2013年普通高等學校統(tǒng)一考試試題（江蘇卷）
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分。請把答案填寫在答題卡相印位置上。
1．函數 的最小正周期為 ．
【答案】π
【解析】T＝2πω ＝2π2 ＝π．
2．設 （ 為虛數單位），則復數 的模為 ．
【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1， z ＝ ＝5．
3．雙曲線 的兩條漸近線的方程為 ．
【答案】
【解析】令： ，得 ．
4．集合 共有 個子集．
【答案】8
【解析】23＝8．
5．右圖是一個算法的流程圖，則輸出的 的值是 ．
【答案】3
【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．
6．抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位設計運動員的5此訓練成績（單位：環(huán)），結果如下：
運動員第一次第二次第三次第四次第五次
甲8791908993
乙8990918892
則成績較為穩(wěn)定（方差較小）的那位運動員成績的方差為 ．
【答案】2
【解析】易得乙較為穩(wěn)定，乙的平均值為： ．
方差為： ．
7．現在某類病毒記作 ，其中正整數 ， （ ， ）可以任意選取，則
都取到奇數的概率為 ．
【答案】
【解析】m取到奇數的有1，3，5，7共4種情況；n取到奇數的有1，3，5，7，9共5種情況，則 都取到奇數的概率為 ．
8．如圖，在三棱柱 中， 分別是 的中點，設三棱錐 的體積為 ，三棱柱 的體積為 ，則 ．
【答案】1：24
【解析】三棱錐 與三棱錐 的相似比為1：2，故體積之比為1：8．
又因三棱錐 與三棱柱 的體積之比為1：3．所以，三棱錐 與三棱柱 的體積之比為1：24．
9．拋物線 在 處的切線與兩坐標軸圍成三角形區(qū)域為 (包含三角形內部和邊界) ．若點 是區(qū)域 內的任意一點，則 的取值范圍是 ．
【答案】[—2，12 ]
【解析】拋物線 在 處的切線易得為y＝2x—1，令z＝ ，y＝—12 x＋z2 ．
畫出可行域如下，易得過點(0，—1)時，zmin＝—2，過點(12 ，0)時，zmax＝12 ．
10．設 分別是 的邊 上的點， ， ，
若 （ 為實數），則 的值為 ．
【答案】12
【解析】
所以， ， ， 12 ．
11．已知 是定義在 上的奇函數。當 時， ，則不等式 的解集用區(qū)間表示為 ．
【答案】(?5，0) ∪(5，?∞)
【解析】做出 ( )的圖像，如下圖所示。由于 是定義在 上的奇函數，利用奇函數圖像關于原點對稱做出x＜0的圖像。不等式 ，表示函數y＝ 的圖像在y＝x的上方，觀察圖像易得：解集為(?5，0) ∪(5，?∞)。
12．在平面直角坐標系 中，橢圓 的標準方程為 ，右焦點為
，右準線為 ，短軸的一個端點為 ，設原點到直線 的距離為 ， 到 的距離為 ，若 ，則橢圓 的離心率為 ．
【答案】
【解析】如圖，l：x＝ ， ＝ －c＝ ，由等面積得： ＝ 。若 ，則 ＝ ，整理得： ，兩邊同除以： ，得： ，解之得： ＝ ，所以，離心率為： ．
13．在平面直角坐標系 中，設定點 ， 是函數 （ ）圖象上一動點，
若點 之間的最短距離為 ，則滿足條件的實數 的所有值為 ．
【答案】1或
【解析】
14．在正項等比數列 中， ， ，則滿足 的
最大正整數 的值為 ．
【答案】12
【解析】設正項等比數列 首項為a1，公比為q，則： ，得：a1＝132 ，q＝2，an＝26－n．記 ， ． ，則 ，化簡得： ，當 時， ．當n＝12時， ，當n＝13時， ，故nmax＝12．
二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分14分）
已知 ， ．
（1）若 ，求證： ；
（2）設 ，若 ，求 的值．
解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
a－b2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα?cosβ＋sinα?sinβ)＝2，
所以，cosα?cosβ＋sinα?sinβ＝0，
所以， ．
（2） ，①2＋②2得：cos(α－β)＝－12 ．
所以，α－β＝ ，α＝ ＋β，
帶入②得：sin( ＋β)＋sinβ＝ cosβ＋12 sinβ＝sin( ＋β)＝1，
所以， ＋β＝ ．
所以，α＝ ，β＝ ．
16．（本小題滿分14分）
如圖，在三棱錐 中，平面 平面 ， ， ，過 作 ，垂足為 ，點 分別是棱 的中點．求證：
（1）平面 平面 ；
（2） ．
證：（1）因為SA＝AB且AF⊥SB，
所以F為SB的中點．
又E，G分別為SA，SC的中點，
所以，EF∥AB，EG∥AC．
又AB∩AC＝A，AB 面SBC，AC 面ABC，
所以，平面 平面 ．
（2）因為平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，
AF 平面ASB，AF⊥SB．
所以，AF⊥平面SBC．
又BC 平面SBC，
所以，AF⊥BC．
又AB⊥BC，AF∩AB＝A，
所以，BC⊥平面SAB．
又SA 平面SAB，
所以， ．
17．（本小題滿分14分）
如圖，在平面直角坐標系 中，點 ，直線 ．
設圓 的半徑為 ，圓心在 上．
（1）若圓心 也在直線 上，過點 作圓 的切線，
求切線的方程；
（2）若圓 上存在點 ，使 ，求圓心 的橫坐
標 的取值范圍．
解：（1）聯立： ，得圓心為：C(3，2)．
設切線為： ，
d＝ ，得： ．
故所求切線為： ．
（2）設點M(x，y)，由 ，知： ，
化簡得： ，
即：點M的軌跡為以(0，1)為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D．
又因為點 在圓 上，故圓C圓D的關系為相交或相切．
故：1≤CD≤3，其中 ．
解之得：0≤a≤125 ．
18．（本小題滿分16分）
如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點 處下山至 處有兩種路徑。一種是從 沿直線步行
到 ，另一種是先從 沿索道乘纜車到 ，然后從 沿直線步行到 ．現有甲、乙兩
位游客從 處下山，甲沿 勻速步行，速度為 ．在甲出發(fā) 后，乙從
乘纜車到 ，在 處停留 后，再從勻速步行到 ．假設纜車勻速直線運動的
速度為 ，山路 長為 ，經測量， ， ．
（1）求索道 的長；
（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
（3）為使兩位游客在 處互相等待的時間不超過 分鐘，
乙步行的速度應控制在什么范圍內？
解：（1）如圖作BD⊥CA于點D，
設BD＝20k，則DC＝25k，AD＝48k，
AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，
知：AB＝52k＝1040m．
（2）設乙出發(fā)x分鐘后到達點M，
此時甲到達N點，如圖所示．
則：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM?ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，
其中0≤x≤8，當x＝3537 (min)時，MN最小，此時乙在纜車上與甲的距離最短．
（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用時：126050 ＝1265 (min)．
若甲等乙3分鐘，則乙到C用時：1265 ＋3＝1415 (min)，在BC上用時：865 (min) ．
此時乙的速度最小，且為：500÷865 ＝125043 m/min．
若乙等甲3分鐘，則乙到C用時：1265 －3＝1115 (min)，在BC上用時：565 (min) ．
此時乙的速度最大，且為：500÷565 ＝62514 m/min．
故乙步行的速度應控制在[125043 ，62514 ]范圍內．
19．（本小題滿分16分）
設 是首項為 ，公差為 的等差數列 ， 是其前 項和．記 ，
，其中 為實數．
（1）若 ，且 成等比數列，證明： （ ）；
（2）若 是等差數列，證明： ．
證：（1）若 ，則 ， ， ．
當 成等比數列， ，
即： ，得： ，又 ，故 ．
由此： ， ， ．
故： （ ）．
（2） ，
． (※)
若 是等差數列，則 型．
觀察(※)式后一項，分子冪低于分母冪，
故有： ，即 ，而 ≠0，
故 ．
經檢驗，當 時 是等差數列．
20．（本小題滿分16分）
設函數 ， ，其中 為實數．
（1）若 在 上是單調減函數，且 在 上有最小值，求 的取值范圍；
（2）若 在 上是單調增函數，試求 的零點個數，并證明你的結論．
解：（1） ≤0在 上恒成立，則 ≥ ， ．
故： ≥1．
，
若1≤ ≤e，則 ≥0在 上恒成立，
此時， 在 上是單調增函數，無最小值，不合；
若 ＞e，則 在 上是單調減函數，在 上是單調增函數， ，滿足．
故 的取值范圍為： ＞e．
（2） ≥0在 上恒成立，則 ≤ex，
故： ≤1e ．
．
(?)若0＜ ≤1e ，令 ＞0得增區(qū)間為(0，1a )；
令 ＜0得減區(qū)間為(1a ，?∞)．
當x→0時，f(x)→?∞；當x→?∞時，f(x)→?∞；
當x＝1a 時，f(1a )＝?lna－1≥0，當且僅當 ＝1e 時取等號．
故：當 ＝1e 時，f(x)有1個零點；當0＜ ＜1e 時，f(x)有2個零點．
(?)若a＝0，則f(x)＝?lnx，易得f(x)有1個零點．
(?)若a＜0，則 在 上恒成立，
即： 在 上是單調增函數，
當x→0時，f(x)→?∞；當x→?∞時，f(x)→?∞．
此時，f(x)有1個零點．
綜上所述：當 ＝1e 或a＜0時，f(x)有1個零點；當0＜ ＜1e 時，f(x)有2個零點．


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