初三數學教案 二次函數與一元二次方程

23.4 二次函數與一元二次方程

教學目標：

掌握二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點個數與一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情況之間的關系。

重點、難點：

二次函數y=ax2+bx+c的圖象與一元二次方程ax2+bx+c=0的根之間關系的探索。

教學過程：

一、 情境創(chuàng)設

一次函數y=x+2的圖象與x軸的交點坐標

問題1.任意一次函數的圖象與x軸有幾個交點?

問題2.猜想二次函數圖象與x軸可能會有幾個交點?可以借助什么來研究?

二、探索活動

活動一 觀察

在直角坐標系中任意取三點A、B、C，測出它們的縱坐標，分別記作a、b、c，以a、b、c為系數繪制二次函數y=ax2+bx+c的圖象，觀察它與x軸交點數量的情況;任意改變a、b、c值后，觀察交點數量變化情況。

活動二 觀察與探索

如圖1，觀察二次函數y=x2x6的圖象，回答問題:

(1)圖象與x軸的交點的坐標為A ( ， ),B( ， )

(2)當x= 時，函數值y=0。

(3)求方程x2x6=0的解。

(4)方程x2x6=0的解和交點坐標有何關系?

活動三 猜想和歸納

(1)你能說出函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點個數的其它情況嗎?猜想交點個數和方程ax2+bx+c=0的根的個數有何關系。

(2)一元二次方程ax2+bx+c=0的根的個數由什么來判斷?

這樣我們可以把二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點、一元二次方程ax2+bx+c=0的實數根和根的判別式三者聯系起來。

三、例題分析

例1.不畫圖象，判斷下列函數與x軸交點情況。

(1) y=x210x+25

(2) y=3x24x+2

(3) y=2x2+3x1

例2.已知二次函數y=mx2+x1

(1)當m為何值時，圖象與x軸有兩個交點

(2)當m為何值時，圖象與x軸有一個交點?

(3)當m為何值時，圖象與x軸無交點?

四、拓展練習

1. 如圖2，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B。

(1)請寫出方程ax2+bx+c=0的根

(2)列舉一個二次函數，使其圖象與x軸交于(1,0)和(4, 0)，且適合這個圖象。

2. 列舉一個二次函數，使其圖象開口向上，且與x軸交于(2,0)和(1,0)

五、小結

這節(jié)課我們有哪些收獲?

六、作業(yè)

求證：二次函數y= x2+ax+a2的圖象與x軸一定有兩個不同的交點。

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