2015年全國各地高考文科數(shù)學試題分類匯編7：立體幾何
一、
1 ．（2015年高考重慶卷（文））某幾何體的三視圖如題(8)所示,則該幾何體的表面積為
（ �。�
A． B． C． D．
【答案】D
2 ．（2015年高考課標Ⅱ卷（文））一個四面體的頂點在空間直角坐標系 中的坐標分別是 ,畫該四面體三視圖中的正視圖時,以 平面為投影面,則得到正視圖可以為
（ �。�
A．B．C．D．
【答案】A
3 ．（2015年高考課標Ⅰ卷（文））某幾何函數(shù)的三視圖如圖所示,
則該幾何的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4 ．（2015年高考大綱卷（文））已知正四棱錐
的正弦值等于（ �。�
A． B． C． D．
【答案】A
5 ．（2015年高考四川卷（文））一個幾何體的三視圖如圖所示,
則該幾何體可以是（ �。�
A．棱柱B．棱臺C．圓柱D．圓臺
【答案】D
6 ．（2015年高考浙江卷（文））已知某幾何體的三視圖(單位:c)如圖所示,
則該幾何體的體積是（ �。�
A．108c3B．100 c3C．92c3D．84c3
【答案】B
7 ．（2015年高考北京卷（文））如圖,在正方體 中, 為
對角線 的三等分點,則 到各頂點的距離的不同取值有 （ �。�
A．3個B．4個C．5個D．6個
【答案】B
8 ．（2015年高考廣東卷（文））某三棱錐的三視圖如圖 2所示,則該三棱錐
的體積是（ �。�
A． B． C． D．
【答案】B
9 ．（2015年高考湖南（文））已知正方體的棱長為1,其俯視圖是一個面積為1
的正方形,側(cè)視圖是一個面積為 的矩形,則該正方體的正視圖的面積等于（ �。�
A． B．1C． D．
【答案】D
10．（2015年高考浙江卷（文））設.n是兩條不同的直線,α.β是兩個不同的平面,（ �。�
A．若∥α,n∥α,則∥nB．若∥α,∥β,則α∥β
C．若∥n,⊥α,則n⊥αD．若∥α,α⊥β,則⊥β
【答案】C
11．（2015年高考遼寧卷（文））已知三棱柱 的6個頂點都在球 的球面上,若 , , ,則球 的半徑為（ �。�
A． B． C． D．
【答案】C
12．（2015年高考廣東卷（文））設 為直線, 是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（ �。�
A．若 , ,則 B．若 , ,則
C．若 , ,則 D．若 , ,則
【答案】B
13．（2015年高考山東卷（文 ））一個四棱錐的側(cè)棱長都相等,底面是正方形,其正(主)
視圖如右圖所示該四棱錐側(cè)面積和體積分別是（ ）
A． B． C． D．8,8
【答案】B
14．（2015年高考江西卷（文））一幾何體的三視圖如右所示,則該幾何體
的體積為（ �。�
A．200+9πB．200+18πC．140+9πD．140+18π
【答案】A
二、題
15．（2015年高考課標Ⅱ卷（文））已知正四棱錐O-ABCD的體積為 ,底面
邊長為 ,則以O為球心,OA為半徑的球的表面積為________.
【答案】
16．（2015年高考湖北卷（文））我國古代數(shù)學 名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題:在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中積水深九寸,則平地降雨量是__________寸.
(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸)
【答案】3
17．（2015年高考課標Ⅰ卷（文））已知 是球 的直徑 上一點, , 平面 , 為垂足, 截球 所得截面的面積為 ,則球 的表面積為_______.
【答案】 ;
18．（2015年高考北京卷（文））某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐的體積為__________.
【答案】3
19．（2015年高考陜西卷（文））某幾何體的三視圖如圖所示, 則其表面積為________.
【答案】
20．（2015年高考大綱卷（文））已知圓 和圓 是球 的大圓和小圓,其公共弦長等于球 的半徑, 則球 的表面積等于______.
【答案】
21．（2015年上海高考數(shù)學試題（文科））已知圓柱 的母線長為 ,底面半徑為 , 是上地面圓心, 、 是下底面圓周上兩個不同的點, 是母線,如圖.若 直線 與 所成角的大小為 ,則 ________.
【答案】
22．（2015年高考天津卷（文））已知一個正方體的所有頂點在一個球面上. 若球的體積為 , 則正方體的棱長為 ______.
【答案】
23．（2015年高考遼寧卷（文））某幾何體的三視圖如圖所示,則該
幾何體的體積是____________.
【答案】
24．（2015年高考江西卷（文））如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同
一平面α上,且AB//CD,則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)�數(shù)為_____________.
【答案】4
25．（2015年高考安徽（文））如圖,正方體
的棱長為1, 為 的中點,
為 線段 上的動點,過點 的平
面截該正方體所得的截面記為 ,則下列命題正確的是__________(寫出所有正確命題的編號).
①當 時, 為四邊形;②當 時, 為等腰梯形;
③當 時, 與 的交點 滿足 ;
④當 時, 為六邊形;⑤當 時, 的面積為 .
【答案】①②③⑤
三、解答題
26．（2015年高考遼寧卷（文））如圖,
(I)求證:
(II)設
【答案】
27．（2015年高考浙江卷（文））如圖,在在四棱錐P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G為線段PC上的點.
(Ⅰ)證明:BD⊥面PAC ;
(Ⅱ)若G是PC的中點,求DG與APC所成的角的正切值;
(Ⅲ)若G滿足PC⊥面BGD,求PGGC 的值.
【答案】解:證明:(Ⅰ)由已知得三角形 是等腰三角形,且底角等于30°,且 ,所以;、 ,又因為 ;
(Ⅱ)設 ,由(1)知 ,連接 ,所以 與面 所成的角是 ,由已知及(1)知: , ,所以 與面 所成的角的正切值是 ;
(Ⅲ)由已知得到: ,因為 ,在 中, ,設
28．（2015年高考陜西卷（文））如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ) 證明: A1BD // 平面CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的體積.
【答案】解: (Ⅰ) 設 .
.
.(證畢)
(Ⅱ) .
在正方形AB CD中,AO = 1 .
.
所以, .
29．（2015年高考福建卷（文））如圖,在四棱錐 中, , , ,
, , , .
(1)當正視圖方向與向量 的方向相同時,畫出四棱錐 的正視圖.
(要求標出尺寸,并畫出演算過程);
(2)若 為 的中點,求證: ;
(3)求三棱錐 的體積.
【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形 中,過點 作 ,垂足為 , 由已知得,四邊形 為矩形, ,在 中,由 , ,依勾股定理得:
,從而 ,又由 平面 得,
從而在 中,由 , ,得
正視圖如右圖所示:
(Ⅱ)取 中點 ,連結(jié) , ,在 中, 是 中點,
∴ , ,又 ,
∴ , , ∴四邊形 為平行四邊形,∴
又 平面 , 平面 , ∴ 平面
(Ⅲ) ,
又 , ,所以
解法二:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)取 的中點 ,連結(jié) ,
在梯形 中, ,且 ,∴四邊形 為平行四邊形
∴ ,又 平面 , 平面
∴ 平面 ,又在 中,
平面 , 平面
∴ 平面 .又 ,
∴平面 平面 ,又 平面
∴ 平面
(Ⅲ)同解法一
30．（2015年高考廣東卷（文））如圖4,在邊長為1的等邊三角形 中, 分別是 邊上的點, , 是 的中點, 與 交于點 ,將 沿 折起,得到如圖5所示的三棱錐 ,其中 .
(1) 證明: //平面 ;
(2) 證明: 平面 ;
(3) 當 時,求三棱錐 的體積 .
【答案】(1)在等邊三角形 中,
,在折疊后的三棱錐 中
也成立, , 平面 ,
平面 , 平面 ;
(2)在等邊三角形 中, 是 的中點,所以 ①,
.
在三棱錐 中, , ②
;
(3)由(1)可知 ,結(jié)合(2)可得 .
31．（2015年高考湖南（文））如圖2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC= ,AA1=3,D是BC的中點,點E在菱BB1上運動.
(I)證明:AD⊥C1E;
(II)當異面直線AC,C1E 所成的角為60°時,求三菱子C1-A2B1E的體積.
【答案】解: (Ⅰ) .
.
(證畢)
(Ⅱ) .
.
32．（2015年高考北京卷（文））如圖,在四棱錐 中, , , ,平面 底面 , , 和 分別是 和 的中點,求證:
(1) 底面 ;(2) 平面 ;(3)平面 平面
【答案】(I)因為平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于這個平面的交線AD
所以PA垂直底面ABCD.
(II)因為AB∥CD,CD=2AB,E為CD的中點
所以AB∥DE,且AB=DE
所以ABED為平行四邊形,
所以BE∥AD,又因為BE 平面PAD,AD 平面PAD
所以BE∥平面PAD.
(III)因為AB⊥AD,而且ABED為平行四邊形
所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD
所以CD⊥PD,因為E和F分別是CD和PC的中點
所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.
33．（2015年高考課標Ⅰ卷（文））如圖,三棱柱 中, ,
, .
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)若 , ,求三棱柱 的體積.
【答案】【答案】(I)取AB的中點O,連接 、 、 ,
因為CA=CB,所以 ,由于AB=A A1,∠BA A1=600,故 為等邊三角形,所以OA ⊥AB.
因為OC⨅OA =O,所以AB 平面OA C.又A CC平面OA C,故AB AC.
(II)由題設知
34．（2015年高考山東卷（文））如圖,四棱錐 中, , ,
分別為 的中點
(Ⅰ)求證: ;(Ⅱ)求證:
【答案】
35．（2015年高考四川卷（文））
如圖,在三棱柱 中,側(cè)棱 底面 , , ,
分別是線段 的中點, 是線段 上異于端點的點.
(Ⅰ)在平面 內(nèi),試作出過點 與平面 平行的直線 ,說明理由,并證明直線 平面 ;
(Ⅱ)設(Ⅰ)中的直線 交 于點 ,求三棱錐 的體積.
(錐體體積公式: ,其中 為底面面積, 為高)
【答案】解:(Ⅰ)如圖,在平面ABC內(nèi),過點 作直線 ,因為 在
平面 外,BC在平面 內(nèi),由直線與平面平行的判定定理可知, 平面 .
由已知, , 是BC中點,所以BC⊥ AD,則直線 ,
又因為 底面 ,所以 ,
又因為AD, 在平面 內(nèi),且AD與 相交,
所以直線 平面
(Ⅱ)過D作 于E,因為 平面 ,所以 ,
又因為AC, 在平面 內(nèi),且AC與 相交,所以 平面 ,
由 ,∠BAC ,有 ,∠DAC ,
所以在△ACD中, ,
又 ,所以
因此三棱錐 的體積為
36．（2015年高考湖北卷（文））如圖,某地質(zhì)隊自水平地面A,B,C三處垂直向地下鉆探,自A點向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏,再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無礦,從而得到在A處正下方的礦層厚度為 .同樣可得在B,C處正下方的礦層厚度分別為 , ,且 . 過 , 的中點 , 且與直線 平行的平面截多面體 所得的截面 為該多面體的一個中截面,其面積記為 .
(Ⅰ)證明:中截面 是梯形;
(Ⅱ)在△ABC中,記 ,BC邊上的高為 ,面積為 . 在估測三角形 區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲量(即多面體 的體積 )時,可用近似公式 來估算. 已知 ,試判斷 與V的大小關系,并加以證明.
【答案】(Ⅰ)依題意 平面 , 平面 , 平面 ,
所以A1A2∥B1B2∥C1C2. 又 , , ,且 .
因此四邊形 、 均是梯形.
由 ∥平面 , 平面 ,且平面 平面 ,
可得AA2∥E,即A1A2∥DE. 同理可證A1A2∥FG,所以DE∥FG.
又 、 分別為 、 的中點,
則 、 、 、 分別為 、 、 、 的中點,
即 、 分別為梯形 、 的中位線.
因此 , ,
而 ,故 ,所以中截面 是梯形.
(Ⅱ) . 證明如下:
由 平面 , 平面 ,可得 .
而E∥A1A2,所以 ,同理可得 .
由 是△ 的中位線,可得 即為梯形 的高,
因此 ,
即 .
又 ,所以 .
于是 .
由 ,得 , ,故 .
37．（2015年高考課標Ⅱ卷（文 ））如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E
分別是AB,BB1的中點.
(1)證明: BC1//平面A1CD;
(2)設AA1= AC=CB=2,AB=2 ,求三棱錐C一A1DE的體積.
【答案】
38．（2015年高考大綱卷（文））如圖,四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=900，BC=2AD，△PAB與△PAD
都是邊長為2的等邊三角形.
(I)證明:PB⊥CD； (II)求點A到平面PCD的距離.
【答案】(Ⅰ)證明:取BC的中點E,連結(jié)DE,則ABED為正方形.
過P作PO⊥平面ABCD,垂足為O.
連結(jié)OA,OB,OD,OE.
由 和 都是等邊三角形知PA=PB=PD,
所以OA=OB=OD,即點O為正方形ABED對角線的交點,
故 ,從而 .
因為O是BD的中點,E是BC的中點,
所以OE//CD.因此, .
(Ⅱ)解:取PD的中點F,連結(jié)OF,則OF//PB.
由(Ⅰ)知, ,故 .
又 , ,
故 為等腰三角形,因此, .
又 ,所以 平面PCD.
因為AE//CD, 平面PCD, 平面PCD,所以AE//平面PCD.
因此,O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離,而 ,
所以A至平面PCD的距離為1.
39．（2015年高考安徽（文））如圖,四棱錐 的底面 是
邊長為2的菱形, .已知 .
(Ⅰ)證明:
(Ⅱ)若 為 的中點,求三菱錐 的體積.
【答案】解:
(1)證明:連接 交于 點
又 是菱形
而 ⊥面 ⊥
(2) 由(1) ⊥面
=
40．（2015年上海高考數(shù)學試題（文科））如圖,正三棱錐
底面邊長為 ,高為 ,求該三棱錐的體積及表面積.
【答案】
41．（2015年高考天津卷（文））
如圖, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 側(cè)棱A1A⊥底面ABC,且各棱長均相等. D, E, F分別為棱AB, BC, A1C1的中點.
(Ⅰ) 證明EF//平面A1CD;
(Ⅱ) 證明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ) 求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.
【答案】
42．（2015年高考重慶卷（文））(本小題滿分12 分,(Ⅰ)小問5分,(Ⅱ)小問7分)
如題(19)圖,四棱錐 中, ⊥底面 , , ,
(Ⅰ)求證: ⊥平面 ;
(Ⅱ)若側(cè)棱 上的點 滿足 ,求三棱錐 的體積.
【答案】
43．（2015年高考江西卷（文））如圖,直四棱柱ABCD ? A1B1C1D1中,AB//CD,
AD⊥AB,AB=2,AD= ,AA1=3,E為CD上一點,DE=1,EC=3
(1)證明:BE⊥平面BB1C1C;
(2)求點B1 到平面EA1C1 的距離
【答案】解.(1)證明:過B作CD的垂線交CD于F,則
在
在 ,故
由
(2)
,
同理,
因此 .設點B1到平面 的距離為d,則
,從而
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