第三章《指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)》章末檢測
(時(shí)間90分鐘，滿分120分)
一、(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分)
1．化簡[3－52] 的結(jié)果為(　　)
A．5　　　　　　　　　　　B.5
C．－5 D．－5
解析：[3－52] ＝(352) ＝5 × ＝5 ＝5.
答案：B
2．若log513•log36•log6x＝2，則x等于(　　)
A．9 B.19
C．25 D.125
解析：由換底公式，得lg 13lg 5•lg 6lg 3•lg xlg 6＝2，
∴－lg xlg 5＝2.
∴l(xiāng)g x＝－2lg 5＝lg 125.∴x＝125.
答案：D
3．(2015•江西高考)若f(x)＝ ，則f(x)的定義域?yàn)?　　)
A．(－12，0) B．(－12，0]
C．(－12，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：f(x)要有意義，需log (2x＋1)>0，
即0<2x＋1<1，解得－12<x<0.
答案：A
4．函數(shù)y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是(　　)
A．a(chǎn)>1 B．a(chǎn)>2
C．a(chǎn)>2 D ．1<a<2
解析：由0<a2－1<1得1<a2<2，
∴1<a<2.
答案：D
5．函數(shù)y＝ax－1的定義域是(－∞，0]，則a的取值范圍是(　　)
A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)>1
C．0<a<1 D．a(chǎn)≠1
解析：由ax－1≥0得ax≥1，又知此函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0]，即當(dāng)x≤0時(shí)，ax≥1恒成立，∴0<a<1.
答案：C
6．函數(shù)y＝x12xx的圖像的大致 形狀是(　　)

解析：原函數(shù)式化為y＝12x，x>0，－12x，x<0.
答案：D
7．函數(shù)y＝3x－1－2，　　　x≤1，13x－1－2， x>1的值域是(　　)
A．(－2，－1) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－2，－1]
解析：當(dāng)x≤1時(shí)，0<3x－1≤31－1＝1，
∴－2<3x－1－2≤－1.
當(dāng)x>1時(shí)，(13)x<(13)1，∴0<(13)x－1<(13)0＝1，
則－2< (13)x－1－2 <1－2＝－1.
答案：D
8．某工廠6年來生產(chǎn)甲種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增大速度越來越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來生產(chǎn)甲種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖像為
(　　)

解析：由題意知前3年年產(chǎn)量增大速度越來越快， 可知在單位時(shí)間內(nèi)，C的值增大的很快，從而可判定結(jié)果．
答案：A
9．設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x－1，　x≥2，12x－1， x＜2，若f(x0)>1，則x0的取值范圍是(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0,2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1,3)
解析：當(dāng)x0≥2時(shí)，∵f(x0)>1，
∴l(xiāng)og2(x0－1)>1，即x0>3；當(dāng) x0<2時(shí)，由f(x0)>1得(12)x0－1>1，(12)x0>(12)－1，
∴x0<－1.
∴x0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
答案：C
10.函數(shù)f(x)＝loga(bx)的圖像如圖，其中a，b為常數(shù)．下列結(jié)論正確的是 (　　)
A．0<a<1，b>1
B．a(chǎn)>1,0<b<1
C．a(chǎn)>1，b>1
D．0<a<1,0<b<1
解析：由于函數(shù)單調(diào)遞增，∴a>1，
又f(1)>0，即logab>0＝loga1，∴b>1.
答案：C
二、題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
11．若函數(shù)y＝13x　x∈[－1，0]，3x x∈0，1]，則f(log3 )＝________.
解析：∵－1＝log3 <log3 <log31＝0，
∴f(log3 )＝(13)log3 ＝3－log3 ＝3log32＝2.
答案：2
12．化簡： • ＝________.
解析：原式＝ •
＝ •
＝a •a ＝a.[
答案：a
13．若函數(shù)y＝2x＋1，y＝b，y＝－2x－1三圖像無公共點(diǎn)，結(jié)合圖像求b的取值范圍為________．
解析：如圖．

當(dāng)－1≤b≤1時(shí)，此三函數(shù)的圖像無公共點(diǎn)．
答案：[－1,1]
14．已知f(x)＝log3x的值域是[－1,1]，那么它的反函數(shù)的值域?yàn)開_______．
解析：∵－1≤log3x≤1，
∴l(xiāng)og313≤log3x≤log33，∴13≤x ≤3.
∴f(x)＝log3x的定義域是[13，3]，
∴f(x)＝log3x的反函數(shù)的值域是[13，3]．
答案：[13，3]
三、解答題(本大題共4個(gè)小題，共50分)
15．(12分)設(shè)函數(shù)y＝2x＋1－x－1.
(1)討論y＝f(x)的單調(diào)性， 作出其圖像；
(2)求f(x)≥22的解集．
解：(1)y＝22，　　x≥1，22x， －1≤x<1，2－2， x<－1.
當(dāng)x≥1或x<－1時(shí)，y＝f(x)是常數(shù)函數(shù)不具有單調(diào)性，
當(dāng)－1≤x<1時(shí)，y＝4x單調(diào)遞增，
故y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1,1)，其圖像如圖．

(2)當(dāng) x≥1時(shí)，y＝4≥22成立，
當(dāng)－1≤x<1時(shí)，由y＝22x≥22＝2×2 ＝2 ，
得2x≥32，x≥34，∴34≤x<1，
當(dāng)x<－1時(shí)，y＝2－2＝14<22不成立，
綜上，f(x)≥22的解集為[34，＋∞)．
16．(12分)設(shè)a>1，若對于任意的x∈[a,2a ]，都有y∈[a，a2]滿足方程logax＋logay＝3，求a的取值范圍．
解：∵logax＋logay＝3，∴l(xiāng)ogaxy＝3.
∴xy＝a3.∴y＝a3x.
∴函數(shù)y＝a3x(a>1)為減函數(shù)，
又當(dāng)x＝a時(shí)，y＝a2，當(dāng)x＝2a時(shí)，y＝a32a＝a22 ，
∴a22，a2⊆[a，a2]．∴a22≥a.
又a>1，∴a≥2.∴a的取值范圍為a≥2.
17．(12分)若－3≤log12x≤－12，求f(x)＝(log2x2)•(log2x4)的最大值和最小 值．
解：f(x)＝(log2x－1)(log2x－2)
＝(log2x)2－3log2x＋2＝(log2x－32)2－14.
又∵－3≤log x≤－12，∴12≤log2x≤3.
∴當(dāng)log2x＝32時(shí)，f(x)in＝f(22)＝－14；
當(dāng)log2x＝3時(shí)，f(x)ax＝f(8)＝2.
18．(14分)已知函數(shù)f(x)＝2x－12x＋1，
(1)證明函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)；
(2)求函數(shù)f(x)的值域；
(3)令g(x)＝xfx，判定函數(shù)g(x)的奇偶性，并證明．
解：(1)證明：設(shè)x1，x2是R內(nèi)任意兩個(gè)值，且x1<x2，則x2－x1>0，y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝2x2－12x2＋1－2x1－12x1＋1 ＝2•2x2－2•2x12x1＋12x2＋1＝22x2－2x12x1＋12x2＋1，
當(dāng)x1<x2時(shí)，2x1<2x2，∴2x2－2x1>0.
又2x1＋1>0,2x2＋1>0，∴y2－y1>0，
∴f(x)是R上的增函數(shù)；
(2)f(x)＝2x＋1－22x＋1＝1－22x＋1，
∵2x＋1>1，∴0<22x＋1<2，
即－2<－22x＋1<0，∴－1<1－22x＋1<1.
∴f(x)的值域?yàn)?－1,1)；
(3)由題意知g(x)＝xfx＝2x＋12x－1•x，
易知函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，
g(－x)＝(－x)•2－x＋12－x－1＝(－x)•1＋2x1－2x＝x•2x＋12x－1＝g(x)，
∴函數(shù)g(x)為偶函數(shù)．


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