大廳的燈光暗下來，帳幕徐徐打開，銀幕上出現(xiàn)了根據(jù)J．R．R．Tolkien的三部曲“Lord of the Rings”所改編的電影。Frodo在一個(gè)開闊的峽谷里溜達(dá)著。遠(yuǎn)處，鋸齒狀的冰雪覆蓋著的山峰聳入云端。近處有些不知是什么種類的奇花異木在陽光下閃爍。轉(zhuǎn)眼，屏幕上的奇景變成了一個(gè)男巫凝視著一只水晶球，在這球體的中央出現(xiàn)了一個(gè)堡壘，火焰正從它的城垛里竄出來。
雖然現(xiàn)在還很難說Frodo是否會在這樣的電影里出現(xiàn)，但我肯定那些山峰、樹木、水晶球以及火焰都會奇妙地出現(xiàn)在銀幕上。這個(gè)成就主要將歸功于Pixar公司(即從前的Lucasfilm計(jì)算機(jī)繪圖實(shí)驗(yàn)室)所開發(fā)的軟件和硬件。有家用計(jì)算機(jī)的讀者都能夠在計(jì)算機(jī)上作出基本類似于這些東西的圖形來。由于本文篇幅所限，不能在此對水晶球和火焰作一個(gè)廣泛深入的論述，但還是能夠揭示產(chǎn)生它們的基本原理。
在上面描述的假想的電影中，我們可以把攝像機(jī)移向Frodo身后的那些山峰上。人們可能從來沒有見過比這些山峰更令人生畏的大片陸地了。每一個(gè)大的山峰都由一些較小的山峰構(gòu)成，而這些較小的山峰又由比它們更小的山峰組成，如此下去就形成了一種小山峰的無窮回歸。即使一個(gè)有皮質(zhì)腳的滴水嘴一樣的海怪站在這樣一個(gè)犬牙般的地方也會感到難受(見彩圖11)。
原則上，這樣的一種山的圖形是容易作出來的。為簡便起見，我假定這山覆蓋了一個(gè)三角形的地面。找出每條邊的中點(diǎn)，用三條線段把這三個(gè)中點(diǎn)連起來。就把這三角形分成了四個(gè)較小三角形。用同樣的辦法再分這四個(gè)小三角形。這一過程不斷進(jìn)行，直到達(dá)到分辨率極限或計(jì)算時(shí)間極限為止。結(jié)果是得到一大堆令人感到枯燥無味的三角形。如果要使這圖形變得生動(dòng)一些，可以在作圖過程中加進(jìn)一條有關(guān)垂直方向上的規(guī)則：每當(dāng)新的中點(diǎn)畫在圖上時(shí)，就使其向上或向下移動(dòng)某一隨機(jī)量。通常這個(gè)隨機(jī)數(shù)必須隨三角形的逐漸變小而減少。這一規(guī)則把那些三角形變成弄皺了的山峰和褶皺(見圖)。
為什么這一種方法會作出那樣逼真的山峰圖案呢?答案在于這個(gè)過程中產(chǎn)生了一個(gè)分?jǐn)?shù)維圖形，即當(dāng)圖案不斷放大時(shí)會顯露出更多的細(xì)節(jié)的圖形。分?jǐn)?shù)維形態(tài)在自然界似乎是隨處可見。我們可以用一個(gè)關(guān)于海岸線的例子解釋分?jǐn)?shù)維圖形的基本概念。假設(shè)我們要用一根l000米長的測量桿測量出法國海岸線的長度，那么就得沿著海灘向前一桿一桿地進(jìn)行艱難的測量，同時(shí)數(shù)出有多少個(gè)l000米。然而這樣會把許多小的海灣和海岬遺漏掉，所以用這種辦法測出的最后得數(shù)是不那么準(zhǔn)確的。用一根l米長的測量桿重復(fù)這一過程，會得出一個(gè)更精確、數(shù)字更大的結(jié)果。但即使如此，也有大量的小海灣和岬地被遺漏掉了。無疑，用一根l厘米長的測量桿結(jié)果就會更為精確。
一般規(guī)律是，當(dāng)測量桿變小時(shí)，測出的海岸線長度會增大。測出的長度與測量桿桿長之比率為一個(gè)專門值，這個(gè)值稱為分?jǐn)?shù)維。分?jǐn)?shù)維與通常說的維不同，它往往被表達(dá)成一個(gè)分?jǐn)?shù)，而不是一個(gè)整數(shù)。例如我們討論的海岸線的維數(shù)可能就是一個(gè)3/2的分?jǐn)?shù)維。可以把這樣的一種形狀想象成一個(gè)介于一維形狀(直線)和二維形狀(平面)之間的中間形狀。如果海岸線比較直，其分?jǐn)?shù)維就接近于1。如果海岸線很曲折，其分?jǐn)?shù)維就接近于2，此時(shí)它幾乎填滿一個(gè)二維平面。
自然界的分?jǐn)?shù)維模型實(shí)際上隱含了細(xì)節(jié)的無窮回歸。從計(jì)算機(jī)繪圖的角度來看，無窮回歸是無關(guān)緊要的問題；只要景物看來是具有各級放大水平上的細(xì)節(jié)就行了。在達(dá)到屏幕分辨率的極限之前，計(jì)算機(jī)上生成的山的特征就與上述分割過程中最終所得的三角形的特征一樣精細(xì)。完整的山峰繪制算法太長太復(fù)雜，無法在此作足夠詳細(xì)的介紹。但有一個(gè)簡單的程度可以繪出Mandelbrot峰的斷面，它稱為MOUNTAIN。該程序體現(xiàn)了沿垂直軸隨機(jī)移動(dòng)中點(diǎn)這一基本早想。開始時(shí)是一條水平線段。確定其中點(diǎn)，使其向上或向下移動(dòng)一段隨機(jī)地確定的距離，然后把由此產(chǎn)生的兩個(gè)線段再分，并使其各自中點(diǎn)也按此規(guī)則移動(dòng)。用類似于再分三角形的方法可把這一過程不斷地進(jìn)行下去。
程序MOUNTAIN有兩個(gè)數(shù)組，叫做points和lines。其作用是保持計(jì)算機(jī)屏幕上的山的輪廓。每個(gè)數(shù)組分別有兩列和足夠多的行(比如說2048行)以方便地調(diào)整屏幕分辨率；points的兩列是坐標(biāo)值，而lines的兩列則是下標(biāo)。每條線段定義為數(shù)組points中表明該線段終點(diǎn)坐標(biāo)的一對位置。觀察一個(gè)普通的多邊形通過一連串的再分后形成山的輪廓這一過程是非常有趣的，所以程序MOUNTAIN使每一次圖案的形成都處于用戶的控制下。在—次主循環(huán)結(jié)束時(shí)，程序詢問用戶是否需要另一次迭代，如果回答是肯定的，那么執(zhí)行會再返回此程序的開頭。
主循環(huán)的作用是把當(dāng)前的點(diǎn)與線段的集合變成大1倍的新集合。為實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，它一次一行地對數(shù)組lines進(jìn)行掃描，查尋其對應(yīng)點(diǎn)的下標(biāo)并從數(shù)組poinlts中檢索出它們的坐標(biāo)。在已知某一給定線段的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)后，程序就可以計(jì)算出該線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)隨機(jī)地改變y坐標(biāo)的值。下面所列出的算法過程為程序的編制提供了充分的基礎(chǔ)，其中變量j和k是指數(shù)組points和lines中當(dāng)前正保持著再分的最新結(jié)果的那些“行”。變量pts和lns記錄在進(jìn)入主循環(huán)之前構(gòu)成山的點(diǎn)和線段的數(shù)目。開始時(shí)j等于pts，k等于lns。下標(biāo)i從1到lns。
MOUNTAIN程序的這一部分在很大程度上是不言自明的。當(dāng)?shù)趈點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算出來后，下標(biāo)j就被存貯起來作為第i條線段的第二個(gè)點(diǎn)和第k條線段的第一個(gè)點(diǎn)。第i條線段的第一個(gè)點(diǎn)與其原來的一樣，而第k條線段的第二個(gè)點(diǎn)與第i條線段原來的第二個(gè)點(diǎn)，即帶有下標(biāo)b的那個(gè)點(diǎn)相同。當(dāng)循環(huán)最終計(jì)算后，pts和lns必須分別復(fù)置為j和k的最新值。變量range是在程序的開頭由用戶確定各再分點(diǎn)在垂直方向上隨機(jī)移動(dòng)量的最大值。每次循環(huán)結(jié)束時(shí)，該變量就要除以2，使得這一隨機(jī)移動(dòng)量與線段尺寸成比例地減小。函數(shù)random(range)用于表示在0和變量range的當(dāng)前值之間所選擇一個(gè)隨機(jī)數(shù)。
如果Frodo身后的那些山峰是令人難忘的，那么，他周圍的村木和植物就更是令人難忘。它們既逼真又奇特。之所以逼真，是因?yàn)樗鼈冇信c真實(shí)植物一樣的分枝，而之所以奇特是因?yàn)樗鼈儾皇浅Ｒ姷奈锓N。大概是圖形設(shè)計(jì)者有太多的參數(shù)可以任他使用，因此他禁不住要?jiǎng)?chuàng)造一些新的植物種類。
這些新的植物種類被叫做“嫁接”(graftal)植物，因?yàn)樗鼈兪窃趫D形(graph)的基礎(chǔ)上形成的，且有內(nèi)在的的分?jǐn)?shù)維性質(zhì)。這里所謂的“內(nèi)在分?jǐn)?shù)維性質(zhì)”，指的是用于生成植物圖案的基本拓?fù)涮卣鞯囊?guī)規(guī)則可以(但實(shí)際上沒有)應(yīng)用于屏幕分辨率的極限。簡言之，植物的細(xì)枝條不會無限地回歸成更小的枝條。一旦作為植物的基礎(chǔ)的圖形發(fā)展起來，計(jì)算機(jī)就能用大小、顏色、厚度、質(zhì)地等解釋植物的圖形，從而把它變換成無數(shù)的令人信服的植物種類。
某一給定植物所據(jù)以形成的圖形是由L系統(tǒng)產(chǎn)生，這種系統(tǒng)是丹麥生物學(xué)家和數(shù)學(xué)家Aristid Lindenmeyer在1968年提出的一種語法類別。一個(gè)L系統(tǒng)實(shí)際就是一套用于從舊的字符串中推導(dǎo)新的字符串的規(guī)則。例如，根據(jù)下列規(guī)則，用數(shù)字0和1以及符號[和]能夠生成一系列復(fù)雜的植物：
0→l[0]1[0]0
l→11
[→[
]→]
為了弄清如何應(yīng)用這些規(guī)則，我們從由單個(gè)的符號0組成的字符串開始。將箭頭左邊的每一個(gè)符號都用與其對應(yīng)的右邊的符號來代替，就可以一個(gè)接一個(gè)地得到下列的字符串：
01[0]1 [0]011[1[0]l[0]0]ll[1[0]1[0]0]1[0]l [0]0
把每個(gè)數(shù)字(0或1)當(dāng)作一條線段，每個(gè)括號當(dāng)作一個(gè)分支點(diǎn)，就可把這樣的字符串變換成樹一樣的圖形。0和1所代表線段的長度相等，其區(qū)別在于0線段的外端上要加一片葉子，而1線段上則什么也不加。
例如字符串1[0]1[0]0的莖是由三個(gè)不在括號內(nèi)的符號組成的。最下面的是1線段，中間也是1線段，頂部則是0線段。兩根枝條(每根均是一條0線段)從莖上長出來。第一根枝條長在第一條1線段上，第二根枝條則長在第二條1線段上。讀者可以試畫一下樹莖最初幾次生成的圖案。為了使植物更逼真，對這個(gè)模型可以加上另外一些解釋性的規(guī)則；例如，對于任何給定的莖(不管它是否主莖)，都可以使枝條輪流地從左右兩側(cè)長出。
一個(gè)叫PLANT的由兩部分組成的程序產(chǎn)生上述序列中的第n個(gè)字符串，然后把它表示成一個(gè)線段圖。在該程序的第一階段，PLANT將它所生成的字符串保存在被稱為String A及string B的兩個(gè)符號數(shù)組中。每一代植物圖形輪流地占據(jù)兩個(gè)數(shù)組中的一個(gè)，即某一數(shù)組中所存貯的那一代是由另一數(shù)組中所存貯的上；代得來的。也不一定非要在數(shù)組中存貯符號。只要程序的代換過程是正確的，數(shù)字0，l，2和3也完全可以。
L系統(tǒng)規(guī)則在條件語句中體現(xiàn)出來；例如可以采用下面這段算法編碼把StringA的第i位上的1個(gè)0變成string B中的九個(gè)新的符號：
如果stringA(i)＝0，那么
stringB(j)←1
stringB(j+1)←2
stringB(j+2)←0
stringB(j+3)←3
stringB(j+4)←1
stringB(j+5)←2
stringB(j+6)←0
stringB(j+7)←3
stringB(j+8)←0
j←j+9
這里0和1代表它們自己，而2和3分別代表[和]，如果string A的第i個(gè)符號是0，那么，程序把序列l(wèi)，2，0，3，l，2，0，3，0插入數(shù)組string B中以下標(biāo)j(即數(shù)組string B的尚未填入符號的第；個(gè)年置)開頭的九個(gè)連續(xù)位置上。程序PLANT的第一階段中的一個(gè)單循環(huán)就含有四個(gè)上述的條件語句，每個(gè)語句相應(yīng)于可能遇到的一個(gè)符號。循環(huán)用下標(biāo)j來指出當(dāng)前這一代中正被處理的那個(gè)符號。循環(huán)執(zhí)行的次數(shù)依用戶的愿望而定。在每一次生成后，程序PLANT會詢問用戶是否希望另一個(gè)更長的字符串。
PIANT的第二個(gè)階段(即繪圖階段)把第一個(gè)階段產(chǎn)生的字符串變換成一個(gè)圖形。它循環(huán)地執(zhí)行這一過程：只要左括號(或2)沒有出現(xiàn)，它就在一個(gè)給定方向上繪出一系列線段。當(dāng)碰到某一對括號中的左括號時(shí)。程序就在一個(gè)新的方向(從前一個(gè)方向反時(shí)針轉(zhuǎn)45°)上繪出后面的線段。當(dāng)對應(yīng)的右括號出現(xiàn)后，這一過程就終止。這時(shí)畫出一片葉子，它的形狀和顏色都留給讀者去想象。第二個(gè)左括號的出現(xiàn)使該程序又重復(fù)進(jìn)行。只是現(xiàn)在的方向是順時(shí)針45°。其他的工作都是自動(dòng)進(jìn)行的。
PIANT用了一個(gè)隨被繪出的植物的復(fù)雜性而定的比例因數(shù)。例如，第n代植物的高度大約為2n條線段，如果屏幕的高是200個(gè)像元，那么每根線段就必須短于200／2n雄心勃勃的讀者們無疑會嘗試生成語法、枝條角度及葉片形狀等方面的新花樣。如果具有這些新花樣的圖案在同一屏幕上生成，植物和樹木的風(fēng)景就會出現(xiàn)了(當(dāng)然不是很逼真的)。
Pixar繪圖計(jì)算機(jī)的心臟是一個(gè)有24兆字節(jié)，2000×2000像元的存貯器，其分辨率對大多數(shù)應(yīng)用是足夠的。此外，每個(gè)像元由48個(gè)存貯位表示，足夠存貯色采和透明度方面的信息。Pixar繪圖計(jì)算機(jī)的大容量存貯器由四個(gè)高速并行完全可編程序的處理機(jī)操縱。它們每秒鐘能執(zhí)行約4000萬條指令，其速度比普通的計(jì)算機(jī)大幾個(gè)數(shù)量級。顯示裝置與存貯器問的數(shù)據(jù)交換速度可達(dá)每秒4．8億個(gè)字節(jié)。
Pixar繪圖計(jì)算機(jī)預(yù)定用于醫(yī)學(xué)成像、遙感、工程設(shè)計(jì)及動(dòng)畫片制作這些領(lǐng)域中。也許還會用來制作我在本文開頭所描述的假想電影。
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