4.3反例與證明
一、教材、學情分析：
舉反例和證明同樣重要，注重反例以培養(yǎng)學生思維的縝密性、靈活性，以及注重反例構(gòu)建培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性、深刻性和創(chuàng)新性在數(shù)學中的重要性已越來越被人們重視和認可。反例構(gòu)建還是誘發(fā)學生創(chuàng)造力的很好載體。教師在進行教學時，不但要適當?shù)厥褂梅蠢�，更重要的是要善于引導學生構(gòu)建反例，這實際上是為學生創(chuàng)設(shè)了一種探索情境。因此，構(gòu)建反例的過程也是學生發(fā)散思維的充分發(fā)揮和訓練過程。
二、教學目標：
（一） 知識與技能
通過實際問題的分析，理解反例的意義和作用。掌握在簡單情況下利用反例證明一個命題是錯誤的。
（二）教學思考
通過判定引入命題的真假培養(yǎng)學生的思維能力; 在思考爭論的過程中，學會合作，交流思想；通過獨立思考與小組合作，小組競賽培養(yǎng)學生獨立自主精神、合作精神和競爭意識；
（三）解決問題
會利用一些簡單的例子，對一個命題作出合理的解釋判斷與證明；提高他們處理問題和解決問題能力；
（四）情感與態(tài)度
通過數(shù)學知識的實際應(yīng)用，滲透數(shù)學來源于生活又應(yīng)用于生活的思想，體驗學習數(shù)學的樂趣，從而激發(fā)他們的學習興趣。
【教學重點、難點】
?重點：用反例證 明一個命題是錯誤的．
?難點：如何構(gòu)造一個反例去證明一個命題是錯誤的．因為要從條件出發(fā)又不能使其滿足結(jié)論，要求學生對數(shù)學概念的理解能力較高。
【教學過程】
一、談話引入，激發(fā)興趣
讀一讀：
高斯說：“給我最大快樂的，不是已懂得知識，而是不斷地學習；不是已有的東西，而是不斷地獲��；不是 已達到的高度，而是繼續(xù)不斷地攀登”。
師：高斯是偉大的數(shù)學家，他告訴我們要不斷學習，學無止境，讓我們繼續(xù)不斷地向上攀登吧！
（設(shè)計意圖：師生交流，聯(lián)絡(luò)感情，通過一起學習名人名言可縮小師生之間的距離，使學生體會到師生之間是平等的，另一方面通過學習名言可對學生進行思想教育，希望他們能繼續(xù)努力，永攀高峰。）
二、師生交流，引入新課
高斯是偉大的數(shù)學家嗎？這句話是命題嗎？
（通過它來復(fù)習命題的概念，請學生將這句話改成一個 命題）
高斯是偉大的數(shù)學家。再問這個 命題正確嗎？ （學生答）
我們再來 判斷下列命題的真假[
（1）會飛的動物都是鳥。
（學生會說是假命題。）
師問：為何是假命題？學生舉出蝴蝶、蒼蠅、蜻蜓等會飛，但不是鳥。
（設(shè)計意圖：讓學生能 夠分辨一個命題的真假，能夠舉出適當?shù)姆蠢�。使學生初步有通過舉反例可以說明一個命題是假命題的思想，以便在解決下面三題時能想出舉出反例。）
（2）素數(shù)是奇數(shù) （學生答：假命題，舉例2）
（3）黃皮膚、黑頭發(fā)的人是中國人 （學生答：假命題，舉例韓國人，日本人等）
（4）在不同頂點上有兩個外角是鈍角的三角形是銳角三角形 （學生答：假命題，等腰直角三角形等）
師：我們對真命題的證明，掌握了一定的方法和技能 ，那么如何來說明一個命題是假命題呢？如上述四個命題你是如何來說明它是假命題的？（學生能夠答：舉個例子說明）
今天我們將一起來探討如何說明一個命題是假命題。從而引出課題??反例與證明
三、師生互動，學習新知
1、小組合作，共同進步
師生總結(jié)：從引例知道判斷一個命題是假命題 只要舉出一個例子即可。
學生討論：怎么樣例子才能判斷一個命題是假命題？
學生分小組討論，教師巡回指導，每小組代表發(fā)言
師生總結(jié)：具備命題條件但不具備命題結(jié)論的例子，這樣的例子稱為反例。
師：如可以舉2是素數(shù)，但不是奇數(shù)，從而證明“素數(shù)是奇數(shù)”是假命題.
韓國人，日本人也是黃皮膚、黑頭發(fā)的人從而證明“黃皮膚、黑頭發(fā)的人是中國人”是假命題。這些例子都符合命題的條件但不具備命題的結(jié)論。
（設(shè)計意圖：讓學生充分討論我們所需要的反例有什么要求，因為舉反例有時比較困難。通過學生激烈的爭論可以給 學生一個舉反例的指導方向，學生在 爭論中更易接受正確的知識，使學生能在判定具體命題真假時舉出適當反例。）[
2、比一比，賽一賽（小組競賽）
判斷下列命題是真命題還是假命題，是真命題請證明，是假命題請舉反例.
（1）三角形的外角和等于360 °
（2）三線兩兩相交,必有三個交點
（3）若ab＜0，則a＞0,b＜0
（4）任何三條線段都能組成一個三角形
（5）若 x+y=0，則
（設(shè)計意圖：通過學生競賽，激發(fā)學生學習興趣。趁熱打鐵，及時鞏固，培養(yǎng)學生的動手能力和應(yīng)用知識解決問題的能力，讓學生能夠分辨一個命題的真假，對真命題能夠證明，對假命題能夠舉出適當?shù)姆蠢?br>3、設(shè)置一個互動游戲：讓一個學生出一個命題，另一學生判斷真假。
（設(shè)計意圖此處設(shè)置互動游戲，一方面是為了更好地以另一種方式促進學生的學習參與，另一方面也是為了調(diào)節(jié)課堂的氣氛，因為這段時間學生在下午的學習總是感覺疲勞 ，興趣不是很高，這樣就可以更好地促進學生，調(diào)節(jié)氣氛。）
師：我們已經(jīng)能舉出反例說明一個命題是 假命題，如何在解題過程中將反例用數(shù)學語言規(guī)范的表述，請同學們嘗試解決以下兩題。
例題：判斷下列命題的真假，并給出證明(第一題較簡單學生易舉出反例，第二題學生需要構(gòu)造出圖形較為困難，老師巡視時給予適當引導。)
（1）若2 x + y = 0，則x = y = 0
（2）有一條邊、兩個角相等的兩個三角形全等
學生先自主解決，然后小組內(nèi)交流糾錯。老師巡視發(fā)現(xiàn)學生的表述不規(guī)范之處，予以糾正。挑出學生解題中普遍存在問題，用投影儀集體糾錯，規(guī)范解題步驟。
（設(shè)計意圖：學生先嘗試數(shù)學問題中反例的表述，使學生感覺到學習并不是一件很容易或很困難的事情。然后通過合作學習，為每位學生提供交流的空間，讓他們能積極參與，勇于發(fā)表自己的觀點，幫助其他同學修正錯誤，給學生以成就感。）
幻燈片給出具體解題過程
解（1）是假命題。
取x = -1 , y = 2 ，
則2 x + y = 2 ×（-1）+ 2 = 0
但x≠0且y≠0。
即x = -1，y = 2 具備2 x + y = 0 的條 件，
但不具備命題的結(jié)論，
所以此命題為假命題
（2） 假命題。
如圖：△ABC和△A’B’C’中，
∠C=∠A’=75°
∠B=∠C’=45°
AB=A’B’=2.5cm
但很明顯△ABC和△A’B’C’不全等，
所以此命題為假命題
例題小結(jié)： 如果要證明或判斷一個命題是假命題，那么我們只要舉出一個符合 題設(shè)而不符合結(jié)論的例子就可以了。涉及數(shù)的問題舉出一些特殊值，一些幾何問題可以構(gòu)造出適當幾何圖形，構(gòu)造的圖形也是解題的步驟，需要輔助幾何表述，才能成為解題過程。
四、應(yīng)用新知，體驗成功[
（設(shè)計意圖：學生能夠分辨一個命題的真假，對真命題能夠證明，對假命題能夠舉出適當?shù)姆蠢�。代�?shù)問題稍好解決，幾何問題構(gòu)造圖形是學習中較為難解決的問題，予以適當強化。）
判斷命題“兩邊 和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等”的真假，并給出證明。（學生小組討論，構(gòu)造反例。）
老師分析引導：這是一個假命題，要證明它是一個假命題，關(guān)鍵是看如何構(gòu)造反 例。
（老師巡視挑出解答較好的兩個反例投影展示，請學生介紹解題思路。老師點評并做補充。）
本題可以從以下兩方面考慮，如圖4 ? 4 ? 4（1）三角形ABC中，AB=AC，在底邊BC延長線上取點D，連DA，這樣在△ADB和△ADC中，AD=AD，∠D=∠D，AB=AC，顯然觀察圖形可知△ADB與△ADC不全等，或者，在BC上任取一點E（E不是中點）， 如圖4-4-4（2），則在△ABE和△ACE中，AB=AC，∠B=∠C，AE=AE，顯然它們不全等。
解 這是一個假命題，證明如下：
如圖4 ? 4 ? 4（1），在 △ABC中，AB=AC，延長CB到D，連結(jié)AD。
則AB=AC，（已知）
AD=AD，（公共邊）
∠D=∠D，（公共角）
但△ADB與△ADC不全等。
評注 能舉反例說明一個命題是假命題，反例不在于多，只要能找到一個說明即可。
五、課堂小結(jié)，形成系統(tǒng)
暢所欲言：通過這節(jié)課的學習，談?wù)勀愕氖斋@與體會。
（設(shè)計意圖： 讓學生自己總結(jié)本堂課的 得失，一方面培養(yǎng)學生善于總結(jié)反思的良好習慣；另一方面可以提高學生的語言表達能力，為自己和其他同學梳理了知識體系，使其系統(tǒng)化，起到畫龍點睛的作用。）
老師給出本節(jié)知識點：1、判斷一個命題是假命題只要舉出一個反例即可。[ ]
2、反例是具備命題條件但不具備命題結(jié)論的例子。
3、 涉及數(shù)的問題舉出 一些特殊值，一些幾何問題可以構(gòu)造出適當幾何圖形，構(gòu)造的圖形也是解題的步驟，需要輔助幾何表述，才能成為解題過程。
六、布置作業(yè)，深化提高
1、作業(yè)本作業(yè)。見《作業(yè)本》（分不同層次布置不同要求的作業(yè)，必做題，選做題）
2、探索與思考：
判斷命題 “一角和夾這角的一邊對應(yīng)相等，且這邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等” 是真命題，還是假命題？請給出證明。
（設(shè)計意圖：根據(jù)學生的不同層次布置不同的作業(yè)，真正體現(xiàn)因材施教原則。）
本文來自：逍遙右腦記憶 http://portlandfoamroofing.com/chuer/70681.html
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