2018-2019學年河南省洛陽市洛龍區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷
　
一、選擇題（本題共10個小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　�。�
A．2x+1=0 B．y2+x=0 C．x2?x=0 D．  +x2=0
2．（3分）下面四個手機應用圖標中，屬于中心對稱圖形的是（　　）
A．  B．  C．  D．
3． （3分）關于x的一元二次方程x2+ax?1=0的根的情況是（　�。�
A．沒有實數(shù)根 B．只有一個實數(shù)根
C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2?6x?10=0時，下列變形正確的為（　�。�
A．（x+3）2=1 B．（x?3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x?3）2=19
5．（3分）S型電視機經過連續(xù)兩次降價，每臺售價由原來的1500元降到了980元．設平均每次降價的百分率為x，則下列方程中正確的是（　�。�
A．1500（1+x）2=980 B．980（1+x）2=1500 C．1500（1?x）2=980 D．980（1?x）2=1500
6．（3分）拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得的拋物線為（　�。�
A．y=3（x+3）2?2 B．y=3（x+3）2+2 C．y=3（x?3）2?2 D．y=3（x?3）2+2
7．（3分）如圖，將△ABC繞點B順時針旋轉60°得△DBE，點C的對應點E恰好落在AB延長線上，連接AD．下列結論錯誤的是（　�。�
 
A．BD平分∠ABC B．AD∥BC
C．S△ABD=2S△BED D．△ABD是等邊三角形
8．（3分）若函數(shù)y=（m?1）x2?6x+ m的圖象與x軸有且只有一個交點，則m的值為（　　）
A．?2或3 B．?2或?3 C．1或?2或3 D．1或?2或?3
9．（3分）如圖，已知鈍角三角形ABC，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉110°得到△AB′C′，連接BB′，若AC′∥BB′，則∠CAB′的度數(shù)為（　�。�
 
A．55° B．65° C．75° D．85°
10．（3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=1，下列結論：
①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．
其中正確的是（　�。�
 
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
　
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）方程3x（x?1）=2（x?1）的根為　   �。�
12．（3分）已知點（a，?1）與點（2，b）關于原點對稱，則a+b=　   �。�
13．（3分）關于x的一元二次方程（k?1）x2+6x+k2?k=0的一個根是0，則k的值是　   �。�
14．（3分）已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=1，且經過點P（3，0），則拋物線與x軸的另一個交點坐標為　   �。�
15．（3分）把一副三角板如圖（1）放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=6厘米，DC=7厘米．把三角板DCE繞點C順時針旋轉15°得到△D1CE1，如圖（2），這時AB與CD1相交于點O，與D1E1相交于點F．則AD1=　   　cm．
 
　
三、解答題（本大題共8小題，共75分）
16．（8分）解方程：
（1）4（x?5）2=36
（2）x2? x+1=0．
17．（9分）已知關于x的一元二次方程：x2?（t?1）x+t?2=0．
（1）求證：對于任意實數(shù)t，方程都有實數(shù)根；
（2）當t為何值時，二次函數(shù)y=x2?（t?1）x+t?2的圖象與x軸的兩個交點橫坐標互為相反數(shù)？請說明理由．
18．（9分）如圖，下列4×4網格圖都是由16個相同小正方形組成，每個網格圖中有4個小正方形已涂上陰影，請在下面每個圖形中，選取2個空白小正方形涂上陰影，使6個陰影小正方形組成一個中心對稱圖形．
19．（9分）已知拋物線y=a（x?3）2+2經過點（1，?2）
（1）該拋物線的頂點坐標是　   　
（2）求a的值；
（3）若點A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在該拋物線上，試比較y1與y2的大�。�
20．（9分）如圖，四邊形ABCD，AB=3，AC=2，把△ABD繞點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，此時發(fā)現(xiàn)點A、C、E恰好在一條直線上，求∠BAD的度數(shù)與AD的長．
 
21．（10分）某企業(yè)設計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價，投放市場進行試銷．據市場調查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本．
（1）當銷售單價為70元時，每天的銷售利潤是多少？
（2）求出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式，并求出自變量x的取值范圍；
（3）如果該企業(yè)每天的總成本不超過7000元，那么銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？（每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量）
22．（10分）（1）問題發(fā)現(xiàn)：
如圖①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，點B在線段AE上，點C在線段AD上，請直接寫出線段BE與線段CD的數(shù)量與位置關系是關系：　   ��；
（2）操作探究：
如圖②，將圖①中的△ABC繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜360°），（1）小題中線段BE與線段CD的關系是否成立？如果不成立，說明理由，如果成立，請你結合圖②給出的情形進行證明；
（3）解決問題：
將圖①中的△ABC繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜360°），若DE=2AC，在旋轉的過程中，當以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，在備用圖中畫出其中的一個情形，并寫出此時旋轉角α的度數(shù)是　   　度．
 
23．（11分）如圖，拋物線y=? x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（?1，0），C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，△CBF的面積最大？求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標．
 
　
 

2018-2019學年河南省洛陽市洛龍區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（本題共10個小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　�。�
A．2x+1=0 B．y2+x=0 C．x2?x=0 D．  +x2=0
【解答】解：A、方程2x+1=0未知數(shù)的最高次數(shù)是1，屬于一元一次方程；故本選項錯誤；
B、y2+x=0中含有2個未知數(shù)，屬于二元二次方程，故本選項錯誤；
C、x2?x=0符合一元二次方程的定義；故本選項正確；
D、該方程是分式方程；故本選項錯誤；
故選：C．
　
2．（3分）下面四個手機應用圖標中，屬于中心對稱圖形的是（　�。�
A．  B．  C．  D．
【解答】解：A圖形不是中心對稱圖形；
B圖形是中心對稱圖形；
C圖形不是中心對稱圖形；
D圖形不是中心對稱圖形，
故選：B．
　
3．（3分）關于x的一元二次方程x2+ax?1=0的根的情況是（　�。�
A．沒有實數(shù)根 B．只有一個實數(shù)根
C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根
【解答】解：∵△=a2+4＞0，
∴，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根．
故選：D．
　
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2?6x?10=0時，下列變形正確的為（　�。�
A．（x+3）2=1 B．（x?3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x?3）2=19
【解答】解：方程移項得：x2?6x=10，
配方得：x2?6x+9=19，即（x?3）2=19，
故選：D．
　
5．（3分）S型電視機經過連續(xù)兩次降價，每臺售價由原來的1500元降到了980元．設平均每次降價的百分率為x，則下列方程中正確的是（　�。�
A．1500（1 +x）2=980 B．980（1+x）2=1500 C．1500（1?x）2=980 D．980（1?x）2=1500
【解答】解：依題意得：第一次降價的售價為：1500（1?x），
則第二次降價后的售價為：1500（1?x）（1?x）=1500（1?x）2，
∴1500（1?x）2=980．
故選：C．
　
6．（3分）拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得的拋物線為（　�。�
A．y=3（x+3）2?2 B．y=3（x+3）2+2 C．y=3（x?3）2?2 D．y=3（x?3）2+2
【解答】解：拋物線y=3x2的頂點坐標為（0，0），拋物線y=3x2向上平移2個單位，再向右平移3個單位后頂點坐標為（3，2），此時解析式為y=3（x?3）2+2．
故選：D．
　
7．（3分）如圖，將△ABC繞點B順時針旋轉60°得△DBE，點C的對應點E恰好落在AB延長線上，連接AD．下列結論錯誤的是（　　）
 
A．BD平分∠ABC B．AD∥BC
C．S△ABD=2S△BED D．△ABD是等邊三角形
【解答】解：∵△ABC繞點B順時針旋轉60°得△DBE，
∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，
∴△ABD是等邊三角形，故D正確，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAB=∠CBE，
∴AD∥BC，故B正確；
∵將△ABC繞點B順時針旋轉60°得△DBE，
∴∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠DBC=180°?60°?60°=60°，
∴∠ABD=∠DBC，
即BD平分∠ABC，故A正確；
故選：C．
　
8．（3分）若函數(shù)y=（m?1）x2?6x+ m的圖象與x軸有且只有一個交點，則m的值為（　　）
A．?2或3 B．?2或?3 C．1或?2或3 D．1或?2或?3
【解答】解：當m=1時，函數(shù)解析式為：y=?6x+ 是一次函數(shù)，圖象與x軸有且只有一個交點 ，
當m≠1時，函數(shù)為二次函數(shù)，
∵函數(shù)y=（m?1）x2?6x+ m的圖象與x軸有且只有一個交點，
∴62?4×（m?1）× m=0，
解得，m=?2或3，
故選：C．
　
9．（3分）如圖，已知鈍角三角形ABC，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉110°得到△AB′C′，連接BB′，若AC′∥BB′，則∠CAB′的度數(shù)為（　　）
 
A．55° B．65° C．75° D．85°
【解答】解：∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉l10°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=110°，AB=AB′，
∴∠AB′B= （180°?110°）=35°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=35°，
∴∠CAB′=∠CAC′?∠ C′AB′=110°?35°=75°．
故選：C．
　
10．（3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=1，下列結論：
①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．
其中正確的是（　�。�
 
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【解答】解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線的對稱軸為直線x=? =1，
∴b=?2a＜0，
∴ab＜0，所以①正確；
∵拋物線與x軸有2個交點，
∴△=b2?4ac＞0，所以②正確；
∵x=1時，y＜0，
∴a+b+c＜0，
而c＜0，
∴a+b+2c＜0，所以③正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x=? =1，
∴b=?2a，
而x=?1時，y＞0，即a?b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，所以④錯誤．
故選：C．
　
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）方程3x（x?1）=2（x?1）的根為　x=1或x= 　．
【解答】解：3x（x?1）=2（x?1），
移項得：3x（x?1 ）?2（x?1）=0，
即（x?1）（3x?2）=0，
∴x?1=0，3x?2=0，
解方程得：x1=1，x2= ．
故答案為：x=1或x= ．
　
12．（3分）已知點（a，?1）與點（2，b）關于原點對稱，則a+b=　?1�。�
【解答】解：∵點（a，?1）與點（2，b）關于原點對稱，
∴a=?2，b=1，
∴a+b=?1，
故答案為：?1．
　
13．（3分）關于x的一元二次方程（k?1）x2+6x+k2?k=0的一個根是0，則k的值是　0�。�
【解答】解：由于關于x的一元二次方程（k?1）x2+6x+k2?k=0的一個根是0，
把x=0代入方程，得k2?k=0，
解得，k1=1，k2=0
當k=1時，由于二次項系數(shù)k?1=0，
方程（k?1）x2+6x+k2?k=0不是關于 x的二次方程，故k≠1．
所以k的值是0．
故答案為：0
　
14．（3分）已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=1，且經過點P（3，0），則拋物線與x軸的另一個交點坐標為　（?1，0）�。�
【解答】解：由于函數(shù)對稱軸為x=1，而P（3，0）位于x軸上，
則設與x軸另一交點坐標為（m，0），
根據題意得：  =1，
解得m=?1，
則拋物線與x軸的另一個交點坐標為（?1，0），
故答案是：（?1，0）．
　
15．（3分）把一副三角板如圖（1）放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=6厘米，DC=7厘米．把三角板DCE 繞點C順時針旋轉15°得到△D1CE1，如圖（2），這時AB與CD1相交于點O，與D1E1相交于點F．則AD1=　5　cm．
 
【解答】解：由題意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．
若旋轉角度為15°，則∠ACO=30°+15°=45°．
∴∠AOC=180°?∠ACO?∠CAO=90°．
在等腰Rt△ABC中，AB=6，則AC=BC=3 ．
同理可求得：AO=OC=3．
在Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1?OC=4，
由勾股定理得：AD1=5．
　
三、解答題（本大題共8小題，共75分）
16．（8分）解方程：
（1）4（x?5）2=36
（2）x2? x+1=0．
【解答】解：（1）開方得：2（x?5）=6或2（x?5）=?6，
解得：x1=8，x2=2；
（2）這里a=1，b=? ，c=1，
∵△=10?4=6，
∴x= ．
　
17．（9分）已知關于x的一元二次方程：x2?（t?1）x+t?2=0．
（1）求證：對于任意實數(shù)t，方程都有實數(shù)根；
（2）當t為何值時，二次函數(shù)y=x2?（t?1）x+t?2的圖象與x軸的兩個交點橫坐標互為相反數(shù)？請說明理由．
【解答】解：（1）證明：在方程x2?（t?1）x+t?2=0中，△=[?（t?1）]2?4×1×（t?2）=t2?6t+9=（t?3）2≥0，
∴對于任意實數(shù)t，方程都有實數(shù)根；
（2）解：令y=0，得到x2?（t?1）x+t?2=0
設方程的兩根分別為m、n，
由題意可知，方程的兩個根互為相反數(shù)，
∴m+n=t?1=0，
解得：t=1．
∴當t=1時，方程的兩個根互為相反數(shù)．
　
18．（9分）如圖，下列4×4網格圖都是由16個相同小正方形組成，每個網格圖中有4個小正方形已涂上陰影，請在下面每個圖形中，選取2個空白小正方形涂上陰影，使6個陰影小正方形組成一個中心對稱圖形．
【解答】解：（1）在圖1中選取2個空白小正方形涂上陰影，使6個陰影小正方形組成一個中心對稱圖形，答案如圖所示；
 
　
19．（9分）已知拋物線y=a（x?3）2+2經過點（1，?2）
（1）該拋物線的頂點坐標是　（3，2）　
（2）求a的值；
（3）若點A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在該拋物線上，試比較y1與y2的大小．
【解答】解：（1）∵y=a（x?3）2+2，
∴ 該拋物線的頂點坐標是（3，2），
故答案為：（3，2）；
（2）∵y=a（x?3）2+2經過點（1，?2），
∴?2=a（1?3）2+2，
解得，a=?1，
即a的值是?1；
（3））∵y=a（x?3）2+2，a=?1，
∴該拋物線的圖象在x＜3時，y隨x的增大而增大，在x＞3時，y隨x的增大而減小，
∵點A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在該拋物線上，
∴y1＜y2．
　
20．（9分）如圖，四邊形ABCD，AB=3，AC=2，把△ABD繞點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，此時發(fā)現(xiàn)點A、C、E恰好在一條直線上，求∠BAD的度數(shù)與AD的長．
 
【解答】解：∵點A、C、E在一 條直線上，
而△ABD繞著點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，
∴∠ADE=60°，DA=DE，∠BAD=∠E=60°
∴△ADE為等邊三角形，
∴∠E=60°，AD=AE，
∴∠BAD=60°，
∵點A、C、E在一條直線上，
∴AE=AC+CE，
∵△ABD繞著點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，
∴CE=AB，
∴AE=AC+AB=2+3=5，
∴AD=AE=5．
　
21．（10分）某企業(yè)設計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價，投放市場進行試銷．據市場調查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本．
（1）當銷售單價為70元時，每天的銷售利潤是多少？
（2）求出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式，并求出自變量x的取值范圍；
（3）如果該企業(yè)每天的總成本不超過7000元，那么銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？（每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量）
【解答】解：（1）當銷售單價為70元時，每天的銷售利潤=（70?50）×[50+5×（100?70）]=4000元；
（2）由題得 y=（x?50）[50+5（100?x）]=?5x2+800x?27500（x≥50）．
∵銷售單價不得低于成本，
∴50≤x≤100．
（3）∵該企業(yè)每天的總成本不超過7000元
∴50×[50 +5（100?x）]≤7000（8分）
解得x≥82．
由（2）可知 y=（x?50）[50+5（100?x）]=?5x2+800x?27500
∵拋物線的對稱軸為x=80且a=?5＜0
∴拋物線開口向下，在對稱軸右側，y隨x增大而減�。�
∴當x=82時，y有最大，最大值=4480，
即 銷售單價為82元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤為4480元．
　
22．（10分）（1）問題發(fā)現(xiàn)：
如圖①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，點B在線段AE上，點C在線段AD上，請直接寫出線段BE與線段CD的數(shù)量與位置關系是關系：　BE=CD，BE⊥CD��；
（2）操作探究：
如圖②，將圖①中的△ABC繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜360°），（1）小題中線段BE與線段CD的關系是否成立？如果不成立，說明理由，如果成立，請你結合圖②給出的情形進行證明；
（3）解決問題：
將圖①中的△ABC繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜360°），若DE=2AC，在旋轉的過程中，當以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形時， 在備用圖中畫出其中的一個情形，并寫出此時旋轉角α的度數(shù)是　45°或225°或315　度．
 
【解答】解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，BE⊥CD，
∴AE?AB=AD?AC，
∴BE=CD；
故答案為：BE=CD，BE⊥CD；

（2）（1）結論成立，
理由：如圖，
∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，
由旋轉的性質得，∠BAE=∠CAD，
在△BAE與△CAD中， ，
∴△BAE≌△CAD（SAS）
∴BE=CD；∠AEB=∠ADC，
∴∠BED+∠EDF= ∠AED+∠AEB+∠EDF=∠AED+∠ADC+∠EDF=∠AED+∠ADE=90°，
∴∠EFD=90°，
即：BE⊥CD
 
（3）如圖，
 
∵以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ADC=45°，
∵ED=2AC，
∴AC=CD，
∴∠CAD=45°
或360°?90°?45°=225°，或360°?45°=315°
∴角α的度數(shù)是45°或225°或315°．
故答案為：45°或225°或315．
　
23．（11分）如圖，拋物線y=? x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（?1，0），C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，△CBF的面積最大？求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標．
 
【解答】解：（1）把A（?1，0），C（0，2）代入y=? x2+bx+c得 ，
解得 ，c=2，
∴拋物線的解析式為y=? x2+ x+2．

（2）存在．如圖1中， ∵C（0，2），D（ ，0），
∴OC=2，OD= ，CD= =
 
①當CP=CD時，可得P1（ ，4）．
②當DC=DP時，可得P2（ ， ），P3（ ，? ）
綜上所述，滿足條件的P點的坐標為 或 或 ．

（3）如圖2中，
 
對于拋物線y=? x2+ x+2，當y=0時，? x2+ x+2=0，解得x1=4，x2=?1
∴B（4，0），A（?1，0），
由B（4，0），C（0，2）得直線BC的解析式為y=? x+2，
設E 則F ，
EF=  ? =
∴ ＜0，∴當m=2時，EF有最大值2，
此時E是BC中點，
∴當E運動到BC的中點時，△FBC面積最大，
∴△FBC最大面積= ×4×EF= ×4×2=4，此時E（2，1）．

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