馬德志 劉雅琴 張立兵
長期以來，中學數(shù)學的教學內容為初等數(shù)學的基礎知識，這些基礎知識源遠流長，不可能再有什么創(chuàng)新，更不太可能要求學生發(fā)明創(chuàng)造什么新的初等數(shù)學的結論．因此，我們數(shù)學教師普遍對定理、公式課的教學重視不夠，在數(shù)學課堂中更多地重視“解題訓練”，習慣了“滿堂灌”的模式，致使學生更多地靠背誦數(shù)學的結論和公式，盲目地機械地去進行模仿，在茫茫的題海中漫游，學生不知不覺地成了知識的容器．在這樣的課堂上，學生思維的時間和空間無情地失去了．長此下去，學生很用功，書本知識很純熟，但動手能力差，學生對數(shù)學問題根本不可能進行深入的思考和探究，更不可能有創(chuàng)新思維和創(chuàng)新精神．
事實上，數(shù)學中的定理、公式是揭露和反映數(shù)學概念本質屬性及屬性間的聯(lián)系的一種重要形式．而
定理、公式課的教學，不單純是讓學生知道和了解定理和公式本身，定理、公式的探索、產(chǎn)生過程，更是學生思維提升和思維訓練的良好素材，這就要求我們在數(shù)學教學中要加強定理、公式課的教學．為了更加有效地組織定理、公式課教學，我們分析了定理、公式課的特點，結合“自主互助學習型”課堂教學的教學理念，把定理、公式課分為兩種基本模式：“自學交流式”和“探究交流式”．
模式一自學交流模式
對于教學內容中的定理、公式比較明顯，探究的價值并不大，這時不必再過多地強行進行“探究”，
而是利用此教學內容進行自主學習方式的培養(yǎng)，更多地采用自主學習與互助交流的形式．
一、教學流程圖
二、教學環(huán)節(jié)解讀
(一)課前準備階段
“課前準備”分為三部分：①為了本節(jié)課的順利進行，圍繞本節(jié)課的定理、公式以及要解決的問題，結合以前學的知識與方法，設計一個知識鏈接的前期臺階；②為了本節(jié)課的順利進行，根據(jù)本節(jié)課的需求所做的課前準備；③有效的課前自主學習(預習)活動．
例如，在學習“平方差公式”這一節(jié)課時，由于這個公式內容比較簡單，其課前準備可如下：
第一部分：安排學生復習整式的乘法，為學習平方差公式做好知識的銜接，復習以下兩點：
1．整式乘法的法則有哪些?
2．在進行多項式乘以多項式時，易錯點有哪些?如何克服?
第二部分：教師課前精心準備自學提綱，設置自主學習的題目和問題．本節(jié)課的自學提綱具體設計如下：
1．如圖，邊長為20厘米的大正方形中有一個邊長為8厘米的小正方形，請表示出圖中陰影部分
面積：
圖1的面積為：??
圖2的面積為：??
結論：20×20－8×8=202－82=336
(20+8)(20?8)=336
(20+8)(20－8)=202?82
你有什么發(fā)現(xiàn)?
2．利用多項式的乘法法則，計算下列各題：
(1)(x+2)(x－2)
(2)(1+3a)(1－3a)
(3)(x+5y)(x－5y)
(4)(5+b)(5－b)
(5)(2x+1/2)(2x－1/2)
(6)(－x+2)(－x－2)
3．觀察以上算式及其計算結果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?大膽猜測得出一個一般性的結論．
第三部分：預習課本，形成對本節(jié)定理、公式的初步要求認識．
(二)課上探究階段
課上探究階段要注重課堂教學的四個重要環(huán)節(jié)，也就是課堂教學的十六字方針“自主學習，合作
探究(交流)，精講點撥，有效訓練”．
四個環(huán)節(jié)分別為：
環(huán)節(jié)一：自主學習
1．明確學習目標
(1)基本目標：這是每個學生都應達到的，通過看書學習，了解定理的內容，能用語言表述出來；根據(jù)定理學習例題，然后能模仿例題運用定理或公式做簡單的題目．
(2)綜合目標：能對定理有深入認識，理解定理的本質含義，會用定理解決有一定綜合性的問題．
2．提出符合本定理的學習方式要求
3．自主學習
學生通過自學課本完成或借助學案獨立完成上述目標．
4．檢測結果
由學生自評、互評，小組內督促沒有完成的同學完成，學生盡可能完成高層次的目標要求．
例如，在教學“平方差公式”這一課時，可這樣安排學生進行自主學習．
(1)分發(fā)學案，結合課本，要求學生獨立完成學案的“自學提綱”部分(時間6分鐘)．
通過完成“自學提綱”的1、2兩組題目，使學生自主發(fā)現(xiàn)這些運算結果的規(guī)律，然后在自學提綱指導下進一步引導學生根據(jù)特例進行歸納、建立猜想、嘗試用符號語言表示，為證明這一結論做好鋪墊．在這個重要的數(shù)學探索過程中，要讓學生體會符號運算對證明猜想的作用，同時引導學生體會“數(shù)形結合”思想的重要性．而這一切都不是老師直接告訴他們的，而是學生在一步步的練習與探究中自主發(fā)現(xiàn)的，這是在此環(huán)節(jié)追求的最佳效果．
(2)在完成“自學提綱”的基礎上，個人探究公式的嚴密性，即推證公式．數(shù)學知識有著嚴密的系統(tǒng)性和邏輯性，根據(jù)這一特點，要用聯(lián)系的觀點、轉化的觀點、發(fā)展的觀點指導學生通過看書自學和動手演算，抓住新課中的主要內容，在重點、難點、關鍵處多下工夫．在新舊知識的連接點上，教師要在學案中設計一些富有啟發(fā)性的問題(注意設計的問題要有梯度)，讓學生探究研討，釋疑解惑．
(3)簡單應用，讓學生模仿例題運用此公式做簡單的題目：
例1計算下列各題：
(1)(5+6x)(5－6x)
(2)(2x+5y)(2x－5y)
例2計算
(1)(－m+n)(－m－n)
(2)(－2x－5y)(－2x+5y)
(3)(ab+8)(－ab+8)
例3計算：1998×2002
當然，由于學生水平的差別，在以上自主學習的過程中，學生完成的質量和收獲可能不一樣，在下一環(huán)節(jié)“合作交流”中就會得到解決．教師應要求學生把自學中有疑問的問題做好記錄，讓學生帶著問題進行交流合作．這樣做，一方面能逐步培養(yǎng)學生自主學習的能力，另一方面，又能使學生逐步養(yǎng)成良好的預習習慣和正確的自學方法．而良好的預習習慣和正確的自學方法一旦形成，往往能使學生受益終身．
環(huán)節(jié)二：合作交流
1．小組內部交流
此環(huán)節(jié)的小組交流，是解決在“自主學習”中沒有解決的定理、公式“理解”問題，而不是單純地記住定理、公式；是糾正做題時定理、公式的使用錯誤；是糾正思維方法錯誤和解題運算錯誤．因此，課堂上此環(huán)節(jié)的合作交流，必須建立在學生獨立思考的基礎上，學生如果沒有獨立思考就參與交流，則交流無實效．有些問題能獨立解決的，就讓學生自己解決；可以兩人解決的，就兩人解決；能在小組內解決的就不在班上解決．要建立一個“1?2?4?8一n”的合作交流秩序．在此環(huán)節(jié)中必須充分發(fā)揮小組的監(jiān)督機制．組內每位同學先和自己的同桌討論學案中的有關問題，對一些簡單、易懂的內容只需一帶而過，而教學中的重點、難點問題則應展開討論交流，在組內達成共識．
例如，學習“平方差公式”這一節(jié)課時，通過小組交流學生就會發(fā)現(xiàn)在預習任務中的一些分歧，如：例2(3)．(ab+8)(－ab+8)的結果就會出現(xiàn)爭議，通過交流辯論，有的小組就會找出問題所在，從而就會引發(fā)他們去思考：此公式的特點是什么?容易出錯的地方或者在運用時應注意什么?這都可以作為每個小組的探究結果，作為各個小組認為“最有價值”的問題在下一環(huán)節(jié)進行交流．
2．組際交流(班內展示)
組際交流采用學生說或做為主的交流形式，讓學生說出對定理的理解問題，定理使用中注意的問
題，定理的拓展與變化問題等．要在課堂中引起討論，展現(xiàn)學生的思維過程，讓學生從本質上理解定理等．具體可這樣操作：讓每個小組的報告員代表本組向全班進行學習成果匯報，了解每個小組學習的情況，同時注意了解每個小組學習有困難學生的掌握情況．對于每個小組提出的疑問，可以請其他小組介紹解決辦法．經(jīng)驗表明：一節(jié)使學生收獲較大的課，其交流的問題一定會是有深度的，尤其是在問題被提出時，往往有一定的爭議性．
例如，教學“平方差公式”一節(jié)時，通過組際的交流，全班要達成的共識是：
平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2
公式的特點：
(1)公式左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項是完全相同項，另一項是互為相
反項．
(2)公式右邊是相同項的平方減去相反項的平方．
(3)此環(huán)節(jié)可以給出幾個變式：
(－a+b)(－a－b=a2－b2；(a－b)(－a－b)=b2－a2．
變式的目的是使學生明確“左邊一項相同一項相反，右邊是相同項的平方減去相反項的平方”．
另外，通過組內及組間交流，學生對自主學習階段的例題1、2、3的解答進行了核對，查漏補缺，進一步完善，這樣也進一步加深了對平方差公式的理解．總之，組際交流時教師需要做好充分的準備，要“收”“放”得當，要抓住有利的時機，恰當?shù)剡M行精講點撥．
環(huán)節(jié)三：精講點撥
對于上述環(huán)節(jié)中出現(xiàn)的重要問題，以及本課的難點，教師要及時進行引導、點撥．精講點撥是一個歸納、發(fā)展與提升的過程．
精講點撥可以由教師講，也可以由學生講．
教師在精講過程中，力爭做到以下幾點：
1．精講點撥的語言、內容要精練，點到為止．
2．精講應具有針對性，切忌面面俱到，應根據(jù)學生自學、討論交流過程中反饋的信息展開．
3．精講點撥應具有啟發(fā)性，學生經(jīng)過老師的適當點撥能解決的問題應盡量讓學生自主解決，最大限度地發(fā)揮學生學習的積極性，培養(yǎng)學生的思維能力．
4．教師還應對學生討論交流過程中提出的具有獨創(chuàng)性的問題給予表揚，對比較幼稚的問題不應譏
笑、挖苦，以保護學生參與課堂活動的積極性．
例如，“平方差公式”一節(jié)的精講點撥：
點撥1在班級交流過程中，教師點撥學生對公式的形式、特點以及公式的變形進行研究．
點撥2在應用公式時，引導學生歸納出題目的條件與公式有差異時的解決辦法．
環(huán)節(jié)四：有效訓練
有效訓練的目的是夯實雙基，及時鞏固運用所學定理和公式解決實際問題，以確保目標達成．因
此，要精心設計訓練題．設計訓練題時要做到：①訓練題設計要有層次，體現(xiàn)不同水平學生的需求；②訓練題設計要圍繞教學重點；③訓練題設計要注意疑點、難點和易錯點；④題目要有代表性和可拓展性．
有效訓練后，要進行課堂小結．課堂小結是一節(jié)課的總結與提升，是教學目的落實的重要環(huán)節(jié)．對于定理、公式課的總結，完全可以放手讓學生來做．在開始的時候，老師要教給他們怎樣總結，總結什么．如：教給他們要總結的主要內容是本節(jié)課自己的收獲．這些收獲包含對定理、公式的理解，規(guī)律的總結，解題方法、技巧的運用，今后學習應該注意的問題等等．
例如，“平方差公式”一節(jié)的小結：你本節(jié)課的收獲是什么?(2分鐘)
首先讓學生進行總結，強化對新知識的感知，鍛煉學生的歸納能力和表達能力．其次由老師引領總結出：本節(jié)課學了什么內容?它有什么用處?在運用此公式時應注意的地方等內容．如：
(1)平方差公式是特殊的多項式乘法，要理解并掌握公式的結構特征．
�、僮筮吺莾蓚�二項式相乘，其中一項完全相同，另一項互為相反項．
�、谟疫吺窍嗤椀钠椒綔p互為相反項的平方．
(2)在混合運算中，用平方差公式直接計算，所
得的結果可以寫在一個括號里，以免發(fā)生符號錯誤．
三、課后延伸階段
課后延伸包括以下幾點：
1．分層次的課后作業(yè)．作業(yè)要分層次，分為必做與選做．盡量布置一些探究性作業(yè)，要為以后的學習與發(fā)展起作用．
2．作業(yè)要建立在必要的復習鞏固之后完成．
3．課后的相關的探究活動或研究性學習等．
模式二探究交流模式
對于教學內容中的定理與前面學過的定理相似或可以類比前面的定理時，可以應用類比的方法讓學生去探索新定理；對于一些可以通過事例歸納出的定理、公式等，可以通過用學案的形式或提供學生解決事例的辦法，由學生探索得到結論；具有比較明顯的探究價值的定理和公式，要經(jīng)常采用探究學習與互助交流的形式．
一、教學流程
二、環(huán)節(jié)解讀
(一)課前準備階段
“課前準備”分為三部分：①是為了本節(jié)課的順利進行，圍繞本節(jié)課的定理、公式以及要解決的問題，結合以前學的知識與方法，設計一個知識鏈接的前期臺階；②是為了本節(jié)課的順利進行，根據(jù)本節(jié)課的實驗、操作、演示等需求所做的課前準備；③是有效的課前自主學習(預習)活動．
例如，學習“1．4等腰三角形”一節(jié)時，可以做如下的課前準備：
1．知識鏈接的前期臺階：
(1)回顧以前學習的各種形式三角形的特征；
(2)復習角平分線的有關性質．
2．學生每人準備白紙做的一個等腰三角形．學生準備三角板、圓規(guī)、直尺等．
(二)課上探究階段
本部分內容的課上探究階段采用自主探究、合作交流、精講點撥、有效訓練四個重要環(huán)節(jié)進行，更注重自主探究和小組合作互助相結合．例如：
環(huán)節(jié)一：自主探究
教師提供與探究定理、公式有關的事例，包括前面學過的定理、一組有關事例、一系列有關的數(shù)或式子等．教師提出要求，由學生用類比、歸納、推理等方法自己得出結論．在教學中，教師要轉變觀念，轉換角色，要把自己置于學生學習活動的組織者、引導者和合作者的地位．做到充分相信學生，為學生營造自主探究的氛圍，搭建自主探究的平臺，創(chuàng)設自主探究的時空，依據(jù)教學目標，設計可操作的活動，讓學生自主探究新知，使其大膽去發(fā)現(xiàn)，“無拘無束”進入自主探究的過程，在探究的舞臺上盡展身手．把“教數(shù)學”變成學生自主地“學數(shù)學”．
例如，在學習“等腰三角形”一課時，可事先建議學生準備一個等腰三角形，讓學生折疊圖形，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的各個有關結論．
學生探究活動設計主要有：
1．觀察你所做的等腰三角形
通過測量、折疊等方式，觀察、分析你得到的結論，要盡可能多的結論；
2．學生將得到的結論寫在預習本上；
3．學生將得到的結論選出重要的來；
4．教師巡回指導，參與過程；得到的結論為后面的合作交流做準備．
環(huán)節(jié)二：合作交流
1．小組交流
小組交流是在學生獨立思考的基礎上進行的．小組交流解決在探索中得到的不完善的結論，使結
論趨于完善．在教學中，教師也應參與到小組交流中去，但一般應以旁觀者、建議者的身份出現(xiàn)，不應說得太多．但是，教師應不斷地各組巡回，要保證小組交流給每一位學生創(chuàng)造成功的機會；要對學生交流過程中的點滴成績，給予及時的表揚鼓勵；要正視學生之間的差異，實施有針對性的分層評價．如：你的想法很有價值；你的思維真活躍，能從不同的角度來思考問題；你能用數(shù)學的眼光來看待問題，真不錯；你觀察得真仔細，還能對觀察到的現(xiàn)象結合生活實際認真進行分析嗎……使每個學生都能體驗到探究成功的喜悅和面對失敗的勇氣，從而激發(fā)更強烈、更主動的學習欲望．
對學生在交流活動中表現(xiàn)出的自主性、主動性、創(chuàng)造性，教師應組織學生進行民主評價，使學生準確、充分和大膽地表述他們的想法和見解．如：我和他(他們)的想法是一致的；我想為某同學(小組)做一點補充；我是這樣想的，我可以為他(她)提一點建議嗎?對于這個問題我有不同的想法……優(yōu)化學生的評價語言，就能使學生自然、流暢地展現(xiàn)內心的思維過程，同時增強了被評價者參與探究的自信和樂趣
2．組際交流(班內展示)
組際交流采用學生說或做為主的交流形式，讓學生說出用類比、歸納、推理等方法得出的結論，然
后由學生完善結論，并通過證明等辦法將結論升華為定理、公式等，最后進一步探討定理的拓展與變化問題等．要在課堂中引起討論，展現(xiàn)學生的思維過程，讓學生從本質上理解定理等．具體可這樣操作：讓每個小組的報告員代表本組向全班進行學習成果匯報，教師要了解每個小組學習的情況，同時注意了解每個小組學習有困難學生的掌握情況；對于每個小組提出的疑問，可以請其他小組介紹解決辦法．如果各小組均出現(xiàn)這樣的難點，這就該輪到我們老師出手了，此時也不宜給學生一股腦地講出來，而是引導、點撥，使他們突破思維障礙，經(jīng)歷柳暗花明的感覺，這是我們所追求的效果．
如教學“等腰三角形”一節(jié)，在小組討論的基礎上，通過組際交流，學生們在老師的引導點撥下，歸納總結出了等腰三角形的性質．
如：等腰三角形ABC沿底邊上的中線．AD對折后得到：
(1)等腰三角形是軸對稱圖形；
(2)等腰三角形兩底角相等；
(3)AD是頂角平分線；
(4)AD底邊上的高；
(5)頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線重合；
(6)等腰三角形沿底邊上的中線對折后，兩個直角三角形重合；
(7)三角形．ABC是等邊三角形時，各角為60。；
(8)三角形ABC是等腰直角三角形時，沿中線AD對折后得到兩個等腰直角三角形；
(學生還可以歸納出很多條)
環(huán)節(jié)三：精講點撥
對于重要的問題，教師要及時地引導、點撥，進行拓展與變化，要在課堂中引起討論，激發(fā)學生的思維，讓學生從本質上解決問題．精講點撥可以由教師講，也可以由學生講，它是一個歸納、發(fā)展與提升的過程．
環(huán)節(jié)四：有效訓練
對于得出的定理、公式等，需要通過適當?shù)木毩曨}來鞏固和夯實．鞏固訓練需要獨立完成、小組交流、組際交流等形式．課堂中的重點習題，要研討解法與思維方法，探討解決問題的不同方法，對題目要精心設計，同時還要注意進行變式訓練與歸類比較．
在有效訓練后，要進行課堂小結．課堂小結是一節(jié)課的總結與提升，是教學落實的重要環(huán)節(jié)．對于定理、公式課的總結，完全可以放手讓學生來做．
如教學“平行四邊形的性質”一節(jié)時，學生做了如下小結：
(1)這節(jié)課我們學習了平行四邊形的邊、角(對角和鄰角)、對角線的基本性質；
(2)學生在“合作交流”環(huán)節(jié)中探究出的有關矩形、菱形、正方形等特殊平行四邊形的一些性質，教師應給予肯定與鼓勵；
(3)學生總結了解平行四邊形時的識圖、用圖方法及注意事項．
在這個環(huán)節(jié)老師要及時反饋，多給學生以鼓勵，增加學生學習數(shù)學的信心，引導學生注重對數(shù)學方法和幾何思維的總結．
(三)課后延伸
課后延伸包括以下幾點：
1．分層次的課后作業(yè)
作業(yè)要分層次，分為必做與選做．盡量布置一些探究性作業(yè)，要為以后的學習與發(fā)展起作用．
2．作業(yè)要建立在必要的復習鞏固之后完成
3．是課后的相關的探究活動或研究性學習等
如講“平行四邊形的性質”一節(jié)課后，我布置了這樣一個探究性作業(yè)：
同學們，我們課上在研究平行四邊形的性質時，已經(jīng)順便探究出了一些特殊平行四邊形的特性，但是還不夠系統(tǒng)、條理，今天回去的作業(yè)就是繼續(xù)探究一些特殊平行四邊形的特性，并把它們歸納總結，形成各小組的研究性報告．在下一節(jié)課上我們將對此進行交流展示，看看哪個小組做得最棒!
布置此作業(yè)可使我們本節(jié)課的探究擴展延伸到課下，同時為下節(jié)課的探究展示埋下了伏筆，使我們的學習環(huán)環(huán)相扣，層層推進．
【作者簡介】馬德志，濰坊市教科院；劉雅琴，張立兵．濰坊市廣文中學．
【原文出處】《山東教育》：中學刊(濟南)，2010．637～40
來源：鳳凰數(shù)學
本文來自：逍遙右腦記憶 http://portlandfoamroofing.com/chuzhong/317544.html
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