2013 2014學年度第一學期期末高三聯(lián)考試卷 數學一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置上）1．已知全集U=R,集合 ▲ ．2．若，其中都是實數，是虛數單位，則= ▲ ．3．某校對全校男女學生共1600名進行健康調查，選用分層抽樣法抽取一個容量為200的樣本．已知女生比男生少抽了10人，則該校的女生人數應是 ▲ 人．4．集合A＝{2，3}B＝{1，2，3}, 從A，B中各任意取一個數，則這兩數之和等于4的概率是 ▲ ． 5．若“”是“”的充分不必要條件,則實數的取值范圍是 ▲ ．6．按右面的程序框圖運行后,輸出的應為 ▲ ．7．已知等比數列的公比,且成等差數列,則的前8項和為 ▲ ．8．長方體中,,則四面體的體積為 ▲ ．9．函數的圖像如圖，則= ▲ ．10．已知平面向量，，若，則的值為 ▲ ．11．已知橢圓和圓,若上存在點,使得過點引圓的兩條切線,切點分別為,滿足,則橢圓的離心率的取值范圍是 ▲ ．12．定義域為的偶函數滿足對,有,且當 時,,若函數在上至少有三個零點,則的取值范圍是 ▲ ．13．如圖，點C為半圓的直徑AB延長線上一點，AB=BC=2，過動點P作半圓的切線PQ，若,則的面積的最大值為 ▲ ．14．已知三次函數在R上單調遞增，則的最小值為 ▲ ． 二．解答題：(本大題共6個小題，共90分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15．已知函數.(1)求的值;(2)設的值16．如圖四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形ADEF是正方形，且BD平面CDE，H是BE的中點G是AEDF的交點.（1）求證GH∥平面CDE；（2）求證面ADEF面ABCD.某企業(yè)有兩個生產車間分別在、兩個位置，車間有100名員工，車間有400名員工。現要在公路上找一點,修一條公路，并在處建一個食堂，使得所有員工均在此食堂用餐。已知、、中任意兩點間的距離均有，設，所有員工從車間到食堂步行的總路程為.（1）寫出關于的函數表達式，并指出的取值范圍；（2）問食堂建在距離多遠時，可使總路程最少已知橢圓C的中點在原點,焦點在x軸上,離心率等于,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.(1)求橢圓C的方程;(2)點P(2,3),Q(2,-3)在橢圓上,A、B是橢圓上位 于直線PQ兩側的動點,(i)若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值;(ii)當A、B運動時,滿足∠APQ=∠BPQ,試問直線AB的斜率是否為定值,請說明理由.19．已知各項均為正數的數列前項的和為，數列的前項的和為，且．對恒成立，求的最小值；⑶若成等差數列，求正整數的值．在上為單調增函數，求的取值范圍；(3)設為正實數，且，求證：．2013 2014學年度第一學期高三聯(lián)考試卷 數學一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置上）1．已知全集U=R,集合{xx≤2}2．若，其中都是實數，是虛數單位，則= . 3．某校對全校男女學生共1600名進行健康調查，選用分層抽樣法抽取一個容量為200的樣本．已知女生比男生少抽了10人，則該校的女生人數應是 人．答案：7604．集合A＝{2，3}B＝{1，2，3}, 從A，B中各任意取一個數，則這兩數之和等于4的概率是 5．若“”是“”的充分不必要條件,則實數的取值范圍是6．按右面的程序框圖運行后,輸出的應為 407．已知等比數列的公比,且成等差數列,則的前8項和為． 255長方體中,,則四面體的體積為_____________.6的圖像如圖，則= 110．已知平面向量，，若，則的值為 11．已知橢圓和圓,若上存在點,使得過點引圓的兩條切線,切點分別為,滿足,則橢圓的離心率的取值范圍是 ▲ 12．定義域為的偶函數滿足對,有,且當 時,,若函數在上至少有三個零點,則的取值范圍是13．如圖，點C為半圓的直徑AB延長線上一點，AB=BC=2，過動點P作半圓的切線PQ，若,則的面積的最大值為 14．已知三次函數在R上單調遞增，則的最小值為 二．解答題：(本大題共6個小題，共90分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15．已知函數.(1)求的值;(2)設的值【答案】解: (1) …………………………6分(2) …8分…10分 …………12分 ……………14分16．如圖四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形ADEF是正方形，且BD平面CDE，H是BE的中點G是AEDF的交點.（1）求證GH∥平面CDE；（2）求證面ADEF面ABCD.證明：⑴是的交點，∴是中點，又是的中點，∴中，， ……………………2分 ∵ABCD為平行四邊形∴AB∥CD ∴，……………………4分又∵∴平面 …………………7分⑵， 所以， ………………9分 又因為四邊形為正方形，， ………………10分，，- ………………12分. …………………………14分17．某企業(yè)有兩個生產車間分別在、兩個位置，車間有100名員工，車間有400名員工。現要在公路上找一點,修一條公路，并在處建一個食堂，使得所有員工均在此食堂用餐。已知、、中任意兩點間的距離均有，設，所有員工從車間到食堂步行的總路程為.（1）寫出關于的函數表達式，并指出的取值范圍；（2）問食堂建在距離多遠時，可使總路程最少解：（1）在中，，………………2分，則�！�………………………4分，其中。 ……6分（2）�！�………………8分令得。記……………………10分當時，，當時，，所以在上，單調遞減，在上，單調遞增，所以當，即時，取得最小值。…………………………12分此時，，答：當時，可使總路程最少�！�………………………14分已知橢圓C的中點在原點,焦點在x軸上,離心率等于,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.(1)求橢圓C的方程;(2)點P(2,3),Q(2,-3)在橢圓上,A、B是橢圓上位 于直線PQ兩側的動點,(i)若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值;(ii)當A、B運動時,滿足∠APQ=∠BPQ,試問直線AB的斜率是否為定值,請說明理由.解:(1)設橢圓的方程為則. 由,得∴橢圓C的方程為 ……………………………4分(2)(i)解:設,直線的方程為,代入,得 由,解得 由韋達定理得.……………………………6分四邊形的面積∴當, ……………………………9分(ii)解:當,則、的斜率之和為0,設直線的斜率為則的斜率為,的直線方程為由 (1)代入(2)整理得………11分同理的直線方程為,可得∴ [來源 …………… 所以的斜率為定值 ……………………………16分19．已知各項均為正數的數列前項的和為，數列的前項的和為，且．對恒成立，求的最小值；⑶若成等差數列，求正整數的值．，其中是數列的前項和，是數列的前項和，且，當時，由，解得，……………………………………2分當時，由，解得； …………………………4分由，知，兩式相減得，即，…………5分亦即，從而，再次相減得，又，所以所以數列是首項為1，公比為的等比數列， …………………………………7分其通項公式為 ． ……………………………………………………8分（2）由（1）可得，， ……10分若對恒成立，只需對恒成立，因為對恒成立，所以,即的最小值為3；…………12分（3）若成等差數列，其中為正整數，則成等差數列，整理得，…………………………………………………………………14分當時，等式右邊為大于2的奇數，等式左邊是偶數或1，等式不能成立，所以滿足條件的值為．……………………………………………16分20．已知函數．(Ⅰ)若是函數的極值點，求曲線在點處的切線方程；(Ⅱ)若函數在上為單調增函數，求的取值范圍；(Ⅲ)設為正實數，且，求證：．解: （Ⅰ）……2分………4分 ………6分……………8分…………12分T=3i－1S=0,i=1開始否i>5?第題圖DCBAPCBAO-2-3結束輸出S是i= i+1S=S+TT=3i－1S=0,i=1開始否i>5?S=S+Ti= i+1是輸出S結束-3-2OABCPQABCD第題圖江蘇省如東縣四校2014屆高三上學期期末聯(lián)考數學試題
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