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數(shù)列
1、數(shù)列的概念:數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集 (或它的有限子集 )的特殊函數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.
典例:1)已知 ,則在數(shù)列 的最大項(xiàng)為 ;
2)數(shù)列 的通項(xiàng)為 ,則 與 的大小關(guān)系為 ;
3)數(shù)列 的通項(xiàng)為 ,若 遞增,則實(shí)數(shù) 的取值范圍 ;
4)一給定函數(shù) 的圖象在下列圖中,并且對(duì)任意 ,由關(guān)系式 得到的數(shù)列 滿足 ,則該函數(shù)的圖象是( A )

A B C D
2.等差數(shù)列的有關(guān)概念:
(1)等差數(shù)列的判斷方法:
①定義法 、
②等差中項(xiàng)法 .
典例:設(shè) 是等差數(shù)列,求證:以bn= 為通項(xiàng)公式的數(shù)列 為等差數(shù)列.
(2)等差數(shù)列的通項(xiàng): 或 .
典例:1)等差數(shù)列 中, , ,則通項(xiàng) ;
2)首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列,從第10項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù),則公差的取值范圍是 ;
(3)等差數(shù)列的前 和: , .
典例:1)數(shù)列 中, , , ,則 -3 , = 10 ;
2)已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和 ,求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 （答: ）.
(4)等差中項(xiàng):若 成等差數(shù)列,則A叫做 與 的等差中項(xiàng),且 .
提醒:(1)等差數(shù)列的 公式中,涉及到5個(gè)元素: 其中 稱(chēng)作為基本元素.只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè),便可求出其余2個(gè),即知3求2.
(2)為減少運(yùn)算量,要注意設(shè)元的技巧:
如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差,可設(shè)為…, …（公差為 ）;
偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差,可設(shè)為…, ,…（公差為2 ）
3.等差數(shù)列的性質(zhì):
(1)當(dāng)公差 時(shí),等差數(shù)列的
①通項(xiàng)公式 是關(guān)于 的一次函數(shù),且斜率為公差 ;
所以, 1)若公差 ,則 為遞增等差數(shù)列;
2)若公差 ,則 為遞減等差數(shù)列,
3)若公差 ,則 為常數(shù)列.
②前 和 是關(guān)于 的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.
提醒:若 時(shí), 不是等差數(shù)列,但從第二項(xiàng)起(含第二項(xiàng))為等差數(shù)列.
(3)當(dāng) 時(shí),則有 ,特別地,當(dāng) 時(shí),則有 .
典例:1)等差數(shù)列 中, ,則 ＝ 27 ;
2)在等差數(shù)列 中, ,且 , 是其前 項(xiàng)和,則( B )
A. 都小于0, 都大于0 B. 都小于0, 都大于0　C. 都小于0, 都大于0　　 D. 都小于0, 都大于0　
(4)若 , 是等差數(shù)列,則 、 ( 、 是非零常數(shù))、 、 ,…也成等差數(shù)列(注:其新公差與原數(shù)列的公差關(guān)系為: ),而 成等比數(shù)列;若 是等比數(shù)列,且 ,則 是等差數(shù)列.
典例:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25,前2n項(xiàng)和為100,則它的前3n和為 225 ;
(5)等差數(shù)列 中,項(xiàng)數(shù)為偶數(shù) 時(shí), ;項(xiàng)數(shù)為奇數(shù) 時(shí), ,
(這里 即 ); .
典例:1)在等差數(shù)列中,S11＝22,則 ＝ 2 ;
2)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列 中, ,求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)(答:5;31).
(6)若等差數(shù)列 , 的前 和分別為 ,則 .
典例:若{ },{ }是等差數(shù)列,它們前 項(xiàng)和分別為 , ,若 ,則 .
(7)等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和 的最值求法:
法一(二次函數(shù)法):由 解析式結(jié)合二次函數(shù)圖象求解;
法二(通項(xiàng)比較法):具體操作如下
①當(dāng) 時(shí),可求 的最大值;第一,若 時(shí),顯然 ;若 時(shí),設(shè)前 項(xiàng)和最大,則應(yīng)滿足 ;特別地,當(dāng) 時(shí),則 ;
②當(dāng) 時(shí),可求 的最小值;第一,若 時(shí),顯然 ;若 時(shí),設(shè)前 項(xiàng)和最小,則應(yīng)滿足 ;特別地,當(dāng) 時(shí),則 ;
典例:1)等差數(shù)列 中, , ,則數(shù)列前 13 項(xiàng)和最大,最大值為 169 .
2)若 是等差數(shù)列,首項(xiàng) , ,則使前n項(xiàng)和 成立的最大正整數(shù)n是 4006 ;
4.等比數(shù)列的有關(guān)概念:
(1)等比數(shù)列的判斷方法:
①定義法 ,其中 ;
②等比中項(xiàng)法 或 .
注: 是數(shù)列 等比的 必要不充分條 .(想想為什么?)
典例:1)一個(gè)等比數(shù)列{ }共有 項(xiàng),奇數(shù)項(xiàng)之積為100,偶數(shù)項(xiàng)之積為120,則 為 ;
2)數(shù)列 中, 且 =1,若 ,求證:數(shù)列 是等比數(shù)列.
(2)等比數(shù)列的通項(xiàng): 或 .
典例:數(shù)列 等比, , , ,求 和公比 .(答: , 或2)
(3)等比數(shù)列的前 和:當(dāng) 時(shí), ;當(dāng) 時(shí), .
典例:1)等比數(shù)列中, , ,求 （答:44）;
2)已知 等比,其 成等差數(shù)列,則公比 .
特別提醒:等比數(shù)列前 項(xiàng)和公式有兩種形式,為此在求等比數(shù)列前 項(xiàng)和時(shí),首先要判斷公比 是否為1,再由 的情況選擇求和公式的形式,當(dāng)不能判斷公比 是否為1時(shí),要對(duì) 分 和 兩種情形討論求解.
（4）等比中項(xiàng):若 成等比數(shù)列,那么A叫做 與 的等比中項(xiàng).
提醒:不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng),只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng),且有兩個(gè) .
典例:兩個(gè)正數(shù) 的等差中項(xiàng)為 ,等比中項(xiàng)為 ,則A與B的大小關(guān)系為 .
提醒:(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 和公式中,涉及到5個(gè)元素: 、 、 、 及 ,其中 、 稱(chēng)作為基本元素.只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè),便可求出其余2個(gè),即知3求2;
(2)為減少運(yùn)算量,要注意設(shè)元的技巧,如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比,可設(shè)為…, …（公比為 ）;但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí),不能設(shè)為… ,…,因公比不一定為正數(shù),只有公比為正時(shí)才可如此設(shè),且公比為 .
典例:有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)成等比數(shù)列,且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12,求此四個(gè)數(shù).(答:15,,9,3,1或0,4,8,16)
5.等比數(shù)列的性質(zhì):
(1)當(dāng) 時(shí),則有 ,特別地,當(dāng) 時(shí),則有 .
典例:1)在等比數(shù)列 中, ,公比q是整數(shù),則 = 512 ;
2)等比數(shù)列 中,若 ,則 10 .
(2)若 是等比數(shù)列,則 、 、 成等比數(shù)列;若 成等比數(shù)列,則 、 成等比數(shù)列;
若 是等比數(shù)列,且公比 ,則數(shù)列 ,…也是等比數(shù)列(其新公比與原數(shù)列公比之間關(guān)系式為 ).
注:當(dāng) ,且 為偶數(shù)時(shí),數(shù)列 ,…是常數(shù)數(shù)列0,它不是等比數(shù)列.
典例:1)已知 且 ,設(shè)數(shù)列 滿足 ,且
,則 ;
2)在等比數(shù)列 中, 為其前n項(xiàng)和,若 ,則 的值為 40 .
(3)若 ,則 為遞增數(shù)列;若 ,則 為遞減數(shù)列;
若 ,則 為遞減數(shù)列;若 ,則 為遞增數(shù)列;
若 ,則 為擺動(dòng)數(shù)列;若 ,則 為常數(shù)列.
(4)當(dāng) 時(shí), ,這里 ,但 ,這是等比數(shù)列前 項(xiàng)和公式的一個(gè)特征,據(jù)此很容易根據(jù) ,判斷數(shù)列 是否為等比數(shù)列.
典例:1)若 是等比數(shù)列,且其前 項(xiàng)和 滿足: ,則 ＝ -1 .
2)等比數(shù)列 前 項(xiàng)和 等差數(shù)列 前 項(xiàng)和 則 -1 .
(5) .
典例:1)設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ,若 成等差數(shù)列,則 的值 -2 .
2)在等比數(shù)列 中,公比 ,設(shè)前 項(xiàng)和為 .若 ,則 的大小關(guān)系是( B )
A. B. C. D. 不確定
(6)數(shù)列 等比,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù) 時(shí), ;項(xiàng)數(shù)為奇數(shù) 時(shí), .
(7)如果數(shù)列 既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列,那么數(shù)列 是非零常數(shù)數(shù)列.
提醒:故常數(shù)數(shù)列 僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條.
典例:設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,關(guān)于數(shù)列 有下列三個(gè)命題:
①若 ,則 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列;
②若 ,則 是等差數(shù)列;
③若 ,則 是等比數(shù)列.這些命題中,真命題的序號(hào)是 ②③ .
6.數(shù)列的通項(xiàng)求法:
⑴公式法:①等差數(shù)列通項(xiàng)公式;②等比數(shù)列通項(xiàng)公式.
典例:已知數(shù)列 試寫(xiě)出其一個(gè)通項(xiàng)公式: .
⑵已知 (即 )求 ,用作差法: .
典例:1)已知 的前 項(xiàng)和滿足 ,求 .（答: ）;
2)數(shù)列 滿足 ,求 .（答: ）
⑶已知 求 ,用作商法: .
典例:數(shù)列 中, 對(duì)所有的 都有 ,則 .
⑷若 求 用累加法:
典例:已知數(shù)列 滿足 , ,則 = .
⑸已知 求 ,用累乘法: .
典例:已知數(shù)列 中, ,前 項(xiàng)和 ,若 ,求 （答: ）
⑹已知遞推關(guān)系求 ,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)..
(1)形如 、 ( 為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為 的等比數(shù)列后,再求 .
典例:1)已知 ,求 (答: );
2)已知 ,求 (答: );
(2)形如 的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng).
典例:1)已知 ,求 (答: );
2)已知數(shù)列滿足 =1, ,求 (答: )
注意:(1)用 求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),你注意到此等式成立的條了嗎？（ ,當(dāng) 時(shí), ）;
(2)一般地當(dāng)已知條中含有 與 的混合關(guān)系時(shí),常需運(yùn)用關(guān)系式 ,先將已知條轉(zhuǎn)化為只含 或 的關(guān)系式,然后再求解.
典例:數(shù)列 滿足 ,求 (答: )
7.數(shù)列求和的常用方法:
(1)公式法:①等差數(shù)列求和公式;②等比數(shù)列求和公式.③其它常用公式:
; ; .
, .
典例:1)等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ,則 ＝ ;
2)計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的.二進(jìn)制即”逢2進(jìn)1”,如 表示二進(jìn)制數(shù),將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是 ,那么將二進(jìn)制 轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是 .
(2)分組求和法:在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí),常將“和式”中“同類(lèi)項(xiàng)”先合并在一起,再運(yùn)用公式法求和.
典例:求 （答: ）
(3)并項(xiàng)法求和:將數(shù)列的每?jī)身?xiàng)(或多項(xiàng))并到一起后,再求和,這種方法常適用于擺動(dòng)數(shù)列的求和.
典例:求 （答: ;先分奇偶性討論）
(4)倒序相加法:將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)排序,它與原數(shù)列相加時(shí),若有公因式可提,并且剩余的項(xiàng)易于求和.(這也是等差數(shù)列前 和公式的推導(dǎo)方法).
典例:已知 ,則 ＝
(4)錯(cuò)位相減法:如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成,那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前 和公式的推導(dǎo)方法).
典例:1)設(shè) 為等比數(shù)列, ,已知 , .
①求數(shù)列 的首項(xiàng)和公比;(答: , )
②求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.（答: ）
2)若 ,數(shù)列 滿足 .
①求證:數(shù)列 是等比數(shù)列;(答:略;)
②令 ,求函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù) ,并比較 與 的大小.(答: ,當(dāng) 時(shí), ＝ ;當(dāng) 時(shí), < ;當(dāng) 時(shí), > ).
(5)裂項(xiàng)相消法:如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式,且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián),那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有:
① ;② ;
③ , ;
④ ;⑤ ;
⑥ .
⑦
典例:1)求和: ;
2)在數(shù)列 中, ,且Sｎ＝９,則n＝ 99 ;
(6)通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法:先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形,發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征,再運(yùn)用分組求和法求和.
典例:1)求數(shù)列1×4,2×5,3×6,…, ,…前 項(xiàng)和 = ）;
2)求和 .
8.“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問(wèn)題
(1)這類(lèi)應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題.但在求解過(guò)程中,務(wù)必“卡手指”,細(xì)心計(jì)算“年限”.對(duì)于“森林木材”既增長(zhǎng)又砍伐的問(wèn)題,則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決.
(2)利率問(wèn)題:
①單利問(wèn)題:如零存整取儲(chǔ)蓄(單利)本利和計(jì)算模型:若每期存入本金 元,每期利率為 ,則 期后本利和為: .(等差數(shù)列問(wèn)題);
②復(fù)利問(wèn)題:按揭貸款的分期等額還款(復(fù)利)模型:若貸款(向銀行借款) 元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,分 期還清.如果每期利率為 (按復(fù)利),那么每期等額還款 元應(yīng)滿足:
(等比數(shù)列問(wèn)題).
典例:1)從2008年到2011年期間,甲每年6月1日都到銀行存入 元的一年定期儲(chǔ)蓄.若年利率為 保持不變,且每年到期的存款本息均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期,到2012年6月1日,甲去銀行不再存款,而是將每年所有的存款的本息全部取回,則取回的金額是( D )
A. B. C. D.
2)陳老師購(gòu)買(mǎi)安居工程集資房 ,單價(jià)為1000元/ ,一次性國(guó)家財(cái)政補(bǔ)貼28800元,學(xué)校補(bǔ)貼14400元,余款由個(gè)人負(fù)擔(dān).房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司對(duì)教師實(shí)行分期付款,即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款時(shí)所生的利息合計(jì),應(yīng)等于個(gè)人負(fù)擔(dān)的購(gòu)買(mǎi)房余款的現(xiàn)價(jià)以及這個(gè)余款現(xiàn)價(jià)到最后一次付款時(shí)所生利息之和,每期為一年,等額付款,簽訂購(gòu)房合同后一年付款一次,再過(guò)一年又付款一次,等等,共付10次,10年后付清.如果按年利率7.5%,每年復(fù)利一次計(jì)算(即本年利息計(jì)入次年的本金生息),那么每年付款多少元?(參考數(shù)據(jù): )
【解】由題知余款額為 元;
設(shè)每期(年)付款為 元,依題意得,

所以 元.

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