第二講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用
【最新考綱透析】
1．了解數(shù)列求和的基本方法。
2．能在具體問題情景中識別數(shù)列的等差、等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)問題。
3．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。
【核心要點突破】
要點考向1：可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和問題
考情聚焦：1．可轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題，已經(jīng)成為高考考查的重點內(nèi)容之一。
2．該類問題出題背景選擇面廣，易與函數(shù)方程、遞推數(shù)列等知識綜合，在知識 交匯點處命題。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，屬于中、高檔題目。
考向鏈接：某些遞推數(shù)列可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列解決，其轉(zhuǎn)化途徑有：
1．湊配、消項變換——如將遞推公式 （q、d為常數(shù)，q≠0，≠1）。通過湊配變成 ；或消常數(shù)轉(zhuǎn)化為
2．倒數(shù)變換—如將遞推公式 （c、d為非零常數(shù)）取倒數(shù)得
3．對數(shù)變換——如將遞推公式 取對數(shù)得
4．換元變換——如將遞推公式 （q、d為非零常數(shù)，q≠1，d≠1）變換成 ，令 ，則轉(zhuǎn)化為 的形式。
例1：（2010?福建高考文科?Ｔ１7）數(shù)列{ } 中 ＝ ，前n項和 滿足 - ＝ （n ）.
( I ) 求數(shù)列{ }的通項公式 以及前n項和 ；
（II）若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差數(shù)列，求實數(shù)t的值。
【命題立意】本題考查數(shù) 列、等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想。
【思路點撥】第一步先求 的通項，可知 為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項和求解出 ；第二步利用等差中項列出方程求出t
【規(guī)范解答】 ( I ) 由 得 ，又 ，故 ，從而
（II）由( I ) 從而由S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差數(shù)列可得 解得 。
【方法技巧】要求數(shù)列通項公式，由題目提供的是一個遞推公式，如何通過遞推公式來求數(shù)列的通項。題目要求的是項的問題，這就涉及有關(guān)“項”與“和”如何轉(zhuǎn)化的問題。一般地，含有 的遞推關(guān)系式，一般利用 化“和”為“項”。
要點考向2：錯位相減法求和
考情聚焦：1．錯位相減法求和，是高中數(shù)學(xué)中重要的數(shù)列求和方法，是近年來高考的重點考查內(nèi)容。
2．該類問題背景選擇面廣，可與等差、等比數(shù)列、函數(shù)、不等式等知識綜合，在知識交匯點處命題。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，屬于中、高檔題。
考向鏈接：幾種求通項及求和方法
（1）已知 ，求 可用疊加法，即
（2）已知 ，求 可用疊乘法，即
（3）設(shè){ }為等差數(shù)列， 為等比數(shù)列，求數(shù)列 的前n項和可用錯位相減法。
例2：（2010 ?海南寧夏高考?理科T17）設(shè)數(shù)列 滿足 ，
（Ⅰ)求數(shù)列 的通項公式：
（Ⅱ）令 ，求數(shù)列 的前n項和 .
【命題立意】本題主要考查了數(shù)列通項公式以及前 項和的求法，解決本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察形式，找到規(guī)律，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題.
【思路點撥】由給出的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項公式，在求數(shù)列的前n項和.
【規(guī)范解答】（Ⅰ)由已知，當(dāng) 時，
而 ，滿足上述公式，
所以 的通項公式為 .
（Ⅱ）由 可知，
①
從而 ②
① ②得
即
【方法技巧】利用累加法求數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求數(shù)列的和.
要點考向3：裂項相消法求和
考情聚焦：1．裂項相消求和是高中數(shù)學(xué)中的一個重要的數(shù)列求和方法，是近年來高考的重點考查內(nèi)容。
2．該類問題背景選擇面廣，可與等差、等比數(shù)列、函數(shù) 、不等式等知識綜合，在知識交匯點處命題。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，屬中、高檔題目。
考向鏈接：裂項求和的幾種常見類型
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5）若 是公差為d的等差數(shù)列，則
；
（6） ；
（7）
（8） 。
例3：（2010?山東高考理科?Ｔ18）已知等差數(shù)列 滿足： ， ， 的前n項和為 ．
（1）求 及 ；
（2）令 (n N*)，求數(shù)列 的前n項和 ．
【命題立意】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應(yīng)用、裂項法求數(shù)列的和,考查了考生的邏輯推理、等價變形和運算求解能力.
【思路點撥】(1)設(shè)出首項和公差，根據(jù)已知條件構(gòu)造方程組可求出首項和公差，進(jìn)而求出求 及 ；(2)由(1)求出 的通項公式，再根據(jù)通項的特點選擇求和的方法.
【規(guī)范解答】（1）設(shè)等差數(shù)列 的公差為d，因為 ， ，所以有
，解得 ，
所以 ； = = .
（2）由（1）知 ，所以bn= = = ，
所以 = = ，
即數(shù)列 的前n項和 = .
【方法技巧】數(shù)列求和的常用方法：
1、直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和，注意對公比 的討論.
2、錯位相減法：主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.
3、分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項分成兩項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.
4、裂項相消法：主要用于通項為分式的形式，通項拆成兩項之差求和，正負(fù)項相消剩下首尾若干項，注意一般情況下剩下正負(fù)項個數(shù)相同.
5、倒序相加法：把數(shù)列正著寫和倒著寫相加(即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣).
要點考向4：與不等式有關(guān)的數(shù)列問題
考情聚焦：1．?dāng)?shù)列綜合問題，特別是數(shù)列與不等式的綜合問題是高考中經(jīng)常考查的重要內(nèi)容。
2．該類問題可與函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式、導(dǎo)數(shù)函數(shù)等知識交匯，綜合命題。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，屬高檔題。
例4：（2010?天津高考文科?Ｔ22）在數(shù)列 中， =0，且對任意k ， 成等差數(shù)列，其公差為2k.
（Ⅰ）證明 成等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列 的通項公式；
（Ⅲ）記 ，證明 .
【命題立意】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法．
【思路點撥】（Ⅰ）（Ⅱ）應(yīng)用定義法證明、求解；（Ⅲ）對n分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論．
【規(guī)范解答】（I）由題設(shè)可知， ， ， ， ， 。從而 ，所以 ， ， 成等比數(shù)列．
（II）由題設(shè)可得
所以
.
由 ，得 ，從而 .
所以數(shù)列 的通項公式為 或?qū)憺?， ．
（III）由（II）可知 ， ，
以下分兩種情況進(jìn)行討論：
當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m
若 ，則 ，
若 ，則
.
所以 ，從而
（２）當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè) ．
所以 ，從而
綜合（1）和（2）可知，對任意 有
【高考真題探究】
1．（2010?天津高考理科?Ｔ6）已知 是首項為1的等比數(shù)列， 是 的前n項和，且 ，則數(shù)列 的前5項和為 ( )
（A） 或5 （B） 或5 （C） （D）
【命題立意】考查等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式．
【思路點撥】求出數(shù)列 的通項公式是關(guān)鍵．
【規(guī)范解答】選C．設(shè) ，則 ，
即 ， ， ．
2．（2010?天津高考文科?Ｔ１5）設(shè){an}是等比數(shù)列，公比 ，Sn為{an}的前n項和．
記 設(shè) 為數(shù)列{ }的最大項，則 = ．
【命題立意】考查等比數(shù)列的通項公式、前n項和、均值不等式等基礎(chǔ)知識．
【思路點撥】化簡 利用均值不等式求最值．
【規(guī)范解答】
∴
∵ 當(dāng)且僅當(dāng) 即 ，所以當(dāng)n=4，即 時， 最大．
【答案】4.
3．（2010?安徽高考理科?Ｔ20）設(shè)數(shù)列 中的每一項都不為0．
證明： 為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何 ，都有
．
【命題立意】本題主要考查等差數(shù)列與充要條件等知識，考查考生推理論證，運算求解能力．
【思路點撥】證明可分為兩步，先證明必要性，適宜采用列項相消法，再證明充分性，可采用數(shù)學(xué)歸納法或綜合法．
【規(guī)范解答】已知數(shù)列 中 的每一項都不為0，
先證
若數(shù)列 為等差數(shù)列，設(shè)公差為 ，
當(dāng) 時，有 ，
即對任何 ，有 成立；
當(dāng) 時，顯然 也成立．
再證
對任意 ，有 ①，
②，
由②-①得： -
上式兩端同乘 ，得 ③，
同理可得 ④，
由③-④得： ，所以 為等差數(shù)列
【方法技巧】
1、在進(jìn)行數(shù)列求和問題時，要善于觀察關(guān)系式特點，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃�，如分組、裂項等 ，轉(zhuǎn)化為常見的類型進(jìn)行求和；
2、對數(shù)列中的含n的式子，注意可以把式子中的n換為 或 得到相關(guān)的式子，再進(jìn)行化簡變形處理；也可以把n取自然數(shù)中的具體的數(shù)1，2，3…等，得到一些等式歸納證明.
4．（2010?安徽高考文科?Ｔ21）設(shè) 是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在 軸的正半軸上，且都與直線 相切，對每一個正整數(shù) ,圓 都與圓 相互外切，以 表示 的半徑，已知 為遞增數(shù)列.
(1)證明： 為等比數(shù)列；
（2）設(shè) ，求數(shù)列 的前 項和.
【命題立意】本題主要考查等比數(shù)列的基本知識，利用錯位相減法求和等基本方法，考察考生的抽象概括能力以及推理論證能力．
【思路點撥】（1）求直線傾斜角的正弦，設(shè) 的圓心為 ，得 ，同理得 ，結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系，得兩圓半徑之間的關(guān)系，即 中 與 的關(guān)系，可證明 為等比數(shù)列；
（2）利用（1）的結(jié)論求 的通項公式，代入數(shù)列 ，然后采用錯位相減法求和.
【規(guī)范解答】
．
【方法技巧】
1、對數(shù)列中的含n的式子，注意可以把式子中的n換為 或 得到相關(guān)的式子，再進(jìn)行化簡變形處理；
2、在進(jìn)行數(shù)列求和問題時，要善于觀察關(guān)系式特點，進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚�，如分組、列項相消、錯位相減等 ，轉(zhuǎn) 化為常見的類型進(jìn)行求和．
5．（2010?江蘇高考?Ｔ１9）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列 的前n項和為 ，已知 ，數(shù)列 是公差為 的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列 的通項公式（用 表示）；
（2）設(shè) 為實數(shù)，對滿足 的任意正整數(shù) ，不等式 都成立。求證： 的最大值為 ．
【命題立意】本題主要考查等差數(shù)列的通項、求和、基本不等式以及不等式的恒成立問題等有關(guān)知識，考查探索、分析及論證的能力．
【思路點撥】（1）先求 ，然后利用 的關(guān)系求解；（2）利用（1）中所求 利用基本不等式解決．
【規(guī)范解答】（1）由題意知： ，
，
化簡，得：
，
當(dāng) 時， ，適合 情形．
故所求 ．
（2）（方法一）
， 恒成立．
又 ， ，
故 ，即 的最大值為 ．
（方法二）由 及 ，得 ， ．
于是，對滿足題設(shè)的 ， ，有
．
所以 的最大值 ．
另一方面，任取實數(shù) ．設(shè) 為偶數(shù)，令 ，則 符合條件，且 ．
于是，只要 ，即當(dāng) 時， ．
所以滿足條件的 ，從而 ．
因此 的最大值為 ．
6．（2010?重慶高考理科?Ｔ21）在數(shù)列 中， =1， ，其中實數(shù) 。
（1）求 的通項公式 ；
（2）若對一切 有 ，求 的取值范圍。
【命題立意】本小題考查歸納、猜想解題，考查數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用，考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查分類討論的思想.
【思路點撥】（1）先求出數(shù)列 的前幾項，歸納猜想得出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）對恒成立問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，
【規(guī)范解答】（1）【方法1】：由 ， ，
，
，猜測 （ ），
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
當(dāng)n=1時，等式成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即 ，則當(dāng)n=k+1時，
綜上可知， 對任何 都成立.
【方法2】：由原式 ，
令 ，則 ， ，因此對 有
因此， ， 。又當(dāng)n=1時上式成立。
因此， ， 。
（2）【方法1】：由 ，得
因 ，所以
解此不等式得：對一切 ，有 或 ，其中
易知 （因為 的分子、分母的最高次項都是2，且系數(shù)都是8，所以極限值是 ）；用放縮法得：
，所以 ，
因此由 對一切 成立得 ；
又 ，易知 單調(diào)遞增，故 對一切 成立，因此由 對一切 成立得：
，從而c的取值范圍為 .
【方法2】：由 ，得 ，
因 ，所以 對 恒成立.
記 ，下分三種情況討論。
（i）當(dāng) 即 或 時，代入驗證可知只有 滿足要求
（ii）當(dāng) 時，拋物線 開口向下，因此當(dāng)正整數(shù)k充分大時， ，不符合題意，此時無解。
（iii）當(dāng) ，即 或 時，拋物線 開口向上，其對稱軸 必在直線 的左側(cè)，因此， 在 上是增函數(shù)。
所以要使 對 恒成立，只需 即可。
由 解得 或
結(jié)合 或 得 或
綜合以上三種情況， 的取值范圍為 .
【方法技巧】（1）第（1）問有兩種方法解答：①歸納猜想并用數(shù)學(xué)歸納法證明；②數(shù)列的迭代法（或累加消項法）；（2）第（2）問中對條件“恒成立”進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解或轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進(jìn)行討論；（3）放縮法的運用
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.已知{an}為等差數(shù)列，若 <-1,且它的前n項和Sn有最大值，那么使Sn>0的n的最大值為( )
(A)11(B)20(C)19(D)21
2.已知等比數(shù)列{an}中,a2=1,則其前3項的和S3的取值范圍是( )
(A)(-∞，-1］
(B)(-∞,0)∪(1,+∞)
(C)［3,+∞)
(D)(-∞,-1］∪［3,+∞)
3.首項為b,公比為a的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,對任意的n∈N*，點(Sn，Sn+1)在( )
(A)直線y=ax+b上
(B)直線y=bx+a上
(C)直線y=bx-a上
(D)直線y=ax-b上
4.在數(shù)列 中，若存在非零整數(shù) ，使得 對于任意的正整數(shù) 均成立，那么稱數(shù)列 為周期數(shù)列，其中 叫做數(shù)列 的周期. 若數(shù)列 滿足 ，如 ，當(dāng)數(shù)列 的周期最小時，該數(shù)列的前2010項的和是 （ ）
5.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).比如：
他們研究過圖1中的1,3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是( )
(A)289 (B)1 024 (C)1 225 (D)1 378
6.（2010屆?安徽省安慶市高三二模（文））已知實數(shù) 、 滿足： (其中 是虛數(shù)單位)，若用 表示數(shù)列 的前 項和，則 的最大值是( )
A.12 B.14 C.15 D.16
二、填空題（每小題6分，共18分）
7. 已知等比數(shù)列 滿足 ，且 ，則當(dāng) 時，
________
8. 類比是一個偉大的引路人。我們知道，等差數(shù)列和等比數(shù)列有許多相似的性質(zhì)，請閱讀下表并根據(jù)等差數(shù)列的結(jié)論，類似的得出等比數(shù)列的兩個結(jié)論： ，
9.將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的0-1三角數(shù)表，從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第n次全行的數(shù)都為1的是第 _______行；第61行中1的個數(shù)是_______.
三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)
10.已知數(shù)列{an}的首項a1=5，前n項和為Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）.
(1)證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；
(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn，求函數(shù)f(x)在點x=1處的導(dǎo)數(shù)f′(1).
11.已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=6x-2.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
12.在數(shù)列 中， .
（1）求 的值；
（2）求數(shù)列 的通項公式；
（3）求 的最大值.
參考答案
一、選擇題
1. 【解析】選C.∵等差數(shù)列{an}中， <-1且它的前n項和Sn有最大值，∴a10>0,a11<0,故a11<-a10.
即a11+a10<0,而a10+a10>0,
∴使Sn>0的n的最大值為19.
2.
3.
4. D
5. 【解析】選C.從圖中觀察知
圖1中an=1+2+…+n=
圖2中bn=n2,
顯然1 225在an中n=49,
在bn中n=35.
6. D
二、填空題
7.
8. ，
9.【解析】①第1次全行的數(shù)都是1的是第1行，
第2次全行的數(shù)都是1的是第3行，
第3次全行的數(shù)都是1的是第7行，
……
第n次全行的數(shù)都是1的是第2n-1行，
②由上面結(jié)論知第63行有64個 1，
則1 100…… 0 011……61行
1 010……101……62行
1 111……11……63行
從上面幾行可知第61行數(shù)的特點是兩個1兩個0交替出現(xiàn)，最后兩個為1，
∴在第61行的62個數(shù)中有32個1.
答案：2n-1 32
三、解答題
10. 【解析】（1）由已知Sn+1=2Sn+n+5,
∴n≥2時，Sn=2Sn-1+n+4，
兩式相減，得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1，
即an+1=2an+1.
從而an+1+1=2(an+1).
當(dāng)n=1時，S2=2S1+1+5,
∴a1+a2=2a1+6,
又a1=5,∴a2=11,
∴a2+1=2(a1+1)，故總有an+1+1=2 (an+1),n∈N*.
又∵a1=5,∴an+1≠0，
即{an+1}是以a1+1=6為首項，2為公比的等比數(shù)列.
（2）由(1)知an=3×2n-1.
∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,
∴f′(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1.
11. 【解析】(1)依題意可設(shè)f(x)=ax2+bx(a≠0)，
則f′(x)=2ax+b.
由f′(x)=6x-2得a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x.
又由點(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上得Sn=3n2-2n.
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1
=(3n2-2n)-［3(n-1)2-2(n-1)］=6n-5;
當(dāng)n=1時，a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5.
所以an=6n-5(n∈N*).
12. 【解析】（1）由 且 …）
得 ．
（2）由 變形得
，
是首項為 公比為 的等比數(shù)列
即 （ ）
（3）①當(dāng) 是偶數(shù)時
隨 增大而減少
當(dāng) 為偶數(shù)時， 最大值是 ．
②當(dāng) 是奇數(shù)時
隨 增大而增大且
綜上 最大值為
【備課資源】
1.已知等比數(shù)列{an}的公比q<0，前n項的和為Sn,則S4a5與S5a4的大小關(guān)系是( )
(A)S4a5=S5a4(B)S4a5>S5a4
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