乃至數(shù)學(xué)觀念的訓(xùn)練：從特殊到一般、從簡單到綜合，即一般化和特殊化思想；從直觀到抽象不斷轉(zhuǎn)化，即化歸思想；運(yùn)動變化思想等等。另外，在這樣的概括過程中，學(xué)生還能體驗到，數(shù)學(xué)不僅有嚴(yán)密的邏輯推理，抽象的演繹論證，在數(shù)學(xué)理論的產(chǎn)生過程中，也有直觀、猜想、非邏輯性，而且也有合情推理。這種展示了數(shù)學(xué)活動真實過程的教學(xué)情境，使學(xué)生有機(jī)會看到數(shù)學(xué)知識的實際背景和抽象過程，使他們有機(jī)會開展主動的思維活動，通過自己的猜想、發(fā)現(xiàn)來概括數(shù)學(xué)原理，確實使學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力得到了很好的培養(yǎng)和提高。

必須指出的是，概括能力的培養(yǎng)，不論采取何種教學(xué)方法（發(fā)現(xiàn)法或講授法），關(guān)鍵是要有正確的教學(xué)思想，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，把教學(xué)真正建立在學(xué)生自己的獨立探索、思考、理解的基礎(chǔ)上，真正給學(xué)生以獨立探索的機(jī)會，使他們在學(xué)習(xí)過程中有充分的自由思想空間，使學(xué)生有機(jī)會經(jīng)歷數(shù)學(xué)概括的全過程。但是，在教學(xué)實踐中，要做到這些并不容易，教師對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力往往并不完全信任，他們總怕學(xué)生出錯，總怕學(xué)生會浪費時間，總想攙扶著學(xué)生，甚至不惜去代替學(xué)生思維。而這些做法與培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力的要求是背道而馳的，也是與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本來面目不相符合的。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)概括的自身特點出發(fā)，在使用抽象的數(shù)學(xué)語言和符號表述數(shù)學(xué)定義、定理或原理之前，通過可觀察的（實物、圖形、圖表等等）、描述性的、可親身體驗的形式來傳播新的思想，從而引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使他們自己去試驗、構(gòu)造，用他們自己的語言去闡述和解釋，通過自己的獨立思維活動來學(xué)習(xí)知識。要為學(xué)生創(chuàng)造一種環(huán)境，使他們在其中扮演自主活動的角色，有發(fā)揮自己的聰明才智進(jìn)行創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的機(jī)會，能自己去尋找需要的證據(jù)，獲得能夠反映自身特點的對數(shù)學(xué)原理的解釋，在他們自己的水平上完成對數(shù)學(xué)原理的概括過程。我們應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)當(dāng)作一種科學(xué)探索的過程（當(dāng)然，它是在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的），而不要把它當(dāng)成是一種語言、一種高度抽象的理論。應(yīng)當(dāng)努力促使學(xué)生形成自己對數(shù)學(xué)的理解，并能用自己的語言來表達(dá)這種理解，而不要只是追求所謂的精確性。因為在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，精確而沒有理解，理解但不精確的現(xiàn)象都不少見。通過死記硬背而一字不差地重述一個定理，在任何時候都不能與理解一個定理劃上等號。

心理學(xué)家認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是發(fā)展數(shù)學(xué)能力的突破口。思維品質(zhì)包括思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性和創(chuàng)造性，它們反映了思維的不同方面的特征，因此在教學(xué)過程中應(yīng)該有不同的培養(yǎng)手段。

數(shù)學(xué)的性質(zhì)決定了數(shù)學(xué)教學(xué)既要以學(xué)生思維的深刻性為基礎(chǔ)，又要培養(yǎng)學(xué)生的思維深刻性。數(shù)學(xué)思維的深刻性品質(zhì)的差異集中體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)能力的差異，教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性，實際上就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)教育學(xué)生學(xué)會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，學(xué)會全面地思考問題，養(yǎng)成追根究底的習(xí)慣。對于那些容易混淆的概念，如正數(shù)與非負(fù)數(shù)、空集f和集合{0}、銳角和第一象限的角、充分條件和必要條件、映射與一一映射、sin(arcsinx)與arcsin(sinx)等等，可以引導(dǎo)學(xué)生通過辨別對比，認(rèn)清概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，在同化概念的同時，使新舊概念分化，從而深刻理解數(shù)學(xué)概念。通過變式教學(xué)揭示并使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、方法的本質(zhì)與核心。在解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，發(fā)現(xiàn)隱蔽關(guān)系，優(yōu)化解題過程，尋找最佳解法等等。

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