2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 10-9 隨機(jī)變量的數(shù)字特征與正態(tài)分布(理)但因為測試 新人教B版

一、
1．(2011•煙臺模擬)設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，則P(－1<ξ<0)＝(　　)
A.12＋p B.12－p
C．1－2p D．1－p
[答案]　B
[解析]　∵ξ～N(0,1)，
∴P(ξ<－1)＝P(ξ>1)＝p，
∴P(－1<ξ<0)＝12[1－2p(ξ>1)]＝12－p.
2．(2011•衢州模擬)已知隨機(jī)變量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，則Eη，Dη分別是(　　)
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
[答案]　B
[解析]　∵X～B(10,0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，
∴E(η)＝8－E(X)＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝2.4.
3．(2011•鹽城、浙江溫州模擬)某人射擊一次擊中的概率為35，經(jīng)過3次射擊，此 人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為(　　)
A.81125 B.54125
C.36125 D.27125
[答案]　A
[解析]　該人3次射擊，恰有兩次擊中目標(biāo)的概率是
P1＝C23•(35)2•25，
三次全部擊中目標(biāo)的概率是P2＝C33•(35)3，
所 以此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率是
P＝P1＋P2＝ C23•(35) 2•25＋C33•(35)3＝81125.
4．(2011•福州調(diào)研)已知某一隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，則a的值為(　　)
ξ4a9
P0.50.1b
A.5 B．6
C．7 D．8
[答案]　C
[解析]　由0.5＋0.1＋b＝1知，b＝0.4，
由E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3知，a＝7，故選C.
5．(2011•湘潭模擬)設(shè)一隨機(jī)試驗的結(jié)果只有A和A－，且P(A)＝p，令隨機(jī)變量X＝1　A出現(xiàn)0　A不出現(xiàn)，則X的方差D(X)等于(　　)
A．p B．2p(1－p)
C．－p(1－p) D．p(1－p)
[答案]　D
[解析]　X服從兩點分布，故D(X)＝p(1－p)．
6．(2011•浙江五校聯(lián)考)設(shè)隨機(jī)變量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝59，則P(η≥2)的值為(　　)
A.3281 B.1127
C.6581 D.1681
[答案]　B
[解析]　由P(ξ≥1)＝59，得C12p(1－p)＋C22p2＝59，
即9p2－18p＋5＝0，解得p＝13或p＝53(舍去)，
∴P(η≥2)＝C24p2(1－p)2＋C34p3(1－p)＋C44p4
＝6×(13)2×(23)2＋4×(13)3×23＋(13)4＝1127.
7．(2011•濱州模擬)有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中任取3件，若ξ表示取到次品的件數(shù)，則E(ξ)＝________.
[答案]　34
[解析]　分布列如下：
ξ0123
PC312C316
C14C212C316
C24C112C316
C34C316

∴E(ξ)＝0×C312C316＋1×C14C212C316＋2×C24C112C316＋3×C34C316＝34.
8．如果ξ～B(100，12)，當(dāng)P(ξ＝k)取得最大值時，k＝________.
[答案]　50
[解析]　P(ξ＝k)＝Ck10012k•12100－k
＝Ck10012100，由組合數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)k＝50時取到最大值．
9．(2011•龍巖月考)袋中有3個黑球，1個紅球．從中任取2個，取到一個黑球得0分，取到一個紅球得2分，則所得分?jǐn)?shù)ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________
[答案]　1
[解析]　P(ξ＝0)＝C23C24＝12，P(ξ＝2)＝C13•C11C24＝12，
∴E(ξ)＝0×12＋2×12＝1.
10．(2010•東理)某學(xué)校舉行知識競賽，第一輪選拔共設(shè)有A、B、C、D四個問題，規(guī)則如下：
①每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分；
②每回答一題，計分器顯示累計分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計分?jǐn)?shù)小于8分時，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計分?jǐn)?shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計分?jǐn)?shù)仍不足14分時，答題結(jié)束，淘 汰出局；
③每位參加者按問題A、B、C、D順序作答，直至答題結(jié)束．
假設(shè)甲同學(xué)對問題A、B、C、D回答正確的概率依次為34，12，13，14，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．
(1)求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；
(2)用ξ表示 甲 同學(xué)本輪答題結(jié)束時答題的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)．
[解析]　設(shè)A、B、C、D分別表示甲同學(xué)能正確回答第一、二、三、四個問題的事件，A－、B－、C－、D－分別為A、B、C、D的對立事件(例如A－表示甲同學(xué)第一題回答錯誤)．
由題設(shè)條件知，P(A)＝34，P(B)＝12，P(C)＝13，P(D)＝14，P(A－)＝14，P(B－)＝12，P(C－)＝23，P(D－)＝34.
(1)記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件W，則由題設(shè)條件知W＝ABC＋ABC－D＋AB－CD＋A－BCD＋A－BC－D，
∵A、B、C、D各事件相互獨立，
∴P(W)＝P(A)•P(B)•P(C)＋P(A)•P(B)•P(C－)•P(D)＋P(A)•P(B－)•P(C)•P(D)＋P(A－)•P(B)•P(C)•P(D)＋P(A－)•P(B)•P(C－)•P(D)
＝34×12×13＋34×12×23×14＋34×12×13×14＋14×12×13×14＋14×12×23×14＝14.
(2)由題意知，ξ的可能取值為2、3、4，則
P(ξ＝2)＝P(A－B－)＝P(A－)•P(B－)＝14×12＝18，
P(ξ＝3)＝P(ABC＋AB－C－)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B－)P(C－)＝34×12×13＋34×12×23＝38.
P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－18－38＝12，
∴ξ的分布列為
ξ234
P(ξ)18
38
12

∴E(ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278.

11.(2011•廣東廣州二模)設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，則a的值等于(　　)
A.73 B.53
C．5 D．3
[答案]　A
[解析]　已知ξ～N(3,4)，所以μ＝3，
又因為P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，
所以2a－3＋a＋22＝3，解得a＝73.
12．(2011•溫州十校聯(lián)考)已知隨機(jī)變量X～N(3,22)，若X＝2η＋3，則D(η)等于(　　)
A．0　　　　B．1　　　　
C．2　　　　D．4
[答案]　B
[解析]　由X＝2η＋3，得D(X)＝4D(η)，而D(X)＝22＝4，∴D(η)＝1.
13．(2011•廣州模擬)一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4 顆子彈，射擊停止后尚余子彈的數(shù)目X的期望值為(　　)
A．2.44 B．3.376
C．2.376 D．2.4
[答案]　C
[解析]　X的取值為3,2,1,0，
P(X＝3)＝0.6
P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24
P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096
P(X＝0)＝0.43×0.6＋0.44＝0.064
∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.
14．(2011•北京豐臺模擬)某程考核分理論與實驗兩部分進(jìn)行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都是“合格”，則該程考核“合格”．若甲，乙，丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9,0.8,0.7；在實驗考核中合格的概率分別為0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之間沒有影響．
(1)求甲，乙，丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；
(2)求這三個人該程考核都合格的概率(結(jié) 果保留三位小數(shù))．
[解析]　設(shè)“甲理論考核合格”為事件A1，“乙理論考核合格”為事件A2，“丙理論考核合格”為事件A3，A－i為Ai的對立事件，i＝1,2,3.
設(shè)“甲實驗考核合格”為事件B1，“乙實驗考核合格”為事件B2，“丙實驗考核合格”為事件 B3.
(1)設(shè)“理論考核中至少有兩人合格”為事件C，
P(C)＝P(A1A2A3∪A1A2A－3∪A1A－2A3∪A－1A2A3)
＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A－3)＋P(A1A－2A3)＋P(A－1A2A3)
＝0.9×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＝0.902.
(2)設(shè)“三個人該程考核都合格”為事件D.
P(D)＝P[(A1B1)(A2B2)(A3B3)]
＝P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3)
＝P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3)
＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9≈0.254.
所以，這三個人該程考核都合格的概率為0.254.
15．設(shè)兩球隊A、B進(jìn)行友誼比賽，在每局比賽中A隊獲勝的概率都是p(0≤p≤1)．
(1)若比賽6局，且p＝23，求其中A隊至多獲勝4局的概率是多少？
(2)若比賽6局，求A隊恰好獲勝3局的概率的最大值是多少？
(3)若采用“五局三勝”制，求A隊獲勝時的比賽局?jǐn)?shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
[解析]　(1)設(shè)“比賽6局，A隊至多獲勝4局”為事件A，
則P(A)＝1－[P6(5)＋P6(6)]
＝1－C562351－23＋C66236＝1－256729＝473729.
∴A隊至多獲勝4局的概率為473729.
(2)設(shè)“若比賽6局，A隊恰好獲勝3局”為事件B，則P(B)＝C36p3(1－p)3.
當(dāng)p＝0或p＝1時，顯然有P(B)＝0.
當(dāng)0<p<1時，P(B)＝C36p3(1－p)3＝20•[p(1－p)]3≤20•p＋1－p223＝20•126＝516
當(dāng)且僅當(dāng)p＝1－p，即p＝12時取等號．
故A隊恰好獲勝3局的概率的最大值是516.
(3)若采用“五局三勝”制，A隊獲勝時的比賽局?jǐn)?shù)ξ＝3,4,5.
P(ξ＝3)＝p3，
P(ξ＝4)＝C23p3(1－p)＝3p3(1－p)
P(ξ＝5)＝C24p3(1－p)2＝6p3(1－p)2，
所以ξ的分布列為：
ξ345
Pp33p3(1－p)6p3(1－p)2
E(ξ)＝3p3(10p2－24p＋15)．
[點評]　本題第(3)問容易出錯，“五局三勝制”不一定比滿五局，不是“五局中勝三局”．A隊獲勝包括：比賽三局，A隊全勝；比賽四局，A隊前三局中勝兩局，第四局勝；比賽五局，前四局中勝兩局，第五局勝，共三種情況．

1．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從分布P(ξ＝k)＝k15，(k＝1,2,3,4,5)，E(3ξ－1)＝，E(ξ2)＝n，則－n＝(　　)
A．－ 319 B．7
C.83 D．－5
[答案]　D
[解析]　E(ξ)＝1×115＋2×215＋3×315＋4×415＋5×515＝113，∴E(3ξ－1)＝3E(ξ)－1＝10，
又E(ξ2) ＝12×115＋22×215＋32×315＋42×415＋52×515＝15，∴－n＝－5.
2．(2010•東理)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，則P(－2≤ξ≤2)＝(　　)
A．0.477 B．0.628
C．0.9 54 D．0.977
[答案]　C
[分析]　若ξ～N(μ，σ2)，則μ為其均值，圖象關(guān)于x＝μ對稱，σ為其標(biāo)準(zhǔn)差．
[解析]　∵P(ξ>2)＝0.023，∴P(ξ<－2)＝0.023，
故P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝0.954.故選C.
[點評]　考查其對稱性是考查正態(tài)分布的主要方式．
3．某次國際象棋比賽規(guī)定，勝一局得3分，平一局得1分，負(fù)一局得0分，某參賽隊員比賽一局勝的概率為a，平局的概率為b，負(fù)的概率為c(a，b，c∈[0,1))，已知他比賽一局得分的數(shù)學(xué)期望為1，則ab的最大值為(　　)
A.13 B.12
C.112 D.16
[答案]　C
[解析]　由條件知，3a＋b＝1，∴ab＝13(3a)•b≤13•3a＋b22＝112，等號在3a＝b＝12，即a＝16，b＝12時成立．
4．(2011•鹽城模擬)袋中有相同的5個球，其中3個紅球，2個黃球，現(xiàn)從中隨機(jī)且不放回地摸球，每次摸1個，當(dāng)兩種顏色的球都被摸到時，即停止摸球，記隨機(jī)變量ξ為此時已摸球的次數(shù)，求：
(1)隨機(jī)變量ξ的概率分布列；
(2)隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望與方差．
[解析]　(1)隨機(jī)變量ξ可取的值為2,3,4，
P(ξ＝2)＝C12C13C12C15C14＝35；
P(ξ＝3)＝A22C13＋A23C12C15C14C13＝310；
P(ξ＝4)＝A33C12C15C14C13C12＝110；
所以隨機(jī)變量ξ的概率分布列為：
ξ 234
P35
310
110

(2)隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望
E(ξ)＝2•35＋3•310＋4•110＝52；
隨機(jī)變量ξ的方差
D(ξ)＝(2－52)2•35＋(3－52)2•310＋(4－52)2•110＝920.

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