向量進入高中教材以后,為用代數方法研究幾何問題提供了強有力的工具,它具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”,融數形于一體.但是它和以往學習的數學運算有很大的不同,致使很多學生感到困難,老師一直強調向量和數量的區(qū)別是既有大小又有方向,可是很多學生產生了這樣的疑問:這個既有大小又有方向的向量不能存在除法嗎?為什么課本里只出現了乘法?對于這個問題很多老師的回答是就這樣規(guī)定的或者這個問題等你們以后上了大學才會研究,現在不需要知道.這樣的回答顯然不能使學生滿意,下面就說說這個問題.
一、數學中如何理解除法
除法的定義:已知兩個因數的積與其中一個因數,求另一個因數的運算.除法是乘法的逆運算,如果存在乘法的逆運算,那么除法就存在.
逆運算的定義:運算是一種對應法則.設A是一個非空集合,對于A中的任意兩個元素a,b,根據某種法則使A中有唯一確定的元素c與它們對應,就說這個法則是A中的一種運算.這樣,給了A的任意兩個元素a和b,通過所給的運算,可以得到一個結果c.反過來,如果已知元素c,以及元素a,b中的一個,按照某種法則,可以得到另一個元素,這樣的法則也定義了一種運算,這樣的運算叫做原來運算的逆運算.逆運算的過程也就是求解逆元的過程.
設G是一數域,對于乘法運算“·”有
證:設方程的解為x=a',y=a″,即有aa'=1和a″a=1.
因為a'=1·a'=(a″a)a'=a″(aa')=a″·1=a″,所以aa'=a′a=1即a在G中的逆元是唯一確定的.
二、分析向量乘法的逆運算
這里可以采用“假設”的方法.假設的方法,就是在不知道某判斷是否正確的時候,先認為它是正確的,以此為前提(條件)進行推理,看一看推理的結果是否正確,如果正確.說明這個判斷是真的,如果推理的結論不正確,說明這個判斷是假的[2].那么現在假設向量存在除法,下面從向量數量積和向量積的逆運算分別展開證明,可以得出向量的除法是否存在
1.向量的乘法
數量積的定義:兩個非零向量的夾角記為〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π].兩個向量的數量積(內積、點積)是一個數量,記作a·b.若a,b不共線,則a·b=|a||b|cos〈a,b〉;若a,b共線,則a·b=±|a||b|.
向量積的定義:兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量,記作a×b.若a,b不共線,則a×b的模是:|a×b|=|a||b|sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按這個次序構成右手系.若a、b共線,則a×b=0[3].
2.數量積的逆運算
假設數量積存在除法,設向量a,x的乘積為m,則=x,因為除法是乘法的逆運算,所以a·x=m,由定義可得:兩個向量的數量積等于一個向量的模乘以另一個向量在此向量上的射影,那么如果把a固定不變,改變x的方向和大小,發(fā)現有無數個向量的射影等于原來x在a上的射影,即乘積不變.那么向量x的解是無窮多的,即向量的商不是唯一確定的.
這個結論可以從直觀上去觀察.如圖1:
舉例證明:
取兩個互相垂直的向量a和b,即a和b的夾角為90°,則a·b=0;再取一個向量c,根據向量與實數的乘積仍然是個向量,可以讓c=(d+λb);則a·c=a(d+λb)=a·d+a·λb,因為a·b=0,所以a·c=a(d+λb)=a·d+0=a·d,即=c,又因為λ可以取任意值,那么向量c就不能唯一確定,即向量的商為一個不確定的向量.
3.向量積的逆運算
同理,假設向量積存在除法,因為向量積的結果是一個向量,所以設a,x的乘積為m,則=x,根據逆運算可得a·x=m.由定義可知:向量積的�？梢钥醋髌叫兴倪呅蔚拿娣e,假定a是不變的,那么變化x的長度和方向,也可以得到相同面積的平行四邊形,顯然這樣的x是無窮多的,同樣可以得到向量的商不是唯一確定的結論.
這個結論也可以從直觀上去觀察,如圖2:
舉例證明:
這里我們取兩個互相平行的向量a和b,即a和b的夾角為0°,則a×b=0;同理,再取一個向量c,讓c=(d+λb);則a×c=a×(d+λb)=a×d+a×λb,因為a×b=0,所以a×c=a×(d+λb)=a×d+0=a×d,即=c,已知λ可以取任意值,那么向量c依然不是唯一確定的.
綜上所述,運用乘法的逆運算進行計算所得到的結果均是不確定的,因此向量的除法是不存在的.有人又產生了這樣的疑問,不確定的結果為什么就不能作為商呢?下面從數學推理和函數的角度來說明這個問題.
三、數學的確定性
1.數學推理的確定性
正確的推理加上正確的前提條件可以使人們做出正確的判斷,得到正確的結論.數學推理往往從一些不證自明的定理出發(fā)推出其他定理的正確性,這表明演繹推理的前提條件是確定的,那么由此推導出的結論必然具有確定性[4].
數學家S.T.Sanders的研究表明:目前普遍認可的數學特征是:推理的確定性和結論的一致性.很顯然,只有存在數學的確定性,才意味著根據此結論推導出來的其他結論也是確定的.他認為,在推理過程中只要具備以下幾個條件就可以說明推理的過程和結論具有確定性.
(1)每一個被應用的元素(數、量或者運算),有且只有一個確定的值;
(2)這些符號所代表的值是被普遍接受的;
(3)每一個運算符號都有唯一確定的意義;
(4)這些運算符號的意義也被普遍接受;
(5)模糊的或者不確定的元素不能出現在推理過程中.
如果忽視這些因素或者不承認這些因素,那么整個推理過程就不存在確定性.從古至今演繹推理(也稱三段論法)是人們進行邏輯推理的基礎,在演繹推理過程中出現絲毫的不確定,數學家們都將致力修正.現在用三段論法進行推理,檢驗向量的除法能否存在.
三段論的推理模式為:
(1)大前提
(2)小前提
(3)結論
人們都認可的一個大前提是:如果兩個除法算式的被除數和除數都相等,那么算式的商也相等.
對于向量的除法小前提可以分為兩種情況,第一種:被除數為實數,第二種:被除數為向量.
在這個推理過程中,由同一個假設得到了兩個結論,違背了運算結果的唯一性原則,導致數學推理的不確定性,因此向量除法是不能存在的.
2.函數的確定性
從函數的角度也可以說明這個問題,先看一下函數的定義:
函數的傳統(tǒng)定義:在某一個變化過程中有兩個變量x和y,如果對于在某一個范圍內的任一個x的值,都有唯一的y值與它對應,則稱y是x的函數,x叫做自變量,y叫做因變量.
近代定義:給定兩個集合A和B,若對于A中的每一個元素x,按照某一對應關系f,在B中都有唯一確定的一個元素y與之對應,則稱f為集合A上的一個函數,記作f:A→B.集合A為函數的定義域,與A中元素對應的B中元素y構成的集合成為函數的值域.
函數的兩個定義本質上是一致的,傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā),而近代定義是在從集合的觀點出發(fā),其實質都是從非空集合A到非空集合B的一個特殊的對應.對于非空集合A中每一個確定的值,非空集合B中都有唯一確定的值與之對應.自變量和因變量只能是一對一的關系或者多對一的關系,不可能是一對多的關系,這是因為函數的概念是從運動的研究中產生的,每個時刻只能對應一種運動狀態(tài),不可能對應多種狀態(tài),所以函數具有唯一確定性.
這里可把除法運算看作一個函數,若m÷a=x,把商看作函數值,那么商是由被除數和除數這兩個自變量所唯一確定的,由兩個數確定一個數,是二元函數.只要被除數和除數發(fā)生改變,那么會對應得到另一個唯一確定的商.如果把被除數和除數中的一個固定了,那么可以把除法的運算看作一元函數,商就被另一個數所確定.可是在這兩種情況下,向量的除法均得不到唯一確定的函數值,違背了函數的唯一確定性.
綜上所述,從數學推理的確定性和函數確定性兩方面考慮,向量的除法是不可能存在的.確定性在數學運算中是必不可少的,它是數學得以長足發(fā)展的動因和永恒的標志.在現實當中,對數學結果的應用就是對數學確定性的一種表示。
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