屆高三上學期期末華附、省實、廣雅、深中四校聯考理科數學命題學校：深圳中學本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、考號、座位號等相關信息填寫在答題卡指定區(qū)域內.2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求．1．若集合，，則“”是“”的 A. 充要條件 B. 既不充分也不必要條件 C. 必要不充分條件 D. 充分不必要條件2. 若，，，則A．B． C．D．3．函數的部分圖象如圖所示，則A． B. C. D. 4．已知圓及以下３個函數：①；②；③其中圖像能等分圓面積的函數有A．個 B. 個 C. 個 D. 個 5. 展開式中的常數項為A． B． C． D． 6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為A． B. C. D. 7. 已知數列滿足：對于任意的，則A． B. C. D. 8．點是平面內的定點,點與點不同)的“對偶點”是指：點在射線上且厘米.若平面內點在某不過點的直線上,則它們相應的“對偶點”在 A．一個過點的圓上 B．一個不過點的圓上C．一條過點的直線上 D．一條不過點的直線上110分二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.9. 某學校高一、高二、高三年級的學生人數之比為，現用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為的樣本，則應從高二年級抽取 名學生．10. 若向量，且與的夾角為則 . 11. 某幾何體的三視圖如圖所示,其中正（主）視圖與側（左）視圖的邊界均為直角三角形，俯視圖的邊界為直角梯形，則該幾何體的體積為 . 12. 已知直線過拋物線的焦點，直線與拋物線圍成的平面區(qū)域的面積為則______ ， . 13. 已知函數，若，且，則的取值范圍是 . 選做題（請考生在以下兩小題中任選一題做答，若兩小題都做，則按第14題記分）.14．（幾何證明選做題） 如圖，過點作的外接圓的切線交的延長線 于點.若， ，則 . 15．在極坐標系中，點關于直線的對稱點的極坐標為 . 三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.16．(本小題滿分12分)在中,三個內角所對的邊分別為已知，.求；(2) 設求的值.17.（本小題滿分12分）盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片，卡片上分別標有數其中是虛數單位．稱“從盒中隨機抽取一張，記下卡片上的數后并放回”為一次試驗（設每次試驗的結果互不影響）． （1）求事件 “在一次試驗中，得到的數為虛數”的概率與事件 “在四次試驗中，至少有兩次得到虛數” 的概率；（2）在兩次試驗中，記兩次得到的數分別為，求隨機變量的分布列與數學期望18.（本小題滿分14分）如圖，四邊形是正方形，平面，，，，， 分別為，，的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的大小.19. （本小題滿分14分） 已知數列的前項和為記（1）若數列是首項與公差均為的等差數列， 求；（2）若且數列均是公比為的等比數列，求證：對任意正整數，20. （本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，已知點及直線，曲線是滿足下列兩個條件的動點的軌跡：①其中是到直線的距離；② (1) 求曲線的方程;(2) 若存在直線與曲線、橢圓均相切于同一點，求橢圓離心率的取值范圍.21. （本小題滿分14分）已知函數，其中是自然對數的底數.（1）求函數的零點；（2）若對任意均有兩個極值點，一個在區(qū)間內，另一個在區(qū)間外，求的取值范圍；（3）已知且函數在上是函數，探究函數的單調性.屆高三上學期期末華附、省實、廣雅、深中四校聯考 參考答案與評分標準理科數學 說明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則．二、對計算題當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分數．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求．題號12345678答案 DCBBBCDA1．【解析】2. 【解析】 3．【解析】由圖知在時取到最大值，且最小正周期滿足 故，.所以 或由逐個檢驗知4．【解析】圓關于原點對稱. 函數與函數是定義域上的奇函數，其圖像關于原點對稱, 能等分圓面積；而是上的偶函數，其圖像關于軸對稱，且當時不能等分圓面積5. 【解析】展開式中的通項為為常數項的充要條件是常數項6．【解析】 7. 【解析】 由數學歸納法可證明:當為大于的奇數時, ；當為正偶數時, 故8．【解析】過作與直線垂直的直線以為原點，直線為軸，單位為厘米，建立平面直角平面坐標系. 設直線,是直線上任意一點,它的“對偶點”為,則存在使得,即,又,消去,得.故在過點的圓上.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 9.【解析】根據分層抽樣的方法步驟，按照一定比例抽取，樣本容量為，那么根據題意得：從高三一共可以抽取人數為：.10. 【解析】由與的夾角為知,11. 【解析】由三視圖可知該幾何體是一個四棱錐,根據“正側等高，正俯等長，側俯等寬”的規(guī)則，其體積為12. 【解析】拋物線的焦點為,知.13. 【解析】如圖,在,上均單調遞增, 由及知的取值范圍14. 【解析】由知 ，解得 由得，即15. 【解析】如圖，在極坐標系中，設關于直線的對稱點為則，且從而即三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.16．(本小題滿分12分)在中,三個內角所對的邊分別為已知，.求；(2) 設求的值.解： (1) …………………………………………2分 …………………………………………… 4分………………………………………………………6分(2)(解法一) ……………………… 7分 ………………………………………… 9分 ……………………………………………… 10分 , …………12分 (2)(解法二) ……………………… 7分 ………………………………………………………9分 ……………………………………………………… 10分 ,…………12分 (2)(解法三) , ………………………9分 ……10分 …11分 ………………………12分17.（本小題滿分12分）盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片，卡片上分別標有數其中是虛數單位．稱“從盒中隨機抽取一張，記下卡片上的數后并放回”為一次試驗（設每次試驗的結果互不影響）． （1）求事件 “在一次試驗中，得到的數為虛數”的概率與事件 “在四次試驗中，至少有兩次得到虛數” 的概率；（2）在兩次試驗中，記兩次得到的數分別為，求隨機變量的分布列與數學期望解：（1）， ……………………………………………………………2分 ………… 5分（2）的可能取值如下表所示：……………………………………………………………分由表可知：………………9分所以隨機變量的分布列為…………………………………… 10分所以………………………………………………12分18.（本小題滿分14分）如圖，四邊形是正方形，平面，，，，， 分別為，，的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的大小. (1）證明：,分別為，的中點，.…………………………………1分又平面，平面，…………………………………3分平面. ……………………………………………………………5分（2）平面，，平面平面，. 四邊形是正方形，.以為原點,分別以直線為軸, 軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設……………………………………7分,，，，，，, ,.，， 分別為，，的中點，，，,, …… ………分（解法一)設為平面的一個法向量，則,即，令，得.…… …………………10分設為平面的一個法向量,則,即，令，得.…… …………………12分所以==.……………………………………………13分所以平面與平面所成銳二面角的大小為（或）. …………14分（解法二) ，,是平面一個法向量.…… ……………… …………………10分，,是平面平面一個法向量. …… ……………… …………………12分……… … …………………13分平面與平面所成銳二面角的大小為（或）. … …………14分（解法) 延長到使得連，，四邊形是平行四邊形，四邊形是正方形，分別為，的中點平面，平面， 平面.………7分平面平面平面 ………分平面與平面所成銳二面角相等. … …10分平面平面平面的平面角. …12分… …………13分平面與平面所成銳二面角的大小為（或）. … …………14分19. （本題滿分1廣東省華附、省實、廣雅、深中四校屆高三上學期期末聯考數學理試題
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