第二十八章 銳角三角函數(shù)
28．1 銳角三角函數(shù)
第1課時(shí) 正弦和余弦
01 基礎(chǔ)題
知識(shí)點(diǎn)1 正弦
1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，則sinB＝(B)
A.35 B.45 C.34 D.43
2．(唐山玉田縣月考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，各邊都擴(kuò)大2倍，則銳角A的正弦值(C)
A．?dāng)U大2倍 B．縮小12
C．不變 D．無法確定
3．(天津和平區(qū)匯文中 學(xué)單元檢測(cè))在△ABC中，若三邊BC，CA，AB滿足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，則sinA的值是(C)
A.512 B.125
C.513 D.1213
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，若2a＝3c，則∠A的正弦值等于32．
5．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a∶c＝2∶3，求sinA和sinB的值．
解：在Rt△ABC中，
∠C＝90°，a∶c＝2∶3，
設(shè)a＝2k，c＝3k(k>0)，
則b＝c2－a2＝5k.
∴sinA＝ac＝2k3k＝23，
sinB＝bc＝5k3k＝53.
6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝1213，AB＝26，求△ABC的周長(zhǎng)．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝26，sinA＝BCAB＝1213，∴BC＝24，
AC＝AB2－BC2＝262－242＝10.
∴△ABC的周長(zhǎng)為26＋24＋10＝60.
知識(shí)點(diǎn)2 余弦
7．(湖州中考)如圖，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則cosB的值是(A)
A.35 B.45 C.34 D.43
8．(承德六校一模)如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則cosC的值為(D)
A.12 B.32 C.55 D.255
9．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，則cosB的值為(B)
A.74 B.35 C.34 D.45
02 中檔題
10．如圖，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為(B)
A.12 B.55 C.1010 D.255
解析：如圖，連接CD交AB于O，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，CD⊥AB，在Rt△AOC中，CO＝12＋12＝2，AC＝12＋32＝10.則sinA＝OCAC＝210＝55.
11．(懷化中考改編)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，AC＝6 cm，求BC的長(zhǎng)度．
解：∵sinA＝BCAB＝45，∴設(shè)BC＝4x，AB＝5x.
又∵AC2＋BC2＝AB2，
∴62＋(4x)2＝(5x)2，解得x＝2或x＝－2(舍去)．
∴BC＝4x＝8 cm.
12．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為10 cm，DE⊥AB，sinA＝35，求DE的長(zhǎng)和菱形ABCD的面積．
解：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°.
在Rt△AED中，sinA＝DEAD，即DE10＝35.
解得DE＝6.
∴菱形ABCD的面積為10×6＝60(cm2)．
13．如圖，已知⊙O的半徑為5 cm，弦AB的長(zhǎng)為8 cm，P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BP＝2 cm，求cosP的值．
解：作OC⊥AB于C點(diǎn)．
根據(jù)垂徑定理，
AC＝BC＝4.
∴CP＝4＋2＝6(cm)．
在Rt△OAC中，OC＝52－42＝3(cm)．
在Rt△OCP中，根據(jù)勾股定理，得
OP＝CO2＋CP2＝32＋62＝35(cm)．
故cosP＝PCPO＝635＝255.
03 綜合題
14．(鄂州中考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接FC，則sin∠ECF＝(D)
A.34 B.43
C.35 D.45
第2課時(shí) 銳角三角函數(shù)
01 基礎(chǔ)題
知識(shí)點(diǎn)1 正切
1．(湖州中考)如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝12，則BC的長(zhǎng)是(A)
A．2 B．8 C．25 D．45
2．(金華中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則tanA的值是(A)
A.34 B.43 C.35 D.45
3．如圖，A，B，C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，則tanB′的值為(B)
A.12 B.13 C.14 D.24
4．已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為6 cm，底邊長(zhǎng)為10 cm，則底角的正切值為115.
5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若BC＝2，AB＝3，求tan∠BCD.
解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°.
∴∠A＋∠ACD＝90°.
又∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠A.
在Rt△ABC中，AC＝AB2－BC2＝32－22＝5.
∴tanA＝BCAC＝25＝255.
∴tan∠BCD＝tanA＝255.
知識(shí)點(diǎn)2 銳角三角函數(shù)
6．(宜昌中考)△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示(每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1)，AD⊥BC于D，下列選項(xiàng)中，錯(cuò)誤的是(C)
A．sinα＝cosα
B．tanC＝2
C．sinβ＝cosβ
D．tanα＝1
7．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，則tanB的值為(A)
A.43 B.45 C.54 D.34
8．(福州中考)如圖，以O(shè)為圓心，半徑為1的弧交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，P是AB?上一點(diǎn)(不與A，B重合)，連接OP，設(shè)∠POB＝α，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(C)
A．(sinα，sinα) B．(cosα，cosα)
C．(cosα，sinα) D．(sinα，cosα)
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24.
(1)求AB的長(zhǎng)；
(2)求sinA，cosA，tanA的值．
解：(1)由勾股定理，得
AB＝AC2＋BC2＝72＋242＝25.
(2)sinA＝BCAB＝2425，cosA＝ACAB＝725，
tanA＝BCAC＝247.
02 中檔題
10．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，連接BD，則tan∠DBC的值為(A)
A.13 B.2－1
C．2－3 D.14
11．(河北模擬)如圖，半徑為3的⊙A經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)C(0，2)，B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則tan∠OBC為(C)
A.13 B．22 C.24 D.223
12．(瀘州中考)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值是(A)
A.24 B.14 C.13 D.23
解析：由AD∥BC，可得△ADF∽△EBF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得ADEB＝AFEF＝DFBF，因?yàn)辄c(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AD＝BC，所以ADEB＝AFEF＝DFBF＝2.設(shè)EF＝x，可得AF＝2x，在Rt△ABE中，易證△AFB∽△BFE，則BF＝2x，再由ADEB＝AFEF＝DFBF＝2，可得DF＝22x，在Rt△DEF中，tan∠BDE＝EFDF＝x22x＝24，故選A.
13．如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝45，BE＝2，則tan∠DBE＝3．
14．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝33，求cosA，tanB的值．
解：∵sinA＝BCAB＝33，
∴設(shè)BC＝3k，AB＝3k(k>0)．
由勾股定理，得
AC＝AB2－BC2＝（3k）2－（3k）2＝6k.
∴cosA＝63，tanB＝2.
15．(承德六校一模)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝12，點(diǎn)D在BC上，且BD＝AD，求AC的長(zhǎng)和cos∠ADC的值．
解：∵在Rt△ABC中，BC＝8，tanB＝ACBC＝12，
∴AC＝12BC＝4.
設(shè)AD＝x，則BD＝x，CD＝8－x，
在Rt△ADC中，由勾股定理，得(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，
∴AD＝5，CD＝8－5＝3.
∴cos∠ADC＝DCAD＝35.
03 綜合題
16．如圖，將矩形ABCD沿CE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊AD的F處，如果ABBC＝23，求tan∠DCF的值．
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠D＝90°.
∵ABBC＝23，且由折疊知CF＝BC，
∴CDCF＝23.
設(shè)CD＝2x，CF＝3x(x>0)，
∴DF＝CF2－CD2＝5x.
∴tan∠DCF＝DFCD＝5x2x＝52.
第3課時(shí) 特殊角的三角函數(shù)值
01 基礎(chǔ)題
知識(shí)點(diǎn)1 特殊角的三角函數(shù)值
1．(天津中考)cos60°的值等于(D)
A.3 B．1 C.22 D.12
2．計(jì)算2×tan60°的值等于(D)
A.53 B.63 C.5 D.6
3．(防城港中考)計(jì)算：cos245°＋sin245°＝(B)
A.12 B．1 C.14 D.22
4．(百色中考)如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，則BC＝(A)
A．6 B．62 C．63 D．12
5．求值：sin60°•tan30°＝12．
6．計(jì) 算：
(1)(安徽中考)|－2|×cos60°－(13)－1；
解：原式＝2×12－3＝－2.
(2)(瀘州中考)(－3)2＋2 0170－18×sin45°；
解：原式＝9＋1－32×22＝7.
(3)cos30°•tan30°－tan45°；
解：原式＝32×33－1＝12－1＝－12.
(4)22sin45°＋sin60°•cos45°.
解：原式＝22×22＋32×22＝2＋64.
知識(shí)點(diǎn)2 由三角函數(shù)值求特殊角
7．(聊城中考)在Rt△ABC中，cosA＝12，那么sinA的值是(B)
A.22 B.32 C.33 D.12
8．(河北模擬)在△ABC中，若角A，B滿足|cosA－32|＋(1－tanB)2＝0，則∠C的大小(D)
A．45° B．60° C．75° D．105°
9．如果在△ABC中，sinA＝cosB＝22，那么下列最確切的結(jié)論是(C)
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是銳角三角形
10．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝23，則∠A＝60°．
知識(shí)點(diǎn)3 用計(jì)算器計(jì)算三角函數(shù)值
11．如圖是科學(xué)計(jì)算器的面板，利用該型號(hào)計(jì)算器計(jì)算2cos55°，按鍵順序正確的是(C)
A.2 × cos 5 5 ＝
B. 2 cos 5 5 0 ＝
C. 2 cos 5 5 ＝
D.2 5 5 cos ＝
12．用計(jì)算器計(jì)算cos44°的結(jié)果(精確到0.01)是(B)
A．0.90 B．0.72
C．0.69 D．0.66
13．已知sinA＝0.370 6，則銳角A＝21.75°.(保留兩位小數(shù))
02 中檔題
14．(廈門中考)已知sin6°＝a，sin36°＝b，則sin2 6°＝(A)
A．a(chǎn)2 B．2a C．b2 D．b
15．李紅同學(xué)遇到了這樣一道題：3tan(α＋20°)＝1，你猜想銳角α的度數(shù)應(yīng)是(D)
A．40° B．30°
C．20° D．10°
16．(孝感中考)式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是(B)
A．23－2 B．0
C．23 D．2
17．(邢臺(tái)縣一模)關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋cosα＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則銳角α等于(D)
A．0° B．30° C．45° D．60°
18．(濱州中考)如圖，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，點(diǎn)D是CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BD＝BA，則tan∠DAC的值為(A)
A．2＋3 B．23
C．3＋3 D．33
19．如圖，有一滑梯AB，其水平寬度AC為5.3米，鉛直高度BC為2.8米，則∠A的度數(shù)約為27.8°．(用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算，結(jié)果精確到0.1°)
20．利用計(jì)算器求∠A＝18°36′的三個(gè)銳角三角函數(shù)值．
解：sinA＝sin18°36′≈0.319 0，
cosA＝cos18°36′≈0.947 8，
tanA＝tan18°36′≈0.336 5.
21．計(jì)算：
(1)(唐山玉田縣月考)tan45°－3tan30°＋cos45°；
解：原式＝1－3×33＋22
＝1－1＋22
＝22.
(2)2sin60°＋22cos45°－32tan60°－3cos30°.
解：原式＝2×32＋22×22－32×3－3×32
＝62＋12－32－32
＝62－52.
22．先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式a2－aba2÷(ab－ba)的值，其中a＝2cos30°－tan45°，b＝2sin30°.
解：原式＝a（a－b）a2÷a2－b2ab
＝a（a－b）a2•ab（a＋b）（a－b）
＝ba＋b.
∵a＝2cos30°－tan45°＝2×32－1＝3－1，
b＝2sin30°＝2×12＝1，
∴原式＝13－1＋1＝13＝33.
23．如圖，一幢樓房前有一棵竹子，樓底到竹子的距離CB為2米，一陣風(fēng)吹過，竹子的頂端恰好到達(dá)樓頂，此時(shí)測(cè)得竹子與水平地面的夾角為75°，求這棵竹子比樓房高出多少米．(精確到0.1米)
解：在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝75°，BC＝2，
∴AB＝2cos75°≈7.727(米)，
AC＝2×tan75°≈7.464(米)．
∴AB－AC＝7.727－7.464
≈0.3(米)．
答：這棵竹子比樓房高出0.3米．
24．若tanA的值是方程x2－(1＋3)x＋3＝0的一個(gè)根，求銳角A的度數(shù)．
解：解方程x2－(1＋3)x＋3＝0，得
x1＝1，x2＝3.
由題意知tanA＝1或tanA＝3.
∴∠A＝45°或60°.
03 綜合題
25．如圖，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，則△AEF的面積是(B)
A．43 B．33 C．23 D.3
28.2 解直角三角形及其應(yīng)用
28．2.1 解直角三角形
01 基礎(chǔ)題
知識(shí)點(diǎn)1 已知兩邊解直角三角形
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最適宜的做法是(C)
A．計(jì)算tanA的值求出
B．計(jì)算sinA的值求出
C．計(jì)算cosA的值求出
D．先根據(jù)sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出
2．(溫州中考)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則cosA的值是(D)
A.34 B.43 C.35 D.45
3．如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，則sin∠ABD的值是(D)
A.43 B.34 C.35 D.45
4．在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，則cosA2＝45．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝202，則∠A＝45°，∠B＝45°，b＝20．
6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝26，AC＝62，解此直角三角形．
解：∵tanA＝BCAC＝2662＝33，
∴∠A＝30°.
∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，AB＝2BC＝46.
知識(shí)點(diǎn)2 已知一邊和一銳角解直角三角形
7．(蘭州中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，BC＝6，則AB＝(D)
A．4 B．6 C．8 D．10
8．如果等腰三角形的底角為30°，腰長(zhǎng)為6 cm，那么這個(gè)三角形的面積為(B)
A．4.5 cm2 B．93 cm2
C．183 cm2 D．36 cm2
9．(保定月考)如圖，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，垂足為D，CE平分∠ACB，若BE＝2，則AE的長(zhǎng)為(B)
A.3 B．1 C.2 D．2
10．(牡丹江中考)在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝92，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，若tan∠CAD＝13，則BD的長(zhǎng)為6．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝83，∠A＝60°，解這個(gè)直角三角形．
解：∵∠A＝60°，
∴∠B＝90°－∠A＝30°.
∵sinA＝ac，
∴a＝c•sinA＝83×sin60°＝83×32＝12.
∴b＝c2－a2＝（83）2－122＝43.
12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝55°，AC＝4，解此直角三角形．(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)
解：∠A＝90°－∠B＝90°－55°＝35°.
∵tanB＝ACBC，
∴BC＝ACtanB＝4tan55°≈2.8.
∵sinB＝ACAB，
∴AB＝ACsinB＝4sin55°≈4.9.
02 中檔題
13．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，則BC的長(zhǎng)為(B)
A．10tan50° B．10cos50° C．10sin50° D.10cos50°
14．(隨州中考)如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，這個(gè)正五邊形的邊長(zhǎng)為a，半徑為R，邊心距為r，則下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是(A)
A．R2－r2＝a2 B．a(chǎn)＝2Rsin36°
C．a(chǎn)＝2rtan36° D．r＝Rcos36°
15．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是中線，若BC＝5，則△ADC的周長(zhǎng)為(B)
A．5＋103 B．10＋53
C．153 D．203
16．(保定月考)如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，設(shè)∠ADE＝α，且sinα＝45，AB＝4，求AD的長(zhǎng)為(B)
A．3 B.163 C.203 D.165
17．(河北模擬)如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，若EF＝4，BC＝10，CD＝6，則tanC等于(A)
A.43 B.34 C.35 D.45
提示：連接BD，則△BCD為直角三角形．
18．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為15，sin∠BAC＝35，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)為24．
19．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠C＝60°，AD＝4，AB＝33，則下底BC的長(zhǎng)為10．
03 綜合題
20．探究：已知，如圖1，在△ABC中，∠A＝α(0°＜α＜90°)，AB＝c，AC＝b，試用含b，c，α的式子表示△ABC的面積；
圖1
圖2
應(yīng)用：(孝感中考)如圖2，在▱ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交成的銳角為α，若AC＝a，BD＝b，試用含b，c，α的式子表示▱ABCD的面積．
解：探究：過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D.
∵AB＝c，∠A＝α，∴BD＝csinα.
∴S△ABC＝12AC•BD＝12bcsinα.
應(yīng)用：過點(diǎn)C作CE⊥DO于點(diǎn)E.
∴sinα＝ECCO.
∵在▱ABCD中，AC＝a，BD＝b，
∴CO＝12a，DO＝12b.
∴S△BCD＝12CE•BD＝12×12asinα•b
＝14absinα.
∴S▱ABCD＝2S△BCD＝12absinα.
小專題(五) “四法”確定三角函數(shù)值
方法1 回歸定義
1．如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，AB＝15，求△ABC的周長(zhǎng)和tanA的值．
解：∵sinA＝45＝BCAB，
∴BC＝45AB＝45×15＝12.
∴AC＝AB2－BC2＝9.
∴△ABC的周長(zhǎng)為9＋12＋15＝36，
tanA＝BCAC＝129＝43.
2．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C＝45°，sinB＝13，AD＝1.求：
(1)BC的長(zhǎng)；
(2)tan∠DAE的值．
解：(1)在△ABC中，
∵AD是BC邊上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1.
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝13，AD＝1，
∴AB＝ADsinB＝3.
∴BD＝AB2－AD2＝22.
∴BC＝BD＋DC＝22＋1.
(2)∵AE是BC邊上的中線，
∴CE＝12BC＝2＋12.
∴DE＝CE－CD＝2－12.
∴tan∠DAE＝DEAD＝2－12.
3．(上海中考改編)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，點(diǎn)D在邊AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，連接CE.求：
(1)線段BE的長(zhǎng)；
(2)tan∠ECB的值．
解：(1)∵AD＝2CD，AC＝3，∴AD＝2.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴∠A＝A5°，AB＝32.
∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∠ADE＝∠A＝45°.
∴AE＝2.∴BE＝AB－AE＝22.
(2)過點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為點(diǎn)H.
在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，
∴EH＝BH＝2.
又∵BC＝3，∴CH＝1.
∴tan∠ECB＝EHCH＝2.
方法2 巧設(shè)參數(shù)
4．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若BD∶CD＝3∶2，則tanB＝(D)
A.32 B.23 C.62 D.63
5．(定州模擬)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等邊三角形．如圖，將四邊形ACBD折疊，使D與C重合，EF為折痕，則∠ACE的正弦值為(D)
A.3－17 B.12 C.437 D.17
6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分線交BC于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，點(diǎn)F恰好是AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(AF＞BF)．
(1)求證：△ACE≌△AFE；
(2)求tan∠CAE的值．
解：(1)證明：∵AE是∠BAC的平分線，EC⊥AC，EF⊥AF，∴CE＝EF.
在Rt△ACE和Rt△AFE中，
CE＝FE，AE＝AE，∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL)．
(2)由(1)可知△ACE≌△AFE，
∴AC＝AF，CE＝FE.
設(shè)BF＝m，則AC＝AF＝2m，AB＝3m，
∴BC＝AB2－AC2＝9m2－4m2＝5m.
∴在Rt△ABC中，tanB＝ACBC＝2m5m＝255m.
在Rt△EFB中，EF＝BF•tanB＝255m，
∴CE＝EF＝255m.
∴在Rt△ACE中，tan∠CAE＝CEAC＝255m2m＝55.
方法3 等角代換
7．(益陽中考)如圖，電線桿CD的高度為h，兩根拉線AC與BC相互垂直，∠CAB＝α，則拉線BC的長(zhǎng)度為(A，D，B在同一條直線上)(B)
A.hsinα B.hcosα C.htanα D．h•cosα
8．如圖，∠1的正切值等于13．
9．如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB，CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD的值是2．
10．如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，連接DE，過點(diǎn)C作CF⊥DE于F，過點(diǎn)A作AG∥CF交DE于點(diǎn)G.
(1)求證：△DCF≌△ADG；
(2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，設(shè)∠DCF＝α，求sinα的值．
解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°.
∵CF⊥DE，∴∠CFD＝∠CFG＝90°.
∵AG∥CF，∴∠AGD＝∠CFG＝90°.
∴∠AGD＝∠CFD.
又∵∠ADG＋∠CDE＝ ∠ADC＝90°，∠DCF＋∠CDE＝90°，
∴∠ADG＝∠DCF.
在△DCF和△ADG中，∠DFC＝∠AGD，∠DCF＝∠ADG，DC＝AD，∴△DCF≌△ADG(AAS)．
(2)設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a.
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝12×2a＝a.
在Rt△ADE中，DE＝AD2＋AE2＝（2a）2＋a2＝5a，
∴sin∠ADG＝AEDE＝a5a＝55.
∵∠ADG＝∠DCF＝α，∴sinα＝55.
方法4 構(gòu)造直角三角形
11．(遷安一模)如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，點(diǎn)P在四邊形ABCD上，若P到BD的距離為32，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
12．(河北中考改編)如圖，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，tanA＝43.點(diǎn)P為AD邊上任意一點(diǎn)，連接PB，將PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ.
(1)當(dāng)∠DPQ＝10°時(shí)，求∠APB的大��；
(2)當(dāng)tan∠ABP∶tanA＝3∶2時(shí)，求點(diǎn)Q與點(diǎn)B間的距離．(結(jié)果保留根號(hào))
解：(1)當(dāng)點(diǎn)Q與B在PD異側(cè)時(shí)，由∠DPQ＝10°，∠BPQ＝90°得∠BPD＝80°，∴∠APB＝180°－∠BPD＝100°.
當(dāng)點(diǎn)Q與B在PD同側(cè)時(shí)，如圖，∠APB＝180°－∠BPQ－∠DPQ＝80°.
∴∠APB是80°或100°.
(2)過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，連接BQ.
∵tan∠ABP∶tanA＝PHHB∶PHAH＝3∶2，
∴AH∶HB＝3∶2.
∵AB＝10，∴AH＝6，HB＝4.
在Rt△PHA中，∵tanA＝PHAH＝43，
∴PH＝8.
∴PQ＝PB＝PH2＋HB2＝82＋42＝45.
∴QB＝2PB＝410.
小專題(六) 走進(jìn)圓中解直角三角形
1．(衢州中考)如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若∠A＝30°，則sinE的值為(A)
A.12 B.22 C.32 D.33
2．如圖，已知△ABC的外接圓O的半徑為3，AC＝4，則sinB的值為23．
3．(涼山中考)如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，A是BDC?的中點(diǎn)，AE⊥AC于A，與⊙O及CB的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)F，E，且BF?＝AD?.
(1)求證：△ADC∽△EBA；
(2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．
解：(1)證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ABC＋∠CDA＝180°.
又∵∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠CDA＝∠ABE.
∵BF?＝AD?，∴∠DCA＝∠BAE.
∴△ADC∽△EBA.
(2)∵A是BDC?的中點(diǎn)，
∴AB?＝AC?.∴AB＝AC＝8.
∵△ADC∽△EBA，
∴∠CAD＝∠AEC，DCBA＝ACEA，即58＝8AE.
∴AE＝645.
∴tan∠CAD＝tan∠AEC＝ACAE＝ 8 645＝58.
4．(河北中考)如圖，AB＝16，O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)C在線段OB上(不與點(diǎn)O，B重合)，將OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°后得到扇形COD，AP，BQ分別切優(yōu)弧CD?于點(diǎn)P，Q，且點(diǎn)P，Q在AB異側(cè)，連接OP.
(1)求證：AP＝BQ；
(2)當(dāng)BQ＝43時(shí)，求QD?的長(zhǎng)；(結(jié)果保留π)
(3)若△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部，求OC的取值范圍．
解：(1)證明：連接OQ.∵AP，BQ分別與⊙O相切，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，即∠APO＝∠BQO＝90°.
∵OA＝OB，OP＝OQ，∴Rt△APO≌Rt△BQO.
∴AP＝BQ.
(2)∵BQ＝43，OB＝12AB＝8，∠BQO＝90°，
∴sin∠BOQ＝32.∴∠BOQ＝60°.
∵OQ＝8×cos60°＝4，
∴QD?的長(zhǎng)為（270－60）π×4180＝14π3.
(3)設(shè)點(diǎn)M為Rt△APO的外心，則M為OA的中點(diǎn)，∴OM＝4.
當(dāng)點(diǎn)M在扇形的內(nèi)部時(shí)，OM＜OC，∴4＜OC＜8.
5．(保定模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，AD為弦，∠DBC＝∠A.
(1)求證：BC是⊙O的切線；
(2)連接OC，如果OC恰好經(jīng)過弦BD的中點(diǎn)E，且tanC＝12，AD＝3，求直徑AB的長(zhǎng)．
解：(1)證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠D＝90°.
∴∠A＋∠ABD＝90°.
∵∠DBC＝∠A，
∴∠DBC＋∠ABD＝90°，即∠OBC＝90°.
∴BC是⊙O的切線．
(2)∵E是弦BD的中點(diǎn)，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，
∴OE∥AD.∴∠COB＝∠A.
∵∠D＝ ∠OBC＝90°，∴∠C＝∠ABD.
∵tanC＝12，∴tan∠ABD＝ADBD＝12，即3BD＝12.
∴BD＝6.
∴AB＝AD2＋BD2＝32＋62＝35.
6．(河北中考)平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖1擺放，分別延長(zhǎng)DA和QP交于點(diǎn)O，且∠DOQ ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.讓線段OD及矩形ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針方向開始旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°≤α≤60°)．
發(fā)現(xiàn)
(1)當(dāng)α＝0°，即初始位置時(shí)，點(diǎn)P在直線AB上．(填“在”或“不在”)
求當(dāng)α是多少時(shí)，OQ經(jīng)過點(diǎn)B?
(2)在OQ旋轉(zhuǎn)的過程中，簡(jiǎn)要說明α是多少時(shí)，點(diǎn)P，A間的距離最��？并指出這個(gè)最小值；
(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在BC邊上時(shí)，求α及S陰影．
拓展
(4)如圖3，當(dāng)線段OQ與CB邊交于點(diǎn)M，與BA邊交于點(diǎn)N時(shí)，設(shè)BM＝x(x＞0)，用含x的代數(shù)式表示BN的長(zhǎng)，并求x的取值范圍．
探究
(5)當(dāng)半圓K與矩形ABCD的邊相切時(shí)，求sinα的值．
備用圖
解：(1)當(dāng)OQ過點(diǎn)B時(shí)，在Rt△OAB中，AO＝AB，得∠DOQ＝∠ABO＝45°，
∴α＝60°－45°＝15°.
(2)在△OAP中，OA＋AP≥OP，當(dāng)OP過點(diǎn)A，即α＝60°時(shí)，OA＋AP＝OP成立．
∴AP≥OP－OA＝2－1＝1.
∴當(dāng)α＝60°時(shí)，P，A間的距離最�。甈A的最小值為1.
(3)設(shè)半圓K與BC的交點(diǎn)為R，連接RK，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)R作RE⊥KQ于點(diǎn)E.
在Rt△OPH中，PH＝AB＝1，OP＝2，
∴∠POH＝30°.∴α＝60°－30°＝30°.
∵AD∥BC，∴∠OPB＝∠RPQ＝∠POH＝30°.
∴∠RKQ＝2×30°＝60°.
∴S扇形RKQ＝60π×（12）2360＝π24.
在Rt△RKE中，RE＝RK•sin60°＝34，
∴S△RKP＝12PK•RE＝316.∴S陰影＝π24＋316.
(4)∵∠OAN＝∠MBN＝90°，∠ANO＝∠BNM，∴△AON∽△BMN.
∴ANBN＝AOBM，即1－BNBN＝1x.∴BN＝xx＋1.
如圖4，當(dāng)點(diǎn)Q落在BC上時(shí)，x取得最大值，作QF⊥AD于點(diǎn)F.
BQ＝AF＝OQ2－QF2－OA＝32－12－1＝22－1.
∴x的取值范圍是0＜x≤22－1.
(5)半圓與矩形相切，分三種情況：
①如圖③，半圓K與BC切于點(diǎn)T，設(shè)直線KT與AD和OQ的初始位置所在直線分別交于點(diǎn)S，O′，則∠KSO＝∠KTB＝90°，作KG⊥OO′于點(diǎn)G.
在Rt△OSK中，OS＝OK2－SK2＝（52）2－（32）2＝2.
在Rt△OSO′中，SO′＝OS•tan60°＝23，KO′＝23－32.
在Rt△KGO′中，∠O′＝30°，∴KG＝12KO′＝3－34.
在Rt△OGK中，sinα＝KGOK＝3－3452＝43－310.
②半圓K與AD切于點(diǎn)T，如圖6，
同理可得sinα＝KGOK＝12O′K52＝12（O′T－KT）52＝12×[3×（52）2－（12）2－12]＝62－110.
③當(dāng)半圓K與CD相切時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，且D為切點(diǎn)．
∴α＝60°.∴sinα＝sin60°＝32.
綜上所述，sinα的值為43－310或62－110或32.
28.2 應(yīng)用舉例
第1課時(shí) 與視角有關(guān)的解直角三角形應(yīng)用題
01 基礎(chǔ)題
知識(shí)點(diǎn)1 利用解直角三角形解決簡(jiǎn)單問題
1．(麗水中考)如圖是某小區(qū)的一個(gè)健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端點(diǎn)A到地面CD的距離．(精確到0.1 m．參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)
解：過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥AE于點(diǎn)F.
又∵OD⊥CD，∴AE∥OD.
∴∠A＝∠BOD＝70°.
在Rt△AFB中，AB＝2.7，
∴AF＝2.7×cosA≈2.7×0.34＝0.918.
∴AE＝AF＋BC＝0.918＋0.15＝1.068≈1.1.
答：端點(diǎn)A到地面CD的距離約是1.1 m.
2．(臺(tái)州中考)如圖是一輛小汽車與墻平行停放的平面示意圖，汽車靠墻一側(cè)OB與墻MN平行且距離為0.8米，已知小汽車 車門寬AO為1.2米，當(dāng)車門打開角度∠AOB為40°時(shí)，車門是否會(huì)碰到墻？請(qǐng)說明理由．(參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)
解：過A作AC⊥OB于點(diǎn)C，
在Rt△AOC中，∠AOC＝40°，
∴sin40°＝ACOA.
又∵AO＝1.2米，
∴AC＝OA•sin40°≈1.2×0.64＝0.768(米)．
∵AC＝0.768米＜0.8米，
∴車門不會(huì)碰到墻．
知識(shí)點(diǎn)2 利用視角解直角三角形
3．(石家莊裕華區(qū)模擬)如圖，在地面上的點(diǎn)A處測(cè)得樹頂B的仰角為α度，AC＝7 m，則樹高BC為(用含α的代數(shù)式表示)(C)
A．7sinα B．7cosα C．7tanα D.7tanα
4．(臨沂中考)如圖，兩座建筑物的水平距離BC＝30 m，從A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的俯角α為30°，測(cè)得C點(diǎn)的俯角β為60°，求這兩座建筑物的高度．
解：延長(zhǎng)CD，交AE于點(diǎn)E，則DE⊥AE，
在Rt△AED中，AE＝BC＝30 m，∠EAD＝30°，
∴ED＝AE•tan30°＝103 m.
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝30 m，
∴AB＝303 m.
∴CD＝EC－ED＝AB－ED＝303－103＝203(m)．
02 中檔題
5．(邵陽中考)如圖所示，運(yùn)載火箭從地面L處垂直向上發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，從位于地面R處的雷達(dá)測(cè)得AR的距離是40 km，仰角是30°.n秒后，火箭到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)仰角是45°，則火箭在這n秒中上升的高度是(203－20)km.
6．(東營(yíng)中考)一數(shù)學(xué)興趣小組來到某公園，準(zhǔn)備測(cè)量一座塔的高度．如圖，在A處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫棣�，在B處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫棣�，又測(cè)量出A、B兩點(diǎn)的距離為s米，則塔高為tanα•tanβ•stanβ－tanα米．
7．(唐山古冶區(qū)一模)如圖，河的兩岸l1與l2相互平行，A，B是l1上的兩點(diǎn)，C，D是l2上的兩點(diǎn)，某人在點(diǎn)A處測(cè)得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)E(點(diǎn)E在線段AB上)，測(cè)得∠DEB＝60°，求C，D兩點(diǎn)間的距離．
解：過點(diǎn)D作l1的垂線，垂足為F，
∵∠DEB＝60°，∠DAB＝30°，
∴∠ADE＝∠DEB－∠DAB＝30°.
∴△ADE為等腰三角形．∴DE＝AE＝20.
在Rt△DEF中，EF＝DE•cos60°＝20×12＝10.
∵DF⊥AF，∴∠DFB＝90°.∴AC∥DF.
由已知l1∥l2，∴CD∥AF.
∴四邊形ACDF為矩形，CD＝AF＝AE＋EF＝30.
∴C，D兩點(diǎn)間的距離為30米．
03 綜合題
8．(廊坊安次區(qū)二模)小敏家對(duì)面新建了一幢圖書大廈，小敏在自家窗口測(cè)得大廈頂部的仰角為45°，大廈底部的俯角為30°，如圖所示，量得兩幢樓之間的距離為203米．
(1)求出大廈的高度BD；
(2)求出小敏家的高度AE.
解：(1)∵AC⊥BD，
BD⊥DE，AE⊥DE，
∴四邊形AEDC是矩形．
∴AC＝DE＝203米．
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，
∴BC＝AC＝203米．
在Rt△ACD中，tan30°＝CDAC，
∴CD＝AC•tan30°＝203×33＝20(米)．
∴BD＝BC＋CD＝(203＋20)米．
∴大廈的高度BD為(203＋20)米．
(2)∵四邊形AED C是矩形，
∴AE＝CD＝20米．
∴小敏家的高度AE為20米．
第2課時(shí) 與方向角、坡度有關(guān)的解直角三角形應(yīng)用題
01 基礎(chǔ)題
知識(shí)點(diǎn)1 利用方向角解直角三角形
1．(河北中考)如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東70°方向的M處，它以每小時(shí)40海里的速度向正北方向航行，2小時(shí)后到達(dá)位于燈塔P的北偏東40°的N處，則N處與燈塔P的距離為(D)
A．40海里 B．60海里
C．70海里 D．80海里
2．輪船從B處以每小時(shí)50海里的速度沿南偏東30°方向勻速航行，在B處觀測(cè)燈塔A位于南偏東75°方向上，輪船航行半小時(shí)到達(dá)C處，在C處觀測(cè)燈塔A位于北偏東60°方向上，則C處與燈塔A的距離是(D)
A．253海里 B．252海里
C．50海里 D．25海里
3．(南京中考)如圖，港口B位于港口A的南偏東37°方向，燈塔C恰好在AB的中點(diǎn)處，一艘海輪位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D處，它沿正北方向航行5 km，到達(dá)E處，測(cè)得燈塔C在北偏東45°方向上．這時(shí)，E處距離港口A有多遠(yuǎn)？(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
解：過點(diǎn)C作CH⊥AD，垂足為H，設(shè)CH＝x km，
在Rt△ACH中，∠A＝37°，
∵tanA＝CHAH，
∴AH＝CHtan37°＝xtan37°.
在Rt△CEH中，∠CEH＝45°，
∵tan∠CEH＝CHEH，∴EH＝CHtan45°＝x.
∵CH⊥AD，BD⊥AD，
∴∠AHC＝∠ADB＝90°.
∴HC∥DB.
∴AHHD＝ACCB.
又∵C為AB的中點(diǎn)，
∴AC＝CB.
∴AH＝HD.
∴xtan37°＝x＋5.
∴x＝5×tan37°1－tan37°≈5×0.751－0.75＝15.
∴AE＝AH＋HE＝15tan37°＋15≈35(km)．
因此，E處距離港口A大約35 km.
知識(shí)點(diǎn)2 利用坡度、坡角解直角三角形
4．如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1∶2，則斜坡AB的長(zhǎng)為(B)
A．43米
B．65米
C．125米
D．24米
5．已知四個(gè)規(guī)模不同的滑梯A，B，C，D，它們的滑板長(zhǎng)(平直的)分別為300 m，250 m，200 m，200 m；滑板與地面所成的角度分別為30°，45°，45°，60°，則關(guān)于四個(gè)滑梯的高度說法正確的是(B)
A．A的最高 B．B的最高
C．C的最高 D．D的最高
6．(巴中中考)如圖，一水庫(kù)大壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂BC寬6米，壩高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角為30°，求壩底AD的長(zhǎng)度．(精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732)
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形BCFE是矩形．
由題意，得BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，
∵斜坡AB的坡度i為1∶2.5，BE＝20米，
∴BEAE＝12.5.∴AE＝50米．
在Rt△CFD中，∠D＝30°，
∴DF＝CFtanD＝203米．
∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋203≈90.6(米)．
答：壩底AD的長(zhǎng)度約為90.6米．
02 中檔題
7．(唐山豐南區(qū)一模)如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東55°方向，距離燈塔2海里的點(diǎn)A處，如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正東方向，海輪航行的距離AB長(zhǎng)是(C)
A．2海里
B．2sin55°海里
C．2cos55°海里
D．2tan55°海里
8．(青島中考)如圖，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要繞行B地，已知B位于A地北偏東67°方向，距離A地520 km，C地位于B地南偏東30°方向，若打通穿山隧道，建成兩地直達(dá)高鐵，求A地到C地之間高鐵線路的長(zhǎng)．(結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，3≈1.73)
解：作BD⊥AC于點(diǎn)D.
在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，
sin∠ABD＝ADAB≈1213，
∴AD≈1213AB＝480 km.
cos∠ABD＝BDAB≈513，∴BD≈513AB＝200 km.
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
tan∠CBD＝CDBD＝33.
∴CD＝33BD≈115 km.
∴AC＝CD＋DA≈595 km.
答：A地到C地之間高鐵線路的長(zhǎng)約為595 km.
9．(遵義中考)如圖，一樓房AB后有一假山，其坡度為i＝1∶3，山坡坡面上E點(diǎn)處有一休息亭，測(cè)得假山坡腳C與樓房水平距離BC＝25米，與亭子距離CE＝20米，小麗從樓房頂測(cè)得E點(diǎn)的俯角為45°，求樓房AB的高．(注：坡度i是指坡 面的鉛直高度與水平寬度的比)
解：過點(diǎn)E作EF⊥BC的延長(zhǎng)線于F，EH⊥AB于點(diǎn)H，
在Rt△CEF中，
∵i＝EFCF＝13＝tan∠ECF，
∴∠ECF＝30°.
∴EF＝12CE＝10米，CF＝103米．
∴BH＝EF＝10米，
HE＝BF＝BC＋CF＝(25＋103)米．
在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，
∴AH＝HE＝(25＋103)米．
∴AB＝AH＋HB＝(35＋103)米．
答：樓房AB的高為(35＋103)米．
03 綜合題
10．(連云港中考)如圖，濕地景區(qū)岸邊有三個(gè)觀景臺(tái)A，B，C.已知AB＝1 400米，AC＝1 000米，B點(diǎn)位于A點(diǎn)的南偏西60.7°方向，C點(diǎn)位于A點(diǎn)的南偏東66.1°方向．
(1)求△ABC的面積；
(2)景區(qū)規(guī)劃在線段BC的中點(diǎn)D處修建一個(gè)湖心亭，并修建觀景棧道AD.試求A，D間的距離．(結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49，sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，2≈1.414)
解：(1)過點(diǎn)C作CE⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
在Rt△AEC中，
∠CAE＝180°－60.7°－66.1°＝53.2°，
∴CE＝AC•sin53.2°≈1 000×0.8＝800(米)．
∴S△ABC＝12AB•CE＝12×1 400×800＝560 000(平方米)．
(2)連接AD，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，則DF∥CE.
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴DF＝12CE＝400米，BF＝EF＝12BE，
AE＝AC•cos53.2°≈600米．
∴BE＝BA＋AE＝1 400＋600＝2 000(米)．
∴AF＝12BE－AE＝400米．
由勾股定理，得AD＝AF2＋DF2＝4002＋4002＝4002≈565.6(米)．
答：A，D間的距離約為565.6米．
小專題(七) 構(gòu)造基本圖形解直角三角形的應(yīng)用題
類型1 構(gòu)造單一直角三角形
1．平放在地面上的直角三角形鐵板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意圖如圖所示．量得∠A為54°，∠B為36°，斜邊AB的長(zhǎng)為2.1 m，BC邊上露出部分BD的長(zhǎng)為0.9 m．求鐵板BC邊被掩埋部分CD的長(zhǎng)．(結(jié)果精確到0.1 m．參考數(shù)據(jù)：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)
解：由題意，得∠C＝180°－∠B－∠A＝180°－36°－54°＝90°.
在Rt△ABC中，sin A＝BCAB，
∴BC＝AB•sinA＝2.1×sin54°≈1.701(m)，
∴CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．
類型2 母子三角形
2．(重慶中考)如圖，小王在長(zhǎng)江邊某?望臺(tái)D處，測(cè)得江面上的漁船A的俯角為40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡長(zhǎng)BC＝10米，則此時(shí)AB的長(zhǎng)約為(參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)(A)
A．5.1米
B．6.3米
C．7.1米
D．9.2米
3．(長(zhǎng)沙中考)為了維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對(duì)我國(guó)領(lǐng)海實(shí)現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時(shí)50海里的速度向正東方航行，在A處測(cè)得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1小時(shí)到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30°方向上．
(1)求∠APB的度數(shù)；
(2)已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？
解：(1)在△APB中，∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，
∴∠APB＝180°－30°－120°＝30°.
(2)過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H.
在Rt△APH中，∠PAH＝30°，AH＝3PH.
在Rt△BPH中，∠PBH＝60°，BH＝33PH.
∴AB＝AH－BH＝233PH＝50.
∴PH＝253＞25.
∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行仍然安全．
類型3 背靠背三角形
4．(天津中考)如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東64°方向，距離燈塔120海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，求BP和BA的長(zhǎng)．(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，2取1.414)
解：過點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C.
由題意可知，∠A＝64°，∠B＝45°，PA＝120.
在Rt△APC中，sinA＝PCPA，cosA＝ACPA，
∴PC＝PA•sinA＝120×sin64°.
AC＝PA•cosA＝120×cos64°.
在Rt△BPC中，sinB＝PCBP，tanB＝PCBC，
∴BP＝PCsinB＝120×sin64°sin45°≈120×0.9022≈153.
BC＝PCtanB＝PCtan45°＝PC＝120×sin64°.
∴BA＝BC＋AC＝120×sin64°＋120×cos64°
≈120×0.90＋120×0.44≈161.
答：BP的長(zhǎng)約為153海里，BA的長(zhǎng)約為161海里．
5．(宜賓中考)如圖，某市對(duì)位于筆直公路AC上兩個(gè)小區(qū)A，B的供水路線進(jìn)行優(yōu)化改造．供水站M在筆直公路AD上，測(cè)得供水站M在小區(qū)A的南偏東60°方向，在小區(qū)B的西南方向，小區(qū)A，B之間距離為300(3＋1)米．求供水站M分別到小區(qū)A，B的距離．(結(jié)果可保留根號(hào))
解：作ME⊥AB，垂足為E.設(shè)ME＝x米．
在Rt△AME中，∠MAE＝90°－60°＝30°，
∴AM＝2ME＝2x, AE＝MEtan30°＝3x.
在Rt△BME中，∠MBE＝90°－45°＝45°，
∴ME＝EB＝x，MB＝2x.
∵AE＋BE＝AB＝300(3＋1)，
即3x＋ x＝300(3＋1)，解得x＝300.
∴AM＝2ME＝2x＝600，
MB＝2x＝3002.
答：供水站M到小區(qū)A，B的距離分別是600米、3002米．
6．(德州中考)如圖所示，某公路檢測(cè)中心在一事故多發(fā)地帶安裝了一個(gè)測(cè)速儀，檢測(cè)點(diǎn)設(shè)在距離公路10 m的A處，測(cè)得一輛汽車從B處行駛到C處所用的時(shí)間為0.9秒．已知∠B＝30°，∠C＝45°.
(1)求B，C之間的距離；(保留根號(hào))
(2)如果此地限速為80 km/h，那么這輛汽車是否超速？請(qǐng)說明理由．(參考數(shù)據(jù)：3≈1.7，2≈1，4)
解：(1)過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD＝10 m.
∵在Rt△ACD中，∠C＝45°，
∴CD＝AD＝10 m.
在Rt△ABD中，tanB＝ADBD，
∵∠B＝30°，
∴33＝10BD.
∴BD＝103 m.
∴BC＝BD＋DC＝(103＋10)m.
答：B，C之間的距離是(103＋10)m.
(2)這輛汽車超速，理由如下：
由(1)知BC＝(103＋10)m≈27 m.
∴汽車速度為270.9＝30(m/s)＝108 km/h.
∵108＞80，
∴這輛汽車超速．
類型4 與梯形有關(guān)的解直角三角形
7．如圖，梯形ABCD是攔水壩的橫斷面圖，斜面坡度i＝1∶3是指坡面的鉛直高度DE與水平寬度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求攔水壩的橫斷面ABCD的面積．(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，2≈1.414)
解：過點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F.
在Rt△ABF中，∠B＝60°，AB＝6，
∴AF＝AB•sinB＝6×sin60°＝33，
BF＝AB•cosB＝6×cos60°＝3.
∵AD∥BC，AF⊥BC，DE⊥BC，
∴四邊形AFED是矩形．
∴DE＝AF＝33，F(xiàn)E＝AD＝4.
在Rt△CDE中，i＝EDEC＝13，
∴EC＝3ED＝3×33＝9.
∴BC＝BF＋FE＋EC＝3＋4＋9＝16.
∴S梯形ABCD＝12(AD＋BC)•DE
＝12×(4＋16)×33
≈52.0.
答：攔水壩的橫斷面ABCD的面積約為52.0.
章末復(fù)習(xí)(三) 銳角三角函數(shù)
01 基礎(chǔ)題
知識(shí)點(diǎn)1 利用定義求銳角三角函數(shù)值
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則∠A的余弦值是(C)
A.35 B.34 C.45 D.43
2．(廣州中考)如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝158，則AB＝17．
3．(龍巖中考)如圖，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，3)，則sin∠1＝32．
知識(shí)點(diǎn)2 特殊角的三角函數(shù)值
4．(貴港一模)若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為1∶2∶3，那么這個(gè)三角形最小角的正切值為(C)
A.13 B.12 C.33 D.32
5．在△ABC中，若cosA＝22，tanB＝3，則這個(gè)三角形一定是(D)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．鈍角三角形 D．銳角三角形
6．(武威中考)已知α，β均為銳角，且滿足|sinα－12|＋（tanβ－1）2＝0，則α＋β＝75°．
知識(shí)點(diǎn)3 解直角三角形
7．如圖是教學(xué)用直角三角板，邊AC＝30 cm，∠C＝90°，tanA＝33，則邊BC的長(zhǎng)為(C)
A．303 cm B．203 cm
C．103 cm D．53 cm
8．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分線，與BC相交于點(diǎn)D，且AB＝43，則AD的長(zhǎng)為4．
知識(shí)點(diǎn)4 解直角三角形的應(yīng)用
9．(寧波中考)如圖，一名滑雪運(yùn)動(dòng)員沿著傾斜角為34°的斜坡，從A滑行至B，已知AB＝500米，則這名滑雪運(yùn)動(dòng)員的高度下降了280米．(參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)
10．(唐山玉田縣模擬)如圖，在高度是21米的小山A處測(cè)得建筑物CD頂部C處的仰角為30°，底部D處的俯角為45°，則這個(gè)建筑物的高度CD＝(21＋73)米．(結(jié)果保留根號(hào))
11．(紹興中考)如圖，學(xué)校的實(shí)驗(yàn)樓對(duì)面是一幢教學(xué)樓，小敏在實(shí)驗(yàn)樓的窗口C測(cè)得教學(xué)樓頂點(diǎn)D的仰角為18°，教學(xué)樓底部B的俯角為20°，量得實(shí)驗(yàn)樓與教學(xué)樓之間的距離AB＝30 m．(結(jié)果精確到0.1 m．參考數(shù)據(jù)：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)
(1)求∠BCD的度數(shù)．
(2)求教學(xué)樓的高BD.
解：(1)過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，則∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°.
(2)由已知得CE＝AB＝30 m，
在Rt△CBE中，BE＝CE•tan20°≈30×0.36＝10.8(m)，
在Rt△CDE中，DE＝CE•tan18°≈30×0.32＝9.6(m)，
∴教學(xué)樓的高BD＝BE＋DE＝10.8＋9.6＝20.4(m)．
答：教學(xué)樓的高約為20.4 m.
02 中檔題
12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記作cotA＝ba.則下列關(guān)系式中不成立的是(D)
A．tanA•cotA＝1
B．sinA＝tanA•cosA
C．cosA＝cotA•sinA
D．tan2A＋cot2A＝1
13．(重慶中考B卷)如圖，已知點(diǎn)C與某建筑物底端B相距306米(點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一水平面上)，某同學(xué)從點(diǎn)C出發(fā)，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡頂D處，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D處測(cè)得該建筑物頂端A的俯視角為20°，則建筑物AB的高度約為(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)(A)
A．29.1米 B．31.9米
C．45.9米 D．95.9米
14．如圖，AD是△ABC的中線，tanB＝13，cosC＝22，AC＝2.求：
(1)BC的長(zhǎng)；
(2)sin∠ADC的值．
解：(1)過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，
∵cosC＝22，
∴∠C＝45°.
∴在Rt△ACE中，CE＝AC•cosC＝1，
AE＝AE•sinC＝1.
在Rt△ABE中，tanB＝13，即AEBE＝13，
∴BE＝3AE＝3.∴BC＝BE＋CE＝4.
(2)∵AD是△ABC的中線，
∴CD＝12BC＝2.∴DE＝CD－CE＝1.
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°.
∴sin∠ADC＝22.
15．(白銀中考)美麗的黃河宛如一條玉帶穿城而過，沿河兩岸的濱河路風(fēng)情線是蘭州最美的景觀之一．?dāng)?shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小林在南濱河路上的A，B兩點(diǎn)處，利用測(cè)角儀分別對(duì)北岸的一觀景亭D進(jìn)行了測(cè)量．如圖，測(cè)得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°.若AB＝132米，求觀景亭D到南濱河路AC的距離約為多少米？(結(jié)果精確到1米，參考 數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)
解：過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，設(shè)BE＝x，
在Rt△DEB中，tan∠DBE＝DEBE.
∵∠DBC＝65°，∴DE＝xtan65°.
又∵∠DAC＝45°，∴AE＝DE.
∴132＋x＝xtan65°，解得x≈115.8.
∴DE≈248米．
答：觀景亭D到南濱河路AC的距離約為248米．
03 綜合題
16．(唐山路南區(qū)一模)如圖1是一副創(chuàng)意卡通圓規(guī)，圖2是其平面示意圖，OA是支撐臂，OB是旋轉(zhuǎn)臂，使用時(shí)，以點(diǎn)A為支撐點(diǎn)，鉛筆芯端點(diǎn)B可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)作出圓．已知OA＝OB＝10 cm.
(1)當(dāng)∠AOB＝20°時(shí)，求所作圓的半徑；(結(jié)果精確到0.01 cm)
(2)保持∠AOB＝20°不變，在旋轉(zhuǎn)臂OB末端的鉛筆芯折斷了一截的情況下，作出的圓與(1)中所作圓的大小相等，求鉛筆芯折斷部分的長(zhǎng)度．(結(jié)果精確到0.01 cm)
(參考數(shù)據(jù)：sin10°≈0.174，cos10°≈0.985，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940)
解：(1)連接BA，作OC⊥AB于點(diǎn)C.由題意可得，OA＝OB＝10 cm，∠OCB＝90°，∠AOB＝20°，
∴∠BOC＝10°.
∴AB＝2BC＝2OB•sin10°≈2×10×0.174≈3.5(cm)，即所作圓的半徑約為3.5 cm.
(2)作AD⊥OB于點(diǎn)D，作AE＝AB.
∵保持∠AOB＝20°不變，則折斷的部分為BE.
∵∠AOB＝20°，OA＝OB，∠ODA＝90°，
∴∠OAB＝80°，∠OAD＝70°.
∴∠BAD＝10°.
∴BE＝2BD＝2AB•sin10°≈2×3.5×0.174≈1.2(cm)，即鉛筆芯折斷部分的長(zhǎng)度是1.2 cm.
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