人類智慧攀升和有效的認(rèn)知活動(dòng)是經(jīng)驗(yàn)和理性的螺旋循環(huán)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也不例外，然而數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中經(jīng)驗(yàn)歸納與理性思維既互相支持又矛盾對(duì)立，況且初中學(xué)生正處于經(jīng)驗(yàn)型思維向邏輯型思維過渡的階段，以致在具體教學(xué)中較難正確把握兩者的權(quán)重量綱，容易產(chǎn)生偏頗做法。因而充分認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)歸納與理性思維的關(guān)系，是完全必要的。也只有把握了它們之間的辯證統(tǒng)一關(guān)系，才能避免和糾正片面追求的行為。
一、經(jīng)驗(yàn)歸納教學(xué)的作用
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)生活實(shí)際或動(dòng)手操作進(jìn)行有意義有目的的分析、探索，進(jìn)而提煉數(shù)學(xué)中的一般性規(guī)律，即用經(jīng)驗(yàn)歸納的方法尋求數(shù)學(xué)的事實(shí)性結(jié)論。主要有下述教育意義：
1、學(xué)生體驗(yàn)了經(jīng)驗(yàn)世界中數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，根據(jù)建構(gòu)主義的認(rèn)知觀點(diǎn)，是學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行意義建構(gòu)的有效途徑。不過這樣建構(gòu)的知識(shí)，僅具實(shí)證性，還不深刻，是淺層次的。
2、使學(xué)生得到歸納方法的學(xué)習(xí)。歸納方法被譽(yù)為發(fā)現(xiàn)的“邏輯”，廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)研究，科學(xué)史上許多重大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明主要依賴于歸納方法。例如，開普勒在研究太陽系行星運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)十年觀察和計(jì)算的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納，得到天體運(yùn)動(dòng)第三定律。
3、通過對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成的“情境”性體驗(yàn)，使得對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念有樸素的理解，為進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象思維提供依托和支持。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的問題解決中，經(jīng)常對(duì)某問題的具體個(gè)別情形進(jìn)行考察、歸納，尋求解決問題的策略和一般方法。
4、增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，由此增進(jìn)數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識(shí)，增進(jìn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)和能力，提高用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的能力。
5、經(jīng)驗(yàn)歸納將數(shù)學(xué)與生活融洽，有利于增進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。興趣是促進(jìn)自覺能動(dòng)的動(dòng)力，特別是通過歸納得到發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造時(shí)，使人的心靈深處倍感快慰，將產(chǎn)生濃厚的興趣，有可能達(dá)到雖為其“勞苦”而感到樂的境界——樂此不疲。
正基于上述理由，當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)中凸顯經(jīng)驗(yàn)歸納教學(xué)，其意義是不言而喻的。但是，也應(yīng)該清楚地認(rèn)識(shí)到歸納有很大的局限性，不僅數(shù)學(xué)知識(shí)不可能全由歸納得到，而且就其本身而言，缺乏深刻，以及得到的結(jié)論不一定正確。
二、歸納的正確性需要邏輯支持
在數(shù)學(xué)王國里，雖然數(shù)學(xué)的某些結(jié)論可由直覺和歸納得到，但要確定結(jié)論的正確與否，歸納幾乎無用武之地。歸納證明有效的命題極其少量，并且還需要邏輯支持。（可用歸納方法證明的主要是代數(shù)恒等式，但借助了代數(shù)基本定理的邏輯支持。至于用機(jī)器證明幾何命題，那是對(duì)證代數(shù)恒等式的一種應(yīng)用）。通常把直覺和歸納得到的命題不視為真，原因是直覺和歸納往往會(huì)出錯(cuò)。例如：
1、判斷全體正自然數(shù)的個(gè)數(shù)多呢還是全體正偶數(shù)的個(gè)數(shù)多？從直觀意義上考慮，把全體正自然數(shù)從小到大依次排列，任意取出相鄰的兩個(gè)，自然數(shù)有2個(gè)，偶數(shù)只有1個(gè)，于是得到正自然數(shù)的個(gè)數(shù)是正偶數(shù)個(gè)數(shù)的2倍；從歸納的意義上看，在100以內(nèi)進(jìn)行考察，自然數(shù)99個(gè)，正偶數(shù)49個(gè)，個(gè)數(shù)的比值：99/49≈2。在1000以內(nèi)考察，兩者個(gè)數(shù)的比值：999/499≈2。在10000以內(nèi)，在100000以內(nèi)考察……，可得兩者個(gè)數(shù)比值的極限是2,與直觀同樣的結(jié)論。凡涉足過超窮數(shù)理論的人都知道上述結(jié)論是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，只要構(gòu)造函數(shù)M=2n,顯然值域與定義域有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，便知?dú)w納所得結(jié)論錯(cuò)誤。
2、“北師大教材八上1.1《勾股定理》中：根據(jù)下面圖形的各條邊的關(guān)系，請(qǐng)你探索出直角三角形的三邊的關(guān)系，結(jié)果大部分學(xué)生根據(jù)32=4+5、52=12+13，繼而得出錯(cuò)誤的結(jié)論：a2=b+c，即較長(zhǎng)直角邊與斜邊的和等于較短直角邊的平方。”[1]
并且更多的事實(shí)猶如觀測(cè)水中的一根直棍，獲得的感知是彎曲的一樣。為此，大天文學(xué)家開普勒指出：“當(dāng)知識(shí)通過感官被直接提供給心靈時(shí)，是模糊、混亂和矛盾的，從而也就不可靠的�！彼詫�(duì)經(jīng)驗(yàn)得到的東西總要問個(gè)為什么？總要有理性的思考。哲學(xué)家叔本華說：“經(jīng)驗(yàn)從總體來講，是要從這種形而上學(xué)得到解釋的。”東漢哲學(xué)家王充說：“是非者，不徒耳目，必開心意”。確定事物的本質(zhì)不能僅憑感覺，一定要有理性思考。特別地經(jīng)驗(yàn)得到的數(shù)學(xué)命題必須有理論的證明。
實(shí)際上，人類在處理數(shù)學(xué)上理由不充足的結(jié)論時(shí)，總是小心謹(jǐn)慎的。像哥德巴赫猜想，盡管千萬次驗(yàn)證都是正確的，但由于沒有得到理論上的證明，人們還是叫它猜想而不叫定理。有時(shí)即使得到事實(shí)性的結(jié)論，如果理論有缺陷，也會(huì)用懷疑的眼光去看待它。如微積分在創(chuàng)立之初，由于理論不完善，人們紛紛質(zhì)疑無窮小量的處理不合理，就連當(dāng)時(shí)思想界的巨頭紅衣主教貝克萊、馬克思主義學(xué)說的創(chuàng)立者之一馬克思都參與質(zhì)疑。（微積分從初創(chuàng)到理論完善經(jīng)歷了一百年）。無數(shù)事例充分地反映了人類對(duì)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性所持態(tài)度是嚴(yán)肅、認(rèn)真的。
三、經(jīng)驗(yàn)歸納教學(xué)中的偏差現(xiàn)象
數(shù)學(xué)產(chǎn)生的早期源于實(shí)際，經(jīng)人們的抽象與實(shí)際分離。在抽象基礎(chǔ)上再抽象得到的概念雖然在生活中存在原型，但往往復(fù)雜的居多，有些在教學(xué)中采用把握不好會(huì)使教學(xué)效果適得其反。如有理數(shù)乘法運(yùn)算中負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)的法則提煉，盡管我們老師作出大的努力，舉了盡可能簡(jiǎn)潔的例子，可是教學(xué)實(shí)際情況是不少學(xué)生感到繁瑣、復(fù)雜，難以理解。由此學(xué)生可能產(chǎn)生畏難情緒而導(dǎo)致厭學(xué)。與其是如此，還不如“沒有”的好。
考察目前初中數(shù)學(xué)教學(xué)的情況，有些老師近乎緣木求魚，在教學(xué)中不論什么內(nèi)容，一律都采用經(jīng)驗(yàn)歸納的方式進(jìn)行教學(xué)，把好多主觀生造、牽強(qiáng)，甚至嚴(yán)重脫離教學(xué)實(shí)際的東西搬進(jìn)課堂，把教學(xué)的目標(biāo)轉(zhuǎn)向?yàn)榧兇鈩?chuàng)設(shè)生活情景的教學(xué)，使學(xué)生得不到真正意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。好比是阿拉伯諺語所說的：“磨坊的聲音我確實(shí)聽到了，但面粉卻沒有看到�！彼�，用生活經(jīng)驗(yàn)歸納的方法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和教學(xué)的具體內(nèi)容進(jìn)科學(xué)辯證的方法分析而定，以簡(jiǎn)潔、自然、貼切為宜，不應(yīng)每每如此。
事實(shí)上，數(shù)學(xué)“它有自身發(fā)展的內(nèi)在‘情景’，按照這種內(nèi)在聯(lián)系來學(xué)習(xí)，掌握的知識(shí)牢靠，應(yīng)用起來得心應(yīng)手�！盵2]“一個(gè)好的數(shù)學(xué)情境，能融數(shù)學(xué)的教與學(xué)為一體，具有數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的內(nèi)驅(qū)力，并使數(shù)學(xué)課堂具有自我生長(zhǎng)的立體環(huán)境。”[3]比如，三角函數(shù)概念的導(dǎo)出，該問題的焦點(diǎn)在于比值的大小只與角的大小有關(guān)，而與角終邊上的位置選擇無關(guān)。用已知的數(shù)學(xué)事實(shí)相似三角形性質(zhì)來說明，自然、簡(jiǎn)潔明了，并具普遍意義。若用生活經(jīng)驗(yàn)或動(dòng)手操作進(jìn)行歸納，想必是一件復(fù)雜繁瑣的工作，未必有益于教學(xué)。因而，數(shù)學(xué)教學(xué)也要注重運(yùn)用抽象思維，拿已知的數(shù)學(xué)事實(shí)，精中求簡(jiǎn)地去解釋新概念、新知識(shí)。
我們知道，要學(xué)好數(shù)學(xué)需要理解記憶，也就是要明了數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程。當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍存在著僅把經(jīng)驗(yàn)歸納作為知識(shí)的形成過程，忽略理論推導(dǎo)的過程。歸納是感的“進(jìn)路”，理論推導(dǎo)是思的“進(jìn)路”。數(shù)學(xué)對(duì)象的抽象性決定了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開思，一旦離開了思，將造成不求甚解，只求記住若干“處方”，不僅茲長(zhǎng)和強(qiáng)化模仿記憶和機(jī)械記憶之惰性，也給進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)帶來大的困難。
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