仙游一中2015-2016學年度上學期期中考 高三理科數學試題 滿分150分,答卷時間120分鐘一：選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.選項填在答題卷上。1.若復數是純虛數（是虛數單位，是實數），則 （ ）A、 B、 C、 D、2．下列命題錯誤的是 ( )A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．若為假命題，則、均為假命題 C．命題：存在,使得，則：任意,都有 D．“”是“”的充分不必要條件3. 下列函數中既是偶函數，又是區(qū)間[－1，0]上的減函數的是 A． B． C． D．4. 設函數，其中是非零向量，則 “函數的圖像是一條直線”的充分條件是( ) A．B． C． D． 5.在中，是以－4為第3項，4為第5項的等差數列的公差，是以為第3 項，9為第6項的等比數列的公比，則該三角形是（ ） A. 銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形6．（）的圖象如右圖所示，為了得到的圖像，可以將的圖像（ ）A．個單位長度 B．個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度7. 以下命題：①若則； 在方向上的投影為；若△中, 則；若量的夾角為鈍角.則其中真命題的個數是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 18.已知數列是等差數列,若它的前n項和有最大值,且,則使成立的最大自然數n的值為( ) A. 10 B. 19 C. 20 D. 219. 已知函數當時，若在區(qū)間內，函數，有三個不同的零點，則實數的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 10.直線與函數的圖像相切于點，且，為坐標原點，為圖像的極大值點，與軸交于點，過切點作軸的垂線，垂足為，則=（ ）A. 2 B. C. D. 二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卷上。11．已知n{－1,0,1,2,3}，若(－)>(－)，則n＝__________.是公差不為0的等差數列, ，且成等比數列,則的值為 .13. 已知，設，則由函數的圖象與 軸、直線所圍成的封閉圖形的面積為 . 14. 定義在R上的函數滿足：，且對于任意的,都有＜，則不等式＞的解集為 。15. 設，其中.若對一切恒成立，則; ② ；③ 既不是奇函數也不是偶函數；④ 的單調遞增區(qū)間是；⑤ 存在經過點的直線與函數的圖象不相交．以上結論正確的是__________________（寫出所有正確結論的編號）的前n項和（1）求數列的通項公式; （2）求數列的前項和.17、（本小題滿分13分）滿足，對任意都有，且．（1）求函數的解析式；（2）是否存在實數，使函數在上為減函數？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由．18.（本小題滿分13分）在平面直角坐標系中，角，的始邊為軸的非負半軸，點在角的終邊上，點在角的終邊上，且. （1）求； （2）求的坐標并求的值. 19.（本小題滿分1分）(1)請計算原棚戶區(qū)建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；(2)因地理條件的限制，邊界AD、DC不能變更，而邊界AB、BC可以調整，為了提高棚戶區(qū)改造建筑用地的利用率，請在圓弧ABC上設計一點P；使得棚戶區(qū)改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求最大值．20．（本小題滿分1分）已知函數的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.（）求實數的值； （）求在區(qū)間上的最大值；（）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由. 有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．（1）(本小題滿分7分)選修4—2：矩陣與變換有一個屬于特征值的特征向量，①求矩陣；②已知矩陣，點，，，求在矩陣的對應變換作用下所得到的的面積．(2) (本小題滿分7分）選修4－4：坐標系與參數方程 過P（2，0）作傾斜角為的直線與曲線E：（θ為參數）交于A，B兩點．的參數方程；（Ⅱ）求的取值范圍．已知正實數、、滿足條件，（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求的最大值．仙游一中2015-2016學年度上學期期中考高三理科數學試題參考答案 滿分150分,答卷時間120分鐘一：選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.選項填在答題卷上。1.若復數是純虛數（是虛數單位，是實數），則 （ A ）A、 B、 C、 D、2．下列命題錯誤的是 ( B )A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．若為假命題，則、均為假命題 C．命題：存在,使得，則：任意,都有 D．“”是“”的充分不必要條件3. 下列函數中既是偶函數，又是區(qū)間[－1，0]上的減函數的是 A． B． C． D．4. 設函數，其中是非零向量，則 “函數的圖像是一條直線”的充分條件是( C ) A．B． C． D． 5.在中，是以－4為第3項，4為第5項的等差數列的公差，是以為第3 項，9為第6項的等比數列的公比，則該三角形是（ A ） A. 銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形6．（）的圖象如右圖所示，為了得到的圖像，可以將的圖像（ C ）A．個單位長度 B．個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度7. 以下命題：①若則； 在方向上的投影為；若△中, 則；若量的夾角為鈍角.則其中真命題的個數是( C ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 18.已知數列是等差數列,若它的前n項和有最大值,且,則使成立的最大自然數n的值為( B ) A. 10 B. 19 C. 20 D. 219. 已知函數當時，若在區(qū)間內，函數，有三個不同的零點，則實數的取值范圍是（ A ）A. B. C. D. 10.直線與函數的圖像相切于點，且，為坐標原點，為圖像的極大值點，與軸交于點，過切點作軸的垂線，垂足為，則=（ D ）A. 2 B. C. D. 二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卷上。11．已知n{－1,0,1,2,3}，若(－)n>(－)n，則n＝__________.－1或2是公差不為0的等差數列, ，且成等比數列,則的值為 .413. 已知，設，則由函數的圖象與 軸、直線所圍成的封閉圖形的面積為 . 14. 定義在R上的函數滿足：，且對于任意的,都有＜，則不等式＞的解集為 （0,2） 。15. 設，其中.若對一切恒成立，則; ② ；③ 既不是奇函數也不是偶函數；④ 的單調遞增區(qū)間是；⑤ 存在經過點的直線與函數的圖象不相交．以上結論正確的是________②③__________（寫出所有正確結論的編號）的前n項和（1）求數列的通項公式; （2）求數列的前項和.16.解：(1)又當時 ∴， ∴數列是等比數列,其首項為1,公比為 ，∴………………….6分（2）=，∴…………….13分17、（本小題滿分13分）滿足，對任意都有，且．（1）求函數的解析式；（2）是否存在實數，使函數在上為減函數？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由． 17、解：（1）由及 ∴ ………………1分又對任意，有∴圖像的對稱軸為直線，則，∴ ………………3分又對任意都有，即對任意成立，∴，故 ………………6分∴ ………………7分（2）由（1）知 ，其定義域為……………8分令要使函數在上為減函數，只需函數在上為增函數， ………………10分由指數函數的單調性，有，解得 ………………12分故存在實數時，函數在上為減函數………………13分18.（本小題滿分13分）在平面直角坐標系中，角，的始邊為軸的非負半軸，點在角的終邊上，點在角的終邊上，且. （1）求； （2）求的坐標并求的值.【解析】（1） ， ， ………… ∴ ， . …………6分 （2）由（1）得：， …………7分 ,∴ …………8分 ∴ ，， ，，，，………… ∴ …………13分 19.（本小題滿分1分）(1)請計算原棚戶區(qū)建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；(2)因地理條件的限制，邊界AD、DC不能變更，而邊界AB、BC可以調整，為了提高棚戶區(qū)改造建筑用地的利用率，請在圓弧ABC上設計一點P；使得棚戶區(qū)改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求最大值．19、解：(1)因為四邊形ABCD內接于圓，所以∠ABC＋∠ADC＝180°，連接AC，由余弦定理：AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC＝42＋22－2×2×4cos∠ADC.所以cos∠ABC＝，∵∠ABC∈(0，π)，故∠ABC＝60°.S四邊形ABCD＝×4×6×sin60°＋×2×4×sin120°＝8(萬平方米)．…………………………………………3分在△ABC中，由余弦定理：AC2＝AB2＋BC2－2AB?BC?cos∠ABC∴R＝(萬米)……………………7分(2)∵S四邊形APCD＝S△ADC＋S△APC，又S△ADC＝AD?CD?sin120°＝2，設AP＝x，CP＝y(tǒng).則S△APC＝xy?sin60°＝xy. ……………………………9分又由余弦定理AC2＝x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝28.∴x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy.∴xy≤28，當且僅當x＝y(tǒng)時取等號……………………11分∴S四邊形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9，∴最大面積為9萬平方米．………………………………13分20．（本小題滿分1分）已知函數的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.（）求實數的值； （）求在區(qū)間上的最大值；（）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點P、Q福建省仙游一中2015-2016學年度高三上學期期中考試數學（理）試題
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