●難點磁場
(★★★★★)設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對于所有的自然數(shù)n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.
(1)寫出數(shù)列{an}的前3項.
(2)求數(shù)列{an}的通項公式(寫出推證過程)
(3)令bn= (n∈N*)，求 (b1+b2+b3+…+bn－n).
●案例探究
［例1］已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，對一切n∈N*，都有 =an+1成立，求 .
命題意圖：本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式、數(shù)列的極限，以及運算能力和綜合分析問題的能力.屬★★★★★級題目.
知識依托：本題利用函數(shù)思想把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為方程問題非常明顯，而(2)中條件等式的左邊可視為某數(shù)列前n項和，實質(zhì)上是該數(shù)列前n項和與數(shù)列{an}的關(guān)系，借助通項與前n項和的關(guān)系求解cn是該條件轉(zhuǎn)化的突破口.
錯解分析：本題兩問環(huán)環(huán)相扣，(1)問是基礎(chǔ)，但解方程求基本量a1、b1、d、q，計算不準(zhǔn)易出錯；(2)問中對條件的正確認(rèn)識和轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.
技巧與方法：本題(1)問運用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為方程問題，思路較為自然，(2)問“借雞生蛋”構(gòu)造新數(shù)列{dn}，運用和與通項的關(guān)系求出dn，絲絲入扣.
解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，
∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，
∵d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，
∴ =q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，
∴bn=b?qn－1=4?(－2)n－1
(2)令 =dn，則d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*),
∴dn=an+1－an=2,
∴ =2,即cn=2?bn=8?(－2)n－1；∴Sn= ［1－(－2)n］.
∴
［例2］設(shè)An為數(shù)列{an}的前n項和，An= (an－1)，數(shù)列{bn}的通項公式為bn=4n+3;
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)把數(shù)列{an}與{bn}的公共項按從小到大的順序排成一個新的數(shù)列，證明：數(shù)列{dn}的通項公式為dn=32n+1;
(3)設(shè)數(shù)列{dn}的第n項是數(shù)列{bn}中的第r項，Br為數(shù)列{bn}的前r項的和；Dn為數(shù)列{dn}的前n項和，Tn=Br－Dn，求 .
命題意圖：本題考查數(shù)列的通項公式及前n項和公式及其相互關(guān)系；集合的相關(guān)概念，數(shù)列極限，以及邏輯推理能力.
知識依托：利用項與和的關(guān)系求an是本題的先決；(2)問中探尋{an}與{bn}的相通之處，須借助于二項式定理；而(3)問中利用求和公式求和則是最基本的知識點.
錯解分析：待證通項dn=32n+1與an的共同點易被忽視而寸步難行；注意不到r與n的關(guān)系，使Tn中既含有n，又含有r，會使所求的極限模糊不清.
技巧與方法：(1)問中項與和的關(guān)系為常規(guī)方法，(2)問中把3拆解為4－1，再利用二項式定理，尋找數(shù)列通項在形式上相通之處堪稱妙筆；(3)問中挖掘出n與r的關(guān)系，正確表示Br，問題便可迎刃而解.
解：(1)由An= (an－1)，可知An+1= (an+1－1)，
∴an+1－an= (an+1－an)，即 =3，而a1=A1= (a1－1)，得a1=3，所以數(shù)列是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列{an}的通項公式an=3n.
(2)∵32n+1=3?32n=3?(4－1)2n=3?［42n+C ?42n－1(－1)+…+C ?4?(－1)+(－1)2n］=4n+3，
∴32n+1∈{bn}.而數(shù)32n=(4－1)2n=42n+C ?42n－1?(－1)+…+C ?4?(－1)+(－1)2n=(4k+1)，
∴32n {bn}，而數(shù)列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=32n+1.
(3)由32n+1=4?r+3，可知r= ，
∴Br= ，
●錦囊妙計
1.數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂，要注意辨析數(shù)列中的項與數(shù)集中元素的異同.因此在研究數(shù)列問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性.
2.數(shù)列{an}前n 項和Sn與通項an的關(guān)系式：an=
3.求通項常用方法
①作新數(shù)列法.作等差數(shù)列與等比數(shù)列.
②累差疊加法.最基本形式是：an=(an－an－1+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1.
③歸納、猜想法.
4.數(shù)列前n項和常用求法
①重要公式
1+2+…+n= n(n+1)
12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1)
13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2
②等差數(shù)列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比數(shù)列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.
③裂項求和：將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加時抵消中間的許多項.應(yīng)掌握以下常見的裂項：
④錯項相消法
⑤并項求和法
數(shù)列通項與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法.
●殲滅難點訓(xùn)練
一、填空題
1.(★★★★★)設(shè)zn=( )n，(n∈N*)，記Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+…+｜zn+1－zn｜，則 Sn=_________.
2.(★★★★★)作邊長為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個圓內(nèi)作新的內(nèi)接正三角形，在新的正三角形內(nèi)再作內(nèi)切圓，如此繼續(xù)下去，所有這些圓的周長之和及面積之和分別為_________.
二、解答題
3.(★★★★)數(shù)列{an}滿足a1=2，對于任意的n∈N*都有an＞0,且(n+1)an2+an?an+1－
nan+12=0，又知數(shù)列{bn}的通項為bn=2n－1+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項an及它的前n項和Sn；
(2)求數(shù)列{bn}的前n項和Tn；
(3)猜想Sn與Tn的大小關(guān)系，并說明理由.
4.(★★★★)數(shù)列{an}中，a1=8,a4=2且滿足an+2=2an+1－an,(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn;
(3)設(shè)bn= (n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整數(shù)m，使得對任意n∈N*均有Tn＞ 成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.
5.(★★★★★)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=(m+1)－man.對任意正整數(shù)n都成立，其中m為常數(shù)，且m＜－1.
(1)求證：{an}是等比數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列{an}的公比q=f(m)，數(shù)列{bn}滿足：b1= a1,bn=f(bn－1)(n≥2,n∈N*).試問當(dāng)m為何值時， 成立？
6.(★★★★★)已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求數(shù)列{bn}的通項bn；
(2)設(shè)數(shù)列{an}的通項an=loga(1+ )(其中a＞0且a≠1),記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，試比較Sn與 logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.
7.(★★★★★)設(shè)數(shù)列{an}的首項a1=1，前n項和Sn滿足關(guān)系式：3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4…).
(1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為f(t)，作數(shù)列{bn}，使b1=1,bn=f( )(n=2,3,4…)，求數(shù)列{bn}的通項bn；
(3)求和：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1.
參考答案
難點磁場
解析：(1)由題意，當(dāng)n=1時，有 ，S1=a1，
∴ ，解得a1=2.當(dāng)n=2時，有 ，S2=a1+a2，將a1=2代入，整理得(a2－2)2=16，由a2＞0，解得a2=6.當(dāng)n=3時，有 ，S3=a1+a2+a3，將a1=2，a2=6代入，整理得(a3－2)2=64，由a3＞0，解得a3=10.故該數(shù)列的前3項為2，6，10.
(2）解法一：由(1）猜想數(shù)列{an}.有通項公式an=4n－2.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項公式是an=4n－2，(n∈N*）.
①當(dāng)n=1時，因為4×1－2=2，，又在(1)中已求出a1=2，所以上述結(jié)論成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立，即有ak=4k－2，由題意，有 ，將ak=4k－2.代入上式，解得2k= ，得Sk=2k2，由題意，有 ，Sk+1=Sk+ak+1，將Sk=2k2代入得( )2=2(ak+1+2k2)，整理得ak+12－4ak+1+4－16k2=0，由ak+1＞0，解得ak+1=2+4k，所以ak+1=2+4k=4(k+1)－2，即當(dāng)n=k+1時，上述結(jié)論成立.根據(jù)①②，上述結(jié)論對所有的自然數(shù)n∈N*成立.
解法二：由題意知 ，(n∈N*).整理得，Sn= (an+2)2,由此得Sn+1= (an+1+2)2，∴an+1=Sn+1－Sn= ［(an+1+2)2－(an+2)2］.整理得(an+1+an）(an+1－an－4)=0，由題意知an+1+an≠0，∴an+1－an=4，即數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其中a1=2，公差d=4.∴an=a1+(n－1)d=2+4(n－1)，即通項公式為an=4n－2.
解法三：由已知得 ,(n∈N*)①，所以有 ②，由②式得 ，整理得Sn+1－2 ? +2－Sn=0，解得 ，由于數(shù)列{an}為正項數(shù)列，而 ，因而 ，即{Sn}是以 為首項，以 為公差的等差數(shù)列.所以 = +(n－1) = n,Sn=2n2，
故an= 即an=4n－2(n∈N*).
(3)令cn=bn－1，則cn=
殲滅難點訓(xùn)練
一、
答案：1+
2.解析：由題意所有正三角形的邊長構(gòu)成等比數(shù)列{an}，可得an= ，正三角形的內(nèi)切圓構(gòu)成等比數(shù)列{rn}，可得rn= a,?
∴這些圓的周長之和c= 2π(r1+r2+…+rn)= a2，
面積之和S= π(n2+r22+…+rn2)= a2
答案：周長之和 πa，面積之和 a2
二、3.解：(1）可解得 ，從而an=2n，有Sn=n2+n，
(2)Tn=2n+n－1.
(3)Tn－Sn=2n－n2－1，驗證可知，n=1時，T1=S1，n=2時T2＜S2；n=3時，T3＜S3;n=4時，T4＜S4；n=5時，T5＞S5；n=6時T6＞S6.猜想當(dāng)n≥5時，Tn＞Sn，即2n＞n2+1
可用數(shù)學(xué)歸納法證明(略）.
4.解：(1）由an+2=2an+1－an an+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差數(shù)列，?
d= =－2,∴an=10－2n.
(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，當(dāng)n≤5時，Sn=－n2+9n，當(dāng)n＞5時，Sn=n2－9n+40，故Sn=
(3)bn=
；要使Tn＞ 總成立，需 ＜T1= 成立，即m＜8且m∈Z，故適合條件的m的最大值為7.
5.解：(1）由已知Sn+1=(m+1)－man+1?①，Sn=(m+1)－man②,由①－②，得an+1=man－man+1，即(m+1)an+1=man對任意正整數(shù)n都成立.
∵m為常數(shù)，且m＜－1
∴ ，即{ }為等比數(shù)列.
(2)當(dāng)n=1時，a1=m+1－ma1，∴a1=1，從而b1= .
由(1)知q=f(m)= ，∴bn=f(bn－1)= (n∈N*,且n≥2)
∴ ，即 ，∴{ }為等差數(shù)列.∴ =3+(n－1)=n+2，
(n∈N*).
6.解：(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，由題意得： 解得b1=1,d=3,
∴bn=3n－2.
(2)由bn=3n－2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+ )+…+loga(1+ )
=loga［(1+1)(1+ )…(1+ )］， logabn+1=loga .
因此要比較Sn與 logabn+1的大小，可先比較(1+1)(1+ )…(1+ )與 的大小，
取n=1時，有(1+1)＞
取n=2時，有(1+1)(1+ )＞ …
由此推測(1+1)(1+ )…(1+ )＞ ①
若①式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判定：
當(dāng)a＞1時，Sn＞ logabn+1，②
當(dāng)0＜a＜1時，Sn＜ logabn+1，③
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式.
(?)當(dāng)n=1時，已驗證①式成立.
(?)假設(shè)當(dāng)n=k時(k≥1），①式成立，即：
.那么當(dāng)n=k+1時，
這就是說①式當(dāng)n=k+1時也成立.
由(?）(?）可知①式對任何正整數(shù)n都成立.
由此證得：
當(dāng)a＞1時，Sn＞ logabn+1；當(dāng)0＜a＜1時，Sn＜ logabn+1?.
7.解：(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t.
∴a2= .
又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t，①
3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t②
①－②得3tan－(2t+3)an－1=0.
∴ ,n=2,3,4…,所以{an}是一個首項為1公比為 的等比數(shù)列；
(2)由f(t)= = ,得bn=f( )= +bn－1?.
可見{bn}是一個首項為1，公差為 的等差數(shù)列.
于是bn=1+ (n－1)= ;
(3)由bn= ,可知{b2n－1}和{b2n}是首項分別為1和 ，公差均為 的等差數(shù)列，于是b2n= ,
∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1?
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