我們人類生活的世界是一個極其復雜的世界，例如，喧鬧的都市生活、變幻莫測的股市變化、復雜的生命現(xiàn)象、蜿蜒曲折的海岸線、坑坑洼洼的地面等等，都表現(xiàn)了客觀世界特別豐富的現(xiàn)象�；趥鹘y(tǒng)歐幾里得幾何學的各門自然科學總是把研究對象想象成一個個規(guī)則的形體，而我們生活的世界竟如此不規(guī)則和支離破碎，與歐幾里得幾何圖形相比，擁有完全不同層次的復雜性。分形幾何則提供了一種描述這種不規(guī)則復雜現(xiàn)象中的秩序和結構的新方法。
一、分形幾何與分形藝術
什么是分形幾何？通俗一點說就是研究無限復雜但具有一定意義下的自相似圖形和結構的幾何學。什么是自相似呢？例如一棵蒼天大樹與它自身上的樹枝及樹枝上的枝杈，在形狀上沒什么大的區(qū)別，大樹與樹枝這種關系在幾何形狀上稱之為自相似關系；我們再拿來一片樹葉，仔細觀察一下葉脈，它們也具備這種性質；動物也不例外，一頭牛身體中的一個細胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長信息；還有高山的表面，您無論怎樣放大其局部，它都如此粗糙不平等等。這些例子在我們的身邊到處可見。分形幾何揭示了世界的本質，分形幾何是真正描述大自然的幾何學。
"分形"一詞譯于英文Fractal，系分形幾何的創(chuàng)始人曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁語Frangere一詞創(chuàng)造而成，詞本身具有"破碎"、"不規(guī)則"等含義。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他發(fā)現(xiàn)的并以他的名字命名的集合，他發(fā)現(xiàn)整個宇宙以一種出人意料的方式構成自相似的結構（見圖1）。Mandelbrot 集合圖形的邊界處，具有無限復雜和精細的結構。如果計算機的精度是不受限制的話，您可以無限地放大她的邊界。圖2、圖3 就是將圖1中兩個矩形框區(qū)域放大后的圖形。當你放大某個區(qū)域，它的結構就在變化，展現(xiàn)出新的結構元素。這正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸線"，無論您怎樣放大它的局部，它總是曲折而不光滑，即連續(xù)不可微。微積分中抽象出來的光滑曲線在我們的生活中是不存在的。所以說，Mandelbrot集合是向傳統(tǒng)幾何學的挑戰(zhàn)。
圖 1 Mandelbrot集合
圖 2 Mandelbrot集合局部放大
圖 3 Mandelbrot集合局部放大
用數(shù)學方法對放大區(qū)域進行著色處理，這些區(qū)域就變成一幅幅精美的藝術圖案，這些藝術圖案人們稱之為"分形藝術"。"分形藝術"以一種全新的藝術風格展示給人們，使人們認識到該藝術和傳統(tǒng)藝術一樣具有和諧、對稱等特征的美學標準。這里值得一提的是對稱特征，分形的對稱性即表現(xiàn)了傳統(tǒng)幾何的上下、左右及中心對稱。同時她的自相似性又揭示了一種新的對稱性，即畫面的局部與更大范圍的局部的對稱，或說局部與整體的對稱。這種對稱不同于歐幾里德幾何的對稱，而是大小比例的對稱，即系統(tǒng)中的每一元素都反映和含有整個系統(tǒng)的性質和信息。這一點與上面所講的例子："一頭牛身體中的一個細胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長信息"，完全吻合。不管你是從科學的觀點看還是從美學的觀點看，她都是那么富有哲理，她是科學上的美和美學上的美的有機結合。
二、復平面中的神奇迭代
Mandelbrot集合是Mandelbrot在復平面中對簡單的式子 Z <- Z^2 + C 進行迭代產生的圖形。雖然式子和迭代運算都很簡單，但是產生的圖形出現(xiàn)那么豐富多樣的形態(tài)及精細結構簡直令人難以置信以至于不可思議。在傳統(tǒng)幾何學中難以找到如此簡單的規(guī)律隱藏著如此復雜而生動的例子。Mandelbrot集合告訴我們自然界中簡單的行為可以導致復雜的結果。例如，大型團體操中每個人穿的衣服只有幾種顏色中的一種，每個人的動作也只是導演規(guī)定的幾種之一。但是整體上可以顯示出多種多樣的復雜形態(tài)。
Julia 集合
在復平面上，水平的軸線代表實數(shù)，垂直的軸線代表虛數(shù)。每個Julia集合（有無限多個點）都決定一個常數(shù)C，它是一個復數(shù)。現(xiàn)在您在復平面上任意取一個點，其值是復數(shù)Z。將其代入下面方程中進行反復迭代運算：
就是說，用舊的Z自乘再加上C后的結果作為新的Z。再把新的Z作為舊的Z，重復運算。 當你不停地做，你將最后得到的Z值有3種可能性：
1、Z值沒有界限增加（趨向無窮）；
2、Z值衰減（趨向于零）；
3、Z值是變化的，即非1或非2；
趨向無窮和趨向于零的點叫定常吸引子，很多點在定常吸引子處結束，被定常吸引子所吸引。非趨向無窮和趨向于零的點是"Julia集合"部分，也叫混沌吸引子。
問題是我們怎樣才能讓計算機知道哪一個點是定常吸引子還是"Julia集合"。一般按下述算法近似計算：
n=0;
while ((n++ < Nmax) && (( Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) < Rmax))
{
Z=Z*Z+C;
}
其中：Nmax為最大迭代次數(shù)，Rmax為逃離界限。
退出while循環(huán)有兩種情況，第一種情況是：
(Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) >= Rmax
屬于這種情況的點相當于"1、Z值沒有界限增加（趨向無窮）"，為定常吸引子,我們把這些區(qū)域著成白色。第二種情況是：
n >= Nmax
屬于這種情況的點相當于"2、Z 值衰減（趨向于零）"或"3、Z 值是變化的"，我們把這些區(qū)域著成黑色。黑色區(qū)域圖形的邊界處即為"Julia集合"。"Julia集合"有著極其復雜的形態(tài)和精細的結構。
黑白兩色的圖形藝術感染力不強。要想得到彩色圖形，最簡單的方法是用迭代返回值n來著顏色。要想獲得較好的藝術效果，一般對n做如下處理：
Red = n*Ar+Br;
Grn = n*Ag+Bg;
Blu = n*Ab+Bb;
if ((Red & 0x1FF) > 0xFF) Red = Red ^ 0xFF;
if ((Grn & 0x1FF) > 0xFF) Grn = Grn ^ 0xFF;
if ((Blu & 0x1FF) > 0xFF) Blu = Blu ^ 0xFF;
其中：Ar、Ag、Ab及Br、Bg、Bb為修正量
獲得的Red、Grn、Blu為RGB三基色，著色效果為周期變化，具有較強的藝術感染力，而且等位線也蘊藏在周期變化的色彩之中。
你可以想象得出，在屏幕上順序的試用每個像素點來反復迭代方程要花費很長的時間。一幅 1024x768 屏幕尺寸的畫面有786432個點。其中一些點在計算機上要反復迭代方程次數(shù)達1000次（取決于Nmax的取值）或更多次才放棄運算。運算產生一幅Julia集合需要花費很長的時間，有時需要產生一幅做海報用的大圖像時，如 10240x7680，要花幾天的時間。當然，你使用高速計算機會縮短這個時間。圖 4、5、6是三幅Julia集合：
圖 4 象塵埃一樣的結構
圖 5 穩(wěn)定的固態(tài)型
圖 6 象樹枝狀
Mandelbrot 集合
將Mandelbrot集合和Julia集合聯(lián)系在一起，Julia集合有若干類型，都包含在Mandelbrot集合之中。Julia集合中的C是一個常量，而Mandelbrot集合的C是由進入迭代前的Z值而定。迭代結果，Z值同樣有3種可能性，即：
1、Z值沒有界限增加（趨向無窮）；
2、Z值衰減（趨向于零）；
3、Z值是變化的，即非1或非2 ；
Mandelbrot集合是所有的朱莉婭集合的合并，Mandelbrot集合的某個區(qū)域放大后就是這個點的Julia集合。 Mandelbrot集合有著一些很異國情調并且古怪的形狀（見圖1）。你能不停地永遠放大Mandelbrot集合，但是受到計算機精度的限制。
Newton/Nova 分形
Newton奠定了經典力學、光學和微積分學的基礎。但是除了創(chuàng)造這些自然科學的基礎學科外，他還建立了一些方法，這些方法雖然比不上整個學科那么有名，但已被證明直到今天還是非常有價值的。例如，牛頓建議用一個逼近方法求解一個方程的根。你猜測一個初始點，然后使用函數(shù)的一階導數(shù)，用切線逐漸逼近方程的根。如方程 Z^6 + 1 = 0有六個根，用牛頓的方法"猜測"復平面上各點最后趨向方程的那一個根，你就可以得到一個怪異的分形圖形。和平常的Julia分形一樣，你能永遠放大下去，并有自相似性。牛頓分形圖形中的顏色顯示每個答案的種類及性質，即迭代到目的地花費的時間，如圖7所示：
圖7 Newton分形
Paul Derbyshire研究牛頓分形圖形時，他把Julia集合的常值C加入進去改變了一下算法，并用同樣的方法去估算Z，逼近答案，產生奇特的并稱之為"Nova"的分形圖形。"Nova"類型分形圖形如圖8所示：
圖 8 Nova分形
三、關于分形藝術的爭論
把計算機產生的圖形看成是藝術，有人可能要提出一些疑問。這些圖形可以利用高品質的打印機產生任意多幅同樣質量的"原作"，從而在商業(yè)化的藝術市場上造成混亂，因此她沒有收藏價值，沒有收藏價值的作品還能算得上是藝術嗎？
這是一個十分敏感的問題。早在六十年代初有些數(shù)學家和程序設計人員就開始利用計算機及繪圖設備從事這方面的工作。但他們大部分人避免將自己的工作與"藝術"一詞掛起鉤來，以免與藝術界的人們發(fā)生沖突。但是有一些人還是挺著腰桿去面對批評，承認計算機是視覺藝術的一種新工具，稱他們自己的方法為"計算機藝術"。在批評面前，他們沒有受到影響。他們不顧理論界的反對而繼續(xù)自己的探索。他們積累了大量令人難忘的成果。正因為他們的努力才出現(xiàn)了今天的PhotoShop、Corel DRAW等等著名的軟件，以及各種計算機藝術團體組織。PhotoShop也成了某些美術專業(yè)學生的必修課。
當今時代出現(xiàn)的充滿科技含量的"分形藝術"又不同于運用PhotoShop從事的計算機藝術創(chuàng)作。 "分形藝術"是純數(shù)學產物，是否能算得上藝術必然會引起新的爭論。爭論最活躍的問題是：分形圖形是純數(shù)學產物能算得上藝術嗎？既然學習數(shù)學和程序設計就可以從事藝術創(chuàng)作了，學習美術專業(yè)還有什么用處呢？
這個問題提的好。從事分形藝術創(chuàng)作的人要研究產生這些圖形的數(shù)學算法，這些算法產生的圖形是無限的。他們沒有結束，你永遠不能看見它的全部。你不斷放大她們的局部，也許你可能正在發(fā)現(xiàn)前人沒曾見到過的圖案。這些圖案可能是非常精彩的。她們與現(xiàn)實世界相符合，從浩瀚廣闊的宇宙空間到極精致的細節(jié)，是完全可以用數(shù)學結構來描述的。另一個的問題是顏色，好的顏色選擇，就可以得到一幅奇妙的圖形。糟糕的選擇，你得到的就是垃圾。所以說，創(chuàng)造分形藝術，最好再學一點繪畫基礎、色彩學等，那將是大有益處。
分形幾何沖擊著不同的學術領域，她在藝術領域顯示出非凡的作用。創(chuàng)作精美的分形藝術是國內外分形藝術家們的人生追求，總有一天分形藝術會登上大雅藝術殿堂。
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