作輔助線(xiàn)的方法
一:中點(diǎn)、中位線(xiàn),延線(xiàn),平行線(xiàn)。
如遇條件中有中點(diǎn),中線(xiàn)、中位線(xiàn)等,那么過(guò)中點(diǎn),延長(zhǎng)中線(xiàn)或中位線(xiàn)作輔助線(xiàn),使延長(zhǎng)的某一段等于中線(xiàn)或中位線(xiàn);另一種輔助線(xiàn)是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線(xiàn)段的平行線(xiàn),以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目的。
二:垂線(xiàn)、分角線(xiàn),翻轉(zhuǎn)全等連。
如遇條件中,有垂線(xiàn)或角的平分線(xiàn),可以把圖形按軸對(duì)稱(chēng)的方法,并借助其他條件,而旋轉(zhuǎn)180度,得到全等形,,這時(shí)輔助線(xiàn)的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱(chēng)軸往往是垂線(xiàn)或角的平分線(xiàn)。
三:邊邊若相等,旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。
如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等,有時(shí)邊角互相配合,然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度,就可以得到全等形,這時(shí)輔助線(xiàn)的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱(chēng)中心,因題而異,有時(shí)沒(méi)有中心。故可分“有心”和“無(wú)心”旋轉(zhuǎn)兩種。
四:造角、平、相似,和、差、積、商見(jiàn)。
如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等,欲證線(xiàn)段或角的和差積商,往往與相似形有關(guān)。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí),一般地,有兩種方法:第一,造一個(gè)輔助角等于已知角;第二,是把三角形中的某一線(xiàn)段進(jìn)行平移。故作歌訣:“造角、平、相似,和差積商見(jiàn)!
托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線(xiàn)分別是造角和平移的代表)
九:面積找底高,多邊變?nèi)叀?/p>
如遇求面積,(在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線(xiàn)段的平方、乘積,仍可視為求面積),往往作底或高為輔助線(xiàn),而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。
如遇多邊形,想法割補(bǔ)成三角形;反之,亦成立。
另外,我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理,其輔助線(xiàn)的做法,即“割補(bǔ)”有二百多種,大多數(shù)為“面積找底高,多邊變?nèi)叀薄?/p>
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