32．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學（理）試題（含答案））橢圓 的左、右焦點分別是 ,離心率為 ,過 且垂直于 軸的直線被橢圓 截得的線段長為1.
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)點 是橢圓 上除長軸端點外的任一點,連接 ,設 的角平分線 交 的長軸于點 ,求 的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,過 點作斜率為 的直線 ,使得 與橢圓 有且只有一個公共點,設直線 的斜率分別為 ,若 ,試證明 為定值,并求出這個定值.
【答案】解:(Ⅰ)由于 ,將 代入橢圓方程 得
由題意知 ,即 又
所以 , 所以橢圓方程為
(Ⅱ)由題意可知: = , = ,設 其中 ,將向量坐標代入并化簡得:( ,因為 ,
所以 ,而 ,所以
(3)由題意可知,l為橢圓的在p點處的切線,由導數(shù)法可求得,切線方程為:
,所以 ,而 ,代入 中得
為定值.
33．（高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如圖,已知曲線 ,曲線 ,P是平面上一點,若存在過點P的直線與 都有公共點,則稱P為“C1—C2型點”.
(1)在正確證明 的左焦點是“C1—C2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);
(2)設直線 與 有公共點,求證 ,進而證明原點不是“C1—C2型點”;
(3)求證:圓 內的點都不是“C1—C2型點”.
【答案】:(1)C1的左焦點為 ,過F的直線 與C1交于 ,與C2交 于 ,故C1的左焦點為“C1-C2型點”,且直線可以為 ;
(2)直線 與C2有交點,則
,若方程組有解,則必須 ;
直線 與C2有交點,則
,若方程組有解,則必須
故直線 至多與曲線C1和C2中的一條有交點,即原點不是“C1-C2型點”.
(3)顯然過圓 內一點的直線 若與曲線C1有交點,則斜率必存在;
根據(jù)對稱性,不妨設直線 斜率存 在且與曲線C2交于點 ,則
直線 與圓 內部有交點,故
化 簡得, ............①
若直線 與曲線C1有交點,則
化簡得, .....②
由①②得,
但此時,因為 ,即①式不成立;
當 時,①式也不成立
綜上, 直線 若與圓 內有交點,則不可能同時與曲線C1和C2有交點,
即圓 內的點都不是“C1-C2型點” .
34．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學（理）試題（純WORD版））如圖,在正方形 中, 為坐標原點,點 的坐標為 ,點 的坐標為 .分別將線段 和 十等分,分點分別記為 和 ,連結 ,過 做 軸的垂線與 交于點 .
(1)求證:點 都在同一條拋物線上,并求該拋物線 的方程;
(2)過點 做直線與拋物線 交于不同的兩點 ,若 與 的面積比為 ,求直線的方程.
【答案】解:(Ⅰ)依題意,過 且與x軸垂直的直線方程為
, 直線 的方程為
設 坐標為 ,由 得: ,即 ,
都在同一條拋物線上,且拋物線 方程為
(Ⅱ)依題意:直線的斜率存在,設直線的方程為
由 得
此時 ,直線與拋物線 恒有兩個不同的交點
設: ,則
又 ,
分別帶入 ,解得
直線的方程為 ,即 或
35．（高考湖南卷（理））過拋物線 的焦點F作斜 率分別為 的兩條不同的直線 ,且 , 相交于點A,B, 相交于點C,D.以AB,CD為直徑的圓,圓N(,N為圓心)的公共弦所在的直線記為 .
(I)若 ,證明; ;
(II)若點到直線 的距離的最小值為 ,求拋物線E的方程.
36．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學（理）試題（純WORD版））如圖,點 是橢圓 的一個頂點, 的長軸是圓 的直徑. 是過點 且互相垂直的兩條直線,其中 交圓 于兩點, 交橢圓 于另一點
(1)求橢圓 的方程; (2)求 面積取最大值時直線 的方程.
【答案】解:(Ⅰ)由已知得到 ,且 ,所以橢圓的方程是 ;
(Ⅱ)因為直線 ,且都過點 ,所以設直線 ,直線 ,所以圓心 到直線 的距離為 ,所以直線 被圓 所截的弦 ;
由 ,所以
,所以
,
當 時等號成立,此時直線
37．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學（理）試題（含答案））如題(21)圖,橢圓的中心為原點 ,長軸在 軸上,離心率 ,過左焦點 作 軸的垂線交橢圓于 兩點, .
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)取垂直于 軸的直線與橢圓相交于不同的兩點 ,過 作圓心為 的圓,使橢圓上的其余點均在圓 外.若 ,求圓 的標準方程.
38．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學（理）試題（純WORD版））設橢圓 的焦點在 軸上
(Ⅰ)若橢圓 的焦距為1,求橢圓 的方程;
(Ⅱ)設 分別是橢圓的左、右焦點, 為橢圓 上的第一象限內的點,直線 交 軸與點 ,并且 ,證明:當 變化時,點 在某定直線上.
【答案】解: (Ⅰ) .
(Ⅱ) .
由 .
所以動點P過定直線 .
39．（高考新課標1（理））已知圓 : ,圓 : ,動圓 與 外切并且與圓 內切,圓心 的軌跡為曲線 C.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ) 是與圓 ,圓 都相切的一條直線, 與曲線C交于A,B兩點,當 圓P的半徑最長時,求AB.
【答案】由已知得圓 的圓心為 (-1,0),半徑 =1,圓 的圓心為 (1,0),半徑 =3.
設動圓 的圓心為 ( , ),半徑為R. [:ww5ykj.Co]
(Ⅰ)∵圓 與圓 外切且與圓 內切,∴P+PN= = =4,
由橢圓的定義可知,曲線C是以,N為左右焦點,場半軸長為2,短半軸長為 的橢圓(左頂點除外),其方程為 .
(Ⅱ)對于曲線C上任意一點 ( , ),由于P-PN= ≤2,∴R≤2,
當且僅當圓P的圓心為(2,0)時,R=2.
∴當圓P的半徑最長時,其方程為 ,
當 的傾斜角為 時,則 與 軸重合,可得AB= .
當 的傾斜角不為 時,由 ≠R知 不平行 軸,設 與 軸的交點為Q,則 = ,可求得Q(-4,0),∴設 : ,由 于圓相切得 ,解得 .
當 = 時,將 代入 并整理得 ,解得 = ,∴AB= = .
當 =- 時,由圖形的對稱性可知AB= ,
綜上,AB= 或AB= .
40．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學（理）試題（含答案））設橢圓 的左焦點為F, 離心率為 , 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為 .
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 設A, B分別為橢圓的左右頂點, 過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點. 若 , 求k的值.
【答案】
41．（高考江西卷（理））如圖,橢圓 經(jīng)過點 離心率 ,直線 的方程為 .
(1)求橢圓 的方程;
(2) 是經(jīng)過右焦點 的任一弦(不經(jīng)過點 ),設直線 與直線 相交于點 ,記 的斜率分別為 問:是否存在常數(shù) ,使得 ?若存在求 的值;若不存在,說明理由.
【答案】解:(1)由 在橢圓上得, ①
依題設知 ,則 ②
②代入①解得 .
故橢圓 的方程為 .
(2)方法一:由題意可設 的斜率為 ,
則直線 的方程為 ③
代入橢圓方程 并整理,得 ,
設 ,則有
④
在方程③中令 得, 的坐標為 .
從而 .
注意到 共線,則有 ,即有 .
所以
⑤
④代入⑤得 ,
又 ,所以 .故存在常數(shù) 符合題意.
方法二:設 ,則直線 的方程為: ,
令 ,求得 ,
從而直線 的斜率為 ,
聯(lián)立 ,得 ,
則直線 的斜率為: ,直線 的斜率為: ,
所以 ,
故存在常數(shù) 符合題意.
42．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學（理）卷（純WORD版））已知拋物線 的頂點為原點,其焦點 到直線 : 的距離為 .設 為直線 上的點,過點 作拋物線 的兩條切線 ,其中 為切點.
(Ⅰ) 求拋物線 的方程;
(Ⅱ) 當點 為直線 上的定點時,求直線 的方程;
(Ⅲ) 當點 在直線 上移動時,求 的最小值.
【答案】(Ⅰ) 依題意,設拋物線 的方程為 ,由 結合 ,解得 .
所以拋物線 的方程為 .
(Ⅱ) 拋物線 的方程為 ,即 ,求導得
設 , (其中 ),則切線 的斜率分別為 , ,
所以切線 的方程為 ,即 ,即
同理可得切線 的方程為
因為切線 均過點 ,所以 ,
所以 為方程 的兩組解.
所以直線 的方程為 .
(Ⅲ) 由拋物線定義可知 , ,
所以
聯(lián)立方程 ,消去 整理得
由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得 ,
所以
又點 在直線 上,所以 ,
所以
所以當 時, 取得最小值,且最小值為 .
43．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標Ⅱ卷數(shù)學（理）（純WORD版含答案））平面直角坐標系 中,過橢圓 的右焦點 作直 交 于 兩點, 為 的中點,且 的斜率為 .
(Ⅰ)求 的方程;
(Ⅱ) 為 上的兩點,若四邊形 的對角線 ,求四邊形 面積的最大值.
【答案】
44．（高考湖北卷（理））如圖,已知橢圓 與 的中心在坐標原點 ,長軸均為 且在 軸上,短軸長分別為 , ,過原點且不與 軸重合的直線 與 , 的四個交點按縱坐標從大到小依次為 , , , .記 , 和 的面積分別為 和 .
(I)當直線 與 軸重合時,若 ,求 的值;
(II)當 變化時,是否存在與坐標軸不重合的直線 ,使得 ?并說明理由.
【答案】解:(I) ,
解得: (舍去小于1的根)
(II)設橢圓 , ,直線 :
同理可得,
又 和 的的高相等
如果存在非零實數(shù) 使得 ,則有 ,
即: ,解得
當 時, ,存在這樣的直線 ;當 時, ,不存在這樣的直線 .
45．（高考北京卷（理））已知A、B、C是橢圓W: 上的三個點,O是坐標原點.
(I)當點B是W的右頂點,且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積;
(II)當點B不是W的頂點時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由.
【答案】解:(I)橢圓W: 的右頂點B的坐標為(2,0).因為四邊形OABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分. 所以可設A(1, ),代入橢圓方程得 ,即 . 所以菱形OABC的面積是 .
(II)假設四邊形OABC為菱形. 因為點B不是W的頂點,且直線AC不過原點,所以可設AC的方程為 .
由 消去 并整理得 .
設A ,C ,則 , .
所以AC的中點為( , ).
因為為AC和OB的交點,所以直線OB的斜率為 .
因為 ,所以AC與OB不垂直. 所以OABC不是菱形,與假設矛盾.
所以當點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形.
46．（高考陜西卷（理））已知動圓過定點A(4,0), 且在y軸上截得的弦N的長為8.
(Ⅰ) 求動圓圓心的軌跡C的方程;
(Ⅱ) 已知點B(-1,0), 設不垂直于x軸的直線 與軌跡C交于不同的兩點P, Q, 若x軸是 的角平分線, 證明直線 過定點.
【答案】解:(Ⅰ) A(4,0),設圓心C
(Ⅱ) 點B(-1,0), .
直線PQ方程為:
所以,直線PQ過定點(1,0)
47．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù) 學（理）試題（WORD版））如圖,拋物線 ,點 在拋物線 上,過 作 的切線,切點為 ( 為原點 時, 重合于 ) ,切線 的斜率為 .
(I)求 的值;
(II)當 在 上運動時,求線段 中點 的軌跡方程.
【答案】
48．（普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學（理）WORD版含答案（已校對））已知雙曲線 的左、右焦點分別為 ,離心率為 直線 與 的兩個交點間的距離為 .
(I)求 ;
(II)設過 的直線 與 的左、右兩支分別相交于 兩點,且 ,證明: 成等比數(shù)列.
【答案】
49．（上海市春季高考數(shù)學試卷(含答案)）本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分6分.
已知拋物線 的焦點為 .
(1)點 滿足 .當點 在拋物線 上運動時,求動點 的軌跡方程;
(2)在 軸上是否存在點 ,使得點 關于直線 的對稱點在拋物線 上?如果存在,求所有滿足條件的點 的坐標;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)設動點 的坐標為 ,點 的坐標為 ,則 ,
因為 的坐標為 ,所以 ,
由 得 .
即 解得
代入 ,得到動點 的軌跡方程為 .
(2)設點 的坐標為 .點 關于直線 的對稱點為 ,
則 解得
若 在 上,將 的坐標代入 ,得 ,即 或 .
所以存在滿足題意的點 ,其坐標為 和 .
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