在本章，學(xué)生將在已學(xué)過(guò)的函數(shù)概念、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的過(guò)程和方法，體會(huì)函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的重要性，初步運(yùn)用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實(shí)生活和社會(huì)中的簡(jiǎn)單問(wèn)題．同時(shí)還將學(xué)習(xí)利用函數(shù)的性質(zhì)求方程的近似解，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系．

　　一、內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)

　　本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是函數(shù)與方程（函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系），函數(shù)模型及其應(yīng)用。本章學(xué)習(xí)的目標(biāo)是：

　　1．結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系．

　　2．根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法．

　　3．利用計(jì)算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)間的增長(zhǎng)差異；結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義．

　　4．收集一些社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用．

　　二、內(nèi)容安排

　　全章共有2節(jié)和一個(gè)實(shí)習(xí)作業(yè)，另外還有三個(gè)選學(xué)內(nèi)容，教學(xué)時(shí)間約需8課時(shí)，大體分配如下（僅供參考）：

　　3.1 函數(shù)與方程                                           約2課時(shí)

　　閱讀與思考    中外歷史上的方程求解

　　信息技術(shù)應(yīng)用  借助信息技術(shù)求方程的近似解

　　3.2 函數(shù)模型及其應(yīng)用                                     約4課時(shí)

　　信息技術(shù)應(yīng)用  收集數(shù)據(jù)并建立函數(shù)模型

　　實(shí)習(xí)作業(yè)                                                 約1課時(shí)

　　小結(jié)      　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 約1課時(shí)

　　本章知識(shí)結(jié)構(gòu)如下：

　�。�1）建立函數(shù)模型解決問(wèn)題的過(guò)程

　　

　　（2）本章知識(shí)安排的前后順序

　　

　　1．本章的主要內(nèi)容是方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系、用二分法求方程的近似解、幾種不同的函數(shù)增長(zhǎng)模型、函數(shù)模型的應(yīng)用舉例．建立實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)模型，利用已知函數(shù)模型解決問(wèn)題，作為一條主線貫穿了全章的始終，而方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系、用二分法求方程的近似解，是在建立和運(yùn)用函數(shù)模型的大背景下展開的．方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系、用二分法求方程的近似解中均蘊(yùn)涵了“函數(shù)與方程的思想”，建立和運(yùn)用函數(shù)模型中蘊(yùn)含的“數(shù)學(xué)建模思想”，是本章滲透的主要數(shù)學(xué)思想．二分法是本章介紹的主要數(shù)學(xué)方法．

　　2．在初中一元二次方程和一元二次函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，教科書通過(guò)比較一元二次方程的根與對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象和x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，給出了函數(shù)的零點(diǎn)的概念，并揭示了方程的根與對(duì)應(yīng)的函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系．然后，通過(guò)探究介紹了判斷一個(gè)函數(shù)在某個(gè)給定區(qū)間存在零點(diǎn)的方法和二分法．并且，教科書在 “用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟”中滲透了算法的思想，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)算法內(nèi)容埋下伏筆．

　　3．教科書運(yùn)用選自投資方案和制定獎(jiǎng)勵(lì)方案兩個(gè)問(wèn)題，引出函數(shù)模型增長(zhǎng)情況比較的問(wèn)題，接著運(yùn)用信息技術(shù)從數(shù)值和圖象兩個(gè)角度比較了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)情況的差異，說(shuō)明了不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義．

　　4．函數(shù)基本模型的應(yīng)用是本章的重點(diǎn)內(nèi)容之一．教科書分別以行程問(wèn)題、人口增長(zhǎng)問(wèn)題、商品定價(jià)問(wèn)題、未成年人的生長(zhǎng)發(fā)育問(wèn)題為例，在豐富的實(shí)際背景中對(duì)不同的變量關(guān)系進(jìn)行了研究，分別介紹了分段函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用，在這個(gè)過(guò)程中滲透了擬合的基本思想．

　　三、編寫中考慮的幾個(gè)問(wèn)題

　　1．問(wèn)題取材廣、立意新，以利于增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)

　　函數(shù)模型的應(yīng)用主要圍繞具體問(wèn)題展開研究，問(wèn)題的取材與設(shè)計(jì)是這部分內(nèi)容的關(guān)鍵．教科書注意結(jié)合不同學(xué)生的實(shí)際，選擇大多數(shù)學(xué)生熟悉的背景，在例題、練習(xí)、習(xí)題和復(fù)習(xí)參考題中，針對(duì)不同的函數(shù)模型，為學(xué)生設(shè)計(jì)了素材廣泛、內(nèi)容新穎的問(wèn)題，以利于開闊學(xué)生的視野，讓學(xué)生從中體會(huì)函數(shù)模型應(yīng)用的廣泛性和重要性．在問(wèn)題的立意上，教科書從函數(shù)模型的特點(diǎn)出發(fā)，從不同的側(cè)面提出能激發(fā)興趣的問(wèn)題．例如行程問(wèn)題是學(xué)生接觸較多的，但要說(shuō)明速度與時(shí)間關(guān)系圖中的部分面積的實(shí)際含義，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)卻是新穎的；以往學(xué)生主要是建立路程、速度、時(shí)間的關(guān)系式，對(duì)建立汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)與時(shí)間的分段函數(shù)，卻具有新的挑戰(zhàn)性．又如人口問(wèn)題涉及我國(guó)的基本國(guó)策，教科書的例題要求根據(jù)過(guò)去一段時(shí)間的人口數(shù)據(jù)，對(duì)何時(shí)能達(dá)到我國(guó)現(xiàn)在的人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，學(xué)生就容易對(duì)預(yù)測(cè)的結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，這對(duì)激發(fā)學(xué)生興趣有好處．又如桶裝水的定價(jià)問(wèn)題，將學(xué)生置入一個(gè)現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，讓他們以一個(gè)經(jīng)營(yíng)者的身份對(duì)身邊簡(jiǎn)單的經(jīng)營(yíng)問(wèn)題進(jìn)行決策，這有利于學(xué)生自覺(jué)地將所學(xué)的知識(shí)用于解決實(shí)際的問(wèn)題．再如建立身高與體重的函數(shù)模型，由于學(xué)生會(huì)急于了解自己的身高與體重是否正常，所以能激起他們探求這個(gè)函數(shù)模型的欲望，將這一問(wèn)題的解決過(guò)程變?yōu)橹鲃?dòng)的探求過(guò)程．通過(guò)設(shè)計(jì)一系列這樣的問(wèn)題，將有利于增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)．

　　2．以函數(shù)模型的應(yīng)用為主線，多視點(diǎn)寬角度地研究問(wèn)題

　　本章除了函數(shù)模型的應(yīng)用之外，還要介紹函數(shù)與方程的一些關(guān)系，以及幾種函數(shù)模型在增長(zhǎng)上的差異．教科書在處理上，以函數(shù)模型的應(yīng)用這一主要內(nèi)容為主線，以幾個(gè)重要的函數(shù)模型為對(duì)象或工具，將各部分內(nèi)容緊密結(jié)合起來(lái)，使之成為一個(gè)整體．首先依托二次函數(shù)模型，通過(guò)研究幾個(gè)具體的二次函數(shù)及其相對(duì)應(yīng)的方程，得到方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，然后將此結(jié)果化歸為一般的結(jié)論．在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步利用其他函數(shù)模型，研究其對(duì)應(yīng)方程的解，將二分法融入函數(shù)模型的應(yīng)用之中．對(duì)不同函數(shù)模型在增長(zhǎng)差異上的研究，教科書依然圍繞函數(shù)模型的應(yīng)用這一核心，結(jié)合具體實(shí)例展開討論，讓學(xué)生在應(yīng)用函數(shù)模型的過(guò)程中，體驗(yàn)到指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型在描述客觀世界變化規(guī)律時(shí)各自的特點(diǎn)．有了這些鋪墊，再來(lái)具體研究函數(shù)模型的應(yīng)用，在內(nèi)容上層次分明，系統(tǒng)性強(qiáng)，而學(xué)生學(xué)習(xí)的目的也很明確．全章起于函數(shù)模型，終于函數(shù)模型，函數(shù)模型的應(yīng)用貫穿始終，使看似零散的內(nèi)容渾然一體，從不同的方面對(duì)典型的問(wèn)題，多視點(diǎn)寬角度地進(jìn)行了研究．

　　3．滲透數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)注數(shù)學(xué)文化

　　本章不僅重視數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，而且還重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透．本章所涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要包括：由實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)模型這一過(guò)程中蘊(yùn)涵的符號(hào)化、模型化的思想；研究函數(shù)與方程關(guān)系的過(guò)程中蘊(yùn)涵的函數(shù)與方程的思想；用二分法求方程近似解的過(guò)程中解法的程序框圖所蘊(yùn)涵的算法思想．為體現(xiàn)函數(shù)建模思想在解決問(wèn)題中的作用，教科書結(jié)合具體問(wèn)題，從運(yùn)用函數(shù)模型、比較常見函數(shù)模型的特點(diǎn)、介紹典型的函數(shù)模型、建立函數(shù)模型等多個(gè)側(cè)面全面地作了體現(xiàn)．為滲透函數(shù)與方程的思想，教科書一方面對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根進(jìn)行專門研究，另一方面又在求方程的近似解和函數(shù)模型的應(yīng)用中注意函數(shù)與方程的聯(lián)系．算法思想雖然是數(shù)學(xué)模塊3的內(nèi)容，但考慮到學(xué)生學(xué)習(xí)的螺旋上升、循序漸進(jìn)的特點(diǎn)，所以在用二分法求方程的近似解時(shí)，教科書給出了解法的程序框圖，滲透了算法的思想，同時(shí)也為選修系列1中框圖的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)．

　　通過(guò)教科書來(lái)傳承古今中外先進(jìn)的數(shù)學(xué)文化，介紹數(shù)學(xué)的發(fā)展，反映數(shù)學(xué)的作用，體現(xiàn)科學(xué)的進(jìn)步，使學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，提高科學(xué)文化素養(yǎng)，這是本套教科書的一個(gè)特色．本章在“閱讀與思考”欄目專門介紹了方程求解在中外歷史上的發(fā)展情況，這不僅給學(xué)生認(rèn)識(shí)方程的解提供了更廣闊的空間，同時(shí)還讓學(xué)生了解到古今中外不少數(shù)學(xué)家在方程求解中所取得的成就，特別是可以了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展與人類文明的貢獻(xiàn)．本章還在函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例和實(shí)習(xí)作業(yè)中，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容不失時(shí)機(jī)地介紹了馬爾薩斯人口模型和牛頓冷卻模型，將數(shù)學(xué)成果的介紹與學(xué)生的學(xué)習(xí)、實(shí)踐融為一體，學(xué)生通過(guò)本章的學(xué)習(xí)不僅在數(shù)學(xué)知識(shí)和能力方面可以得到提高，而且還能夠感受到數(shù)學(xué)文化的熏陶．

　　4．重視信息技術(shù)應(yīng)用

　　如何運(yùn)用信息技術(shù)是本章教科書考慮的一個(gè)重要問(wèn)題．信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等方面產(chǎn)生深刻的影響，信息技術(shù)工具的使用能為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展提供豐富多彩的教育環(huán)境和有力的學(xué)習(xí)工具．要讓學(xué)生較為全面地體會(huì)函數(shù)模型的思想，特別是運(yùn)用函數(shù)模型研究廣泛的社會(huì)實(shí)際，就會(huì)遇到數(shù)據(jù)、圖象等方面處理上的困難．在以往，由于缺乏信息技術(shù)的支持，使得象求方程近似解這樣一些更具普遍性的問(wèn)題的解決寸步難行，象二分法這樣一些重要的數(shù)學(xué)方法難以在教科書中呈現(xiàn)，函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題也常常局限在一些狹小的范圍內(nèi)，并且研究的問(wèn)題陳舊，題目人為編造的痕跡明顯，不能有效地激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更不利于學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)．在本章中，教科書自始至終都充分運(yùn)用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)、數(shù)據(jù)采集器和傳感器等信息技術(shù)工具，并在兩個(gè)不同地方設(shè)置了“信息技術(shù)應(yīng)用”欄目，不僅使處理復(fù)雜的數(shù)據(jù)和圖象成為可能，還使學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)解決本章問(wèn)題更加得心應(yīng)手．例如，利用信息技術(shù)工具，就可以在不同的范圍觀察到指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長(zhǎng)差異．這樣，就使學(xué)生有機(jī)會(huì)接觸到一些過(guò)去難以接觸到的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，也使教科書在問(wèn)題的選擇上更具廣泛性，并更接近真實(shí)．學(xué)生在學(xué)習(xí)中，自然會(huì)感到耳目一新、親切自然，并在利用信息技術(shù)解決問(wèn)題的過(guò)程中，提高對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷更多的數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，增加應(yīng)用函數(shù)模型的機(jī)會(huì)．

　　5．重視分析、解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)

　　比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)間的增長(zhǎng)差異，結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義，是本章的一個(gè)重要內(nèi)容．但由于指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長(zhǎng)變化復(fù)雜，這就使得學(xué)生在研究過(guò)程中可能遇到困難．為了解決這一難點(diǎn)，教科書分三個(gè)步驟，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，并通過(guò)恰點(diǎn)恰時(shí)而又層層遞進(jìn)的問(wèn)題串，讓學(xué)生在不斷的觀察、思考和探究的過(guò)程中，弄清幾個(gè)函數(shù)間的增長(zhǎng)差異，并培養(yǎng)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．第一步，教科書先創(chuàng)設(shè)了一個(gè)選擇投資方案的問(wèn)題情景，在解決問(wèn)題的過(guò)程中給出了解析式、數(shù)表和圖象三種表示，然后提出了三個(gè)思考問(wèn)題，讓學(xué)生一方面從中體會(huì)直線上升和指數(shù)爆炸，另一方面也學(xué)會(huì)如何選擇恰當(dāng)?shù)谋硎拘问綄?duì)問(wèn)題進(jìn)行分析．第二步，教科書又創(chuàng)設(shè)了一個(gè)選擇公司獎(jiǎng)勵(lì)模型的問(wèn)題情景，讓學(xué)生在觀察和探究的過(guò)程中，體會(huì)到對(duì)數(shù)增長(zhǎng)模型的特點(diǎn)．第三步，教科書提出了三種函數(shù)存在怎樣的增長(zhǎng)差異的問(wèn)題．先讓學(xué)生從不同角度觀察指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長(zhǎng)圖象，從中體會(huì)二者的差異；再通過(guò)兩個(gè)探究問(wèn)題，讓學(xué)生對(duì)冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異，以及三種函數(shù)的衰減情況進(jìn)行自主探究．這樣的安排可以引導(dǎo)學(xué)生積極地開展觀察、思考和探究活動(dòng)，對(duì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)將有積極的推動(dòng)．

　　四、對(duì)教學(xué)的幾個(gè)建議

　　1．注意由淺入深、循序漸進(jìn)地建立函數(shù)與方程的關(guān)系

　　對(duì)函數(shù)與方程的關(guān)系有一個(gè)逐步認(rèn)識(shí)的過(guò)程，教材遵循了由淺入深、循序漸進(jìn)的原則．分三步來(lái)展開這部分的內(nèi)容．第一步，從學(xué)生認(rèn)為較簡(jiǎn)單的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系，然后將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的情形．第二步，在用二分法求方程近似解的過(guò)程中，通過(guò)函數(shù)圖象和性質(zhì)研究方程的解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系．第三步，在函數(shù)模型的應(yīng)用過(guò)程中，通過(guò)建立函數(shù)模型以及模型的求解，更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系．

　　2．注意函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想

　　我們生活在一個(gè)充滿變化的多彩世界，其中存在大量問(wèn)題可以通過(guò)體現(xiàn)變量關(guān)系的函數(shù)模型得到解決，這就為函數(shù)的應(yīng)用的教學(xué)提供了大量的實(shí)際背景．在本章中，實(shí)際問(wèn)題情境貫穿于教科書的始終，無(wú)論是對(duì)幾種不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型的研究，還是對(duì)函數(shù)模型的應(yīng)用舉例的學(xué)習(xí)，都是在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)行的，全章大多數(shù)內(nèi)容都是圍繞實(shí)際問(wèn)題的討論而展開的，反映了函數(shù)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)系，能提高學(xué)生對(duì)函數(shù)是解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的一種重要數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)．

　　利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題是數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個(gè)重要方面．教材一方面注意讓學(xué)生認(rèn)識(shí)常見函數(shù)模型的特點(diǎn)，另一方面還注意選擇貼近學(xué)生生活實(shí)際的各種問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)過(guò)的函數(shù)模型分析和解決它們，使函數(shù)的學(xué)習(xí)與實(shí)際問(wèn)題緊密聯(lián)系，并在解決問(wèn)題的過(guò)程中將數(shù)學(xué)模型的思想逐步細(xì)化，從更高的層面上認(rèn)識(shí)函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題的關(guān)系．

　　3．注意以函數(shù)模型的應(yīng)用為主線，帶動(dòng)相關(guān)知識(shí)的展開

　　本章除了函數(shù)模型的應(yīng)用之外，還要介紹函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，用二分法求方程的近似解，以及幾種不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型．教科書在處理上，以函數(shù)模型的應(yīng)用這一內(nèi)容為主線，以幾個(gè)重要的函數(shù)模型為對(duì)象或工具，將各部分內(nèi)容緊密結(jié)合起來(lái)，使之成為一個(gè)系統(tǒng)的整體．教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意貫徹教科書的這個(gè)意圖，是學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)模型應(yīng)用的完整過(guò)程。

　　4．恰當(dāng)使用信息技術(shù)

　　本章的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)充分使用信息技術(shù)。實(shí)際上，本章的一些內(nèi)容，因?yàn)樯婕按髷?shù)字運(yùn)算、大量的數(shù)據(jù)處理、超越方程求解以及復(fù)雜的函數(shù)作圖，因此如果沒(méi)有信息技術(shù)的支持，教學(xué)是不容易展開的。因此，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)信息技術(shù)的使用力度。

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