中山市2013—2014學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試本試卷共4頁(yè)，20小題，滿(mǎn)分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、統(tǒng)考考號(hào)、座位號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫(xiě)在答題卡上。2、每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題上。3、不可以使用計(jì)算器。4、考試結(jié)束，將答題卡交回，試卷不用上交。一選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)復(fù)數(shù)，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．設(shè)全集是實(shí)數(shù)集則圖中陰影部分所表示的集合是 （ ） A．B． C．D．3．已知向量，，若∥，則等于( )A．B．C．D．4．定義某種運(yùn)算，運(yùn)算原理如圖所示，則式子的值為（ ）A．4B．8C．11D．135．把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線(xiàn)折起，使得平面平面，形成三棱錐的正視圖與俯視圖如下圖所示，則側(cè)視圖的面積為 （ ）A． B． C． D． ．下列四個(gè)命題中，正確的有①兩個(gè)變量間的相關(guān)系數(shù)越小，說(shuō)明兩變量間的線(xiàn)性相關(guān)程度越低；②命題：“，”的否定：“，”；③用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫(huà)回歸效果，若越大，則說(shuō)明模型的擬合效果越好；④若，，，則．A．①③④B．①④C．③④D．②③．對(duì)、，運(yùn)算“”、“”定義為：=，=，則下列各式其中不恒成立的是（ ） �、泞脾洽華．⑴、⑶B．⑵、⑷C．⑴、⑵、⑶D．⑴、⑵、⑶、⑷ 8. 已知函數(shù)滿(mǎn)足，且時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )A．13B．12C．11D．10二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿(mǎn)分30分．9．已知函數(shù)，則 . 10．如圖，一不規(guī)則區(qū)域內(nèi)，有一邊長(zhǎng)為米的正方形，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地撒顆黃豆，數(shù)得落在正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）的黃豆數(shù)為顆，以此實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)出該不規(guī)則圖形的面積為 平方米.（用分?jǐn)?shù)作答）11．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是 ．12．已知,,則 .13．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，，則 .14．如圖, ，且，若，（其中），則終點(diǎn)落在陰影部分（含邊界）時(shí)，的取值范圍是 . 三、解答題： 本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．本題滿(mǎn)分12分設(shè)平面向量，，函數(shù).求函數(shù)的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;當(dāng),且時(shí),求的值.16．本題滿(mǎn)分12分某校從參加高三年級(jí)期末統(tǒng)考測(cè)試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示．估計(jì)這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分和眾數(shù)；假設(shè)在[90，100]段的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)都不相同，且都超過(guò)94分．若將頻率視為概率，現(xiàn)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從95，96，97，98，99，100這6個(gè)數(shù)中任意抽取2個(gè)數(shù)，有放回地抽取了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望． 17．（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，⊥平面， ，.是的中點(diǎn)，（Ⅰ）求證：平面⊥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值18．（本小題滿(mǎn)分14分） 數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，．（Ⅰ）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；求數(shù)列的前項(xiàng)和；（Ⅲ）若，數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．19（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）若，且對(duì)于任意恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；設(shè)函數(shù)，求證：20．本題滿(mǎn)分14分已知函數(shù)，（其中為常數(shù)）；（Ⅰ）如果函數(shù)和有相同的極值點(diǎn)，求的值；設(shè)，問(wèn)是否存在，使得，若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（Ⅲ）記函數(shù)，若函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．中山市2013—2014學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分． DAAD BCBC二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿(mǎn)分30分．9. ;10. 11. ; 12. ；13. 45；14. 三、解答題： 本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．本題滿(mǎn)分12分設(shè)平面向量，，函數(shù)。（Ⅰ）求函數(shù)的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（Ⅱ）當(dāng),且時(shí),求的值.15．解： 依題意………（2分） ………………………………………………（4分）（Ⅰ） 函數(shù)的值域是；………………………………………………（5分）令，解得………………（7分）所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.……………………（8分）（Ⅱ）由得,因?yàn)樗�以�?………………………（10分）……………………………………………………………………（12分）16．(本題滿(mǎn)分12分)某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示．（I）估計(jì)這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分；（II）假設(shè)在[90，100]段的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)都不相同，且都超過(guò)94分．若將頻率視為概率，現(xiàn)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從95，96，97，98，99，100這6個(gè)數(shù)中任意抽取2個(gè)數(shù)，有放回地抽取了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望． 16. 解：（I）利用中值估算抽樣學(xué)生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………（3分）眾數(shù)的估計(jì)值為75分 ……………（5分）所以，估計(jì)這次考試的平均分是72分． ……………（6分）（注：這里的眾數(shù)、平均值為估計(jì)量，若遺漏估計(jì)或大約等詞語(yǔ)扣一分）（II）從95， 96，97，98，99，100中抽2個(gè)數(shù)的全部可能的基本結(jié)果數(shù)是，有15種結(jié)果，學(xué)生的成績(jī)?cè)赱90，100]段的人數(shù)是0.005×10×80=4（人），這兩個(gè)數(shù)恰好是兩個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的基本結(jié)果數(shù)是，兩個(gè)數(shù)恰好是兩個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的概率 ……………（8分）隨機(jī)變量的可能取值為0、1、2、3，則有．∴∴變量的分布列為：0123P …………（10分） …………（12分） 解法二. 隨機(jī)變量滿(mǎn)足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),所以為二項(xiàng)分布, 即………（10分） …………（12分）17（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，⊥平面，，.是的中點(diǎn)，（Ⅰ）求證：平面⊥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值17解法一：（Ⅰ），，. ---------------------------------------------------------------------------------（2分, . 而, 平面. ………………………（4分. ………………………（5分（Ⅱ）連結(jié)、，取中點(diǎn)， 連結(jié) ， 則, ∵平面， ∴平面.過(guò)作交于，連結(jié)，則 就是二面角所成平面角. ………………………7分由，則.在中， 解得.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以. ………………………8分而，由勾股定理可得. ………………………9分. ………………………（10分（Ⅲ）延長(zhǎng)，過(guò)作垂直于，連結(jié)，又∵，∴⊥平面， 過(guò)作垂直于， 則, 所以平面, 即平面，所以在平面內(nèi)的射影是，是直線(xiàn)與平面所成的角.………………………12分. ..……………（14分解法二：以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則(0，0，0) , (2，0，0), (2，4，0) , (0，4，0) ，(0，2，1) , (0，0，2) . ……………………2分∴＝(2，0，0) , ＝(0，4，0) , ＝(0，0，2) , ＝(－2，0，0) ,＝(0，2，1) , ＝(2，4，0) . 　　 ……………………3分（Ⅰ）, .又, . 　 ………………………5分, , 而,∴平面⊥平面.　………7分（Ⅱ）設(shè)平面的法向量=,令，則.由即∴=. ………………………（9分平面的法向量＝(0，0，2) , .所以二面角所成平面角的余弦值是. ……………………（11分（Ⅲ）因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄渴?，而＝(－2，0，0) . 所以 . ………………………（13分 直線(xiàn)與平面所成角的正弦值 . ………………………（14分18．（本小題滿(mǎn)分14分） 數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，．（I）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（Ⅲ）若，數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．18．【解析】I）因?yàn)�，所�?① 當(dāng)時(shí)，，則，………………………………（1分② 當(dāng)時(shí)，，……………………2分所以，即，所以，而，……………………（3分所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以．…………4分（II）由(1)得．所以 ①，②，……………（5分②-①得：，……………（7分 .……………（9分（III）由(I)知……………（10分（1）當(dāng)時(shí)，成立；……………（11分（2）當(dāng)時(shí)，，，………………（13分所以. ………14分本題放縮方法不唯一,請(qǐng)酌情給分19. 已知函數(shù)，.（I）若，且對(duì)于任意恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（II）設(shè)函數(shù)，求證：19. 解:（Ⅰ）由可知是偶函數(shù)．于是對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意成立．………1分由得．①當(dāng)時(shí)，．此時(shí)在上單調(diào)遞增． 故，符合題意．…3分②當(dāng)時(shí)，．當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：……………………（4分單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在上，．依題意，，又．綜合①，②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．………………（7分（Ⅱ），又， ……………………（10分， ……………………（12分由此得:故成立. ………………14分20．本題滿(mǎn)分14分已知函數(shù)，（其中為常數(shù)）；（I）如果函數(shù)和有相同的極值點(diǎn)，求的廣東省中山市2014屆高三上學(xué)期期末考試（數(shù)學(xué)理）Word版
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