第十九章　優(yōu)選法

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　　1.通過分析和解決具體實際問題，使學(xué)生掌握分數(shù)法、0.618法及其適用范圍，運用這些方法解決一些實際問題，體會優(yōu)選的思想方法.
2.了解斐波那契數(shù)列{Fn}，理解在試驗次數(shù)確定的情況下分數(shù)法最佳性的證明，通過連分數(shù)知道Fn－1和黃金分割的關(guān)系.
3.知道對分法、盲人爬山法、分批試驗法，以及目標(biāo)函數(shù)為多峰情況下的處理方法.　　本章重點：根據(jù)不同的實際問題選擇恰當(dāng)?shù)膶ふ易罴腰c的方法.
本章難點：比較不同優(yōu)選方法的利弊和適用范圍.　　在生產(chǎn)和科學(xué)試驗中，人們?yōu)榱诉_到優(yōu)質(zhì)、高產(chǎn)、低耗等目標(biāo)，需要對有關(guān)因素的最佳組合進行選擇.在實踐中的許多情況下，試驗結(jié)果與因素之間的關(guān)系要么很難用數(shù)學(xué)形式來表達，要么表達式很復(fù)雜.優(yōu)選法是解決這類問題的常用數(shù)學(xué)方法.

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典例精析
題型一　關(guān)于黃金分割法的優(yōu)選法應(yīng)用問題
【例1】煉某種航天材料，需添加某種化學(xué)元素以增加抗氧化強度，加入范圍是1 000~
2 000克，求最佳加入量.
【解析】第一步：先在試驗范圍長度的0.618處做第(1)個試驗：
x1＝小＋(大－小)×0.618＝1 000＋(2 000－1 000)×0.618＝1 618克.
第二步：第(2)個試驗點由公式計算：
x2＝大＋�。瓁1＝2 000＋1 000－1 618＝1 382克.
第三步：比較(1)與(2)兩點上所做試驗的效果，現(xiàn)在假設(shè)第(1)點比較好，就去掉第(2)點，即去掉[1 000,1 382]這一段范圍，留下[1 382,2 000].
而第(3)試點x3＝大＋�。瓁1＝1 382＋2 000－1 618＝1 764克.
第四步：比較在上次留下的好點，即第(1)處和第(3)處的試驗結(jié)果，看哪個點好，然后就去掉效果差的那個試驗點以外的那部分范圍，留下包含好點在內(nèi)的那部分范圍作為新的試驗范圍，……如此反復(fù)，直到得到較好的試驗結(jié)果為止.
【點撥】可以看出每次留下的試驗范圍是上一次長度的0.618倍，隨著試驗范圍越來越小，試驗越趨于最優(yōu)點，直到達到所需精度即可.
【變式訓(xùn)練1】設(shè)有一個優(yōu)選問題，其因素范圍是1 500~2 500，假設(shè)最優(yōu)點在2 300處.
(1)用0.618法進行優(yōu)選，寫出第二，第三個試點的數(shù)值；
(2)若第一試點取2 010，寫出第二，第三，第四個試點的數(shù)值.
【解析】(1)由0.618法得第一個試點為x1＝1 500＋0.618×(2 500－1 500)＝2 118.
由“加兩頭，減中間”得x2＝1 500＋2 500－2 118＝1 882.
因為最優(yōu)點在2 300處，所以新的存優(yōu)范圍是[1 882,2 500]，
所以x3＝2 500＋1 882－2 118＝2 264.
同理可知新的存優(yōu)范圍是[2 118,2 500].
(2)因為x1＝2 010，則由對稱原理知x2＝1 500＋2 500－2 010＝1 990，因為最優(yōu)點在2 300處，所以x1優(yōu)于x2，新的存優(yōu)范圍是[1 990,2 500].
所以x3＝1 990＋2 500－2 010＝2 480，所以新的存優(yōu)范圍是[2 010,2 500].
所以x4＝2 010＋2 500－2 480＝2 030.
題型二　用分數(shù)法解決優(yōu)選法的應(yīng)用問題
【例2】某化工廠準(zhǔn)備對一化工產(chǎn)品進行技術(shù)改良，現(xiàn)決定優(yōu)選加工溫度，試驗范圍定為60 ℃~81 ℃，精確度要求±1 ℃，現(xiàn)在技術(shù)員用分數(shù)法進行優(yōu)選.
(1)如何安排試驗？
(2)若最佳點為69 ℃，請列出各試驗點的數(shù)值；
(3)要通過多少次試驗才可以找出最佳點？
【解析】(1)試驗區(qū)間為[60,81]，等分為21段，分點為61,62，…，79,80，所以60＋1321×
(81－60)＝73(℃).故第一試點安排在73 ℃.
由“加兩頭，減中間”的方法得60＋81－73＝68，所以第二試點選在68 ℃.后續(xù)試點也可以用“加兩頭，減中間”的方法來確定.
(2)若最佳點為69 ℃，即從第二次試驗開始知69 ℃在存優(yōu)范圍內(nèi)，由(1)知第一、二次試驗點的值分別為73,68，因為69?[60,68]，故去掉68 ℃以下的部分，則第三次試驗點的值為68＋81－73＝76.同理去掉76 ℃以上的部分，第四次試驗點的值為68＋76－73＝71，第五次試驗點的值為68＋73－71＝70，第六次試驗點的值為68＋71－70＝69.即安排了6次試驗，各試驗點的數(shù)值依次為：73,68,76,71,70,69.
(3)共有20個分點，由分數(shù)法的最優(yōu)性定理可知F7＝21，即通過6次試驗可從這20個分點中找出最佳點.
【點撥】用分數(shù)法安排試驗，一旦用Fn－1Fn確定第一個試點，后續(xù)的試點可以用“加兩頭，減中間”的方法來確定.
【變式訓(xùn)練2】某國有酒廠發(fā)酵某種酒精時規(guī)定發(fā)酵溫度為(28±1)℃，發(fā)酵時間為3 000小時以上.為提高工廠效益，技術(shù)員老王進行縮短發(fā)酵時間的技術(shù)改造，決定對發(fā)酵溫度進行優(yōu)選.試驗范圍定為15 ℃~36 ℃，精確度為±1 ℃.請你用分數(shù)法幫助老王安排試驗.
【解析】(1)將試驗區(qū)間[15,36]等分為21段，分點為16,17，…，35.
(2)第一試點為15＋(36－15)×13÷21＝28(℃)，
第二試點為15＋(36－15)×8÷21＝23(℃).
(3)以下按分數(shù)法順次確定試點，就可以找到最優(yōu)發(fā)酵溫度.
總結(jié)提高
單因素方法包括0.618法(也叫黃金分割法)、分數(shù)法、對分法、盲人爬山法、分批試驗法.其中0.618法和分數(shù)法是優(yōu)選法的重點.優(yōu)選法中的難點是理解0.618法和分數(shù)法的原理和認識分數(shù)法的最優(yōu)性.

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