昆明三中-學(xué)年度高二年級(jí)上學(xué)期期中試題
數(shù) 學(xué)（理）
（共100分, 考試時(shí)間120分鐘）
第Ⅰ卷
一、選擇題（每小題3分，共36分. 每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求）
1．拋物線y2＝4x，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，)，則點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離等于( )
A.94 B．4 C.134 D．3
2．雙曲線x2＋y2＝1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則等于( )
A．－14 B．－4 C．4 D.14
3．命題：“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，則a＝b＝0”的逆否命題是( )
A．若a≠b≠0(a，b∈R)，則a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0(a，b∈R)，則a2＋b2≠0
C．若a≠0且b≠0(a，b∈R)，則a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0(a，b∈R)，則a2＋b2≠0
4.“>n>0”是“方程x2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的 ( )
A．充分而不必要條件 B． 充要條件
C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件
5．已知點(diǎn)P是拋物線y2＝4x上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到此拋物線準(zhǔn)線的距離為d1，到直線
x＋2y＋10＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值是 ( )
A．5 B．4 C.1155 D.115
6．設(shè)a∈R，則a＞1是1a＜1的 ( )
A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7. 已知橢圓x25＋y2＝1的離心率e＝105，則的值為 ( )
A3 B．3或253 C.15 D.15或5153
8．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是( )
A．1 B.15 C. 75 D. 35
9. 若雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的14，求該雙曲線的離心率是 ( )
A.5 B.62 C．233 D. 2
10．從拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P引其準(zhǔn)線的垂線，垂足為，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，且PF＝5，則△PF的面積為( )
A．56 B.2534 C．20 D．10
11．在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0，(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a的值為( )
A．－5 B．1 C．2 D．3
12．已知橢圓 與雙曲線 共焦點(diǎn)，則橢圓 的離心率 的取值范圍為
昆明三中-學(xué)年度高二年級(jí)上學(xué)期期中試題
數(shù) 學(xué)（理）
第Ⅱ卷
題號(hào)一二三總分
1718192021
得分
二、填空題：（本大題共4小題，每小題3分，共12分.）
13．命題“對(duì)任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是 ；
14．設(shè)實(shí)數(shù) 滿足 ，則 的最大值是 ；
15．經(jīng)過(guò)橢圓x22＋y2＝1的右焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A、B兩點(diǎn)．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OA→•OB→=
16．已知拋物線y2＝2px(p＞0)，過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則我們知道1AF＋1BF為定值，請(qǐng)寫(xiě)出關(guān)于橢圓的類(lèi)似的結(jié)論： _____________________________________ ___________；當(dāng)橢圓方程為x24＋y23＝1時(shí)，1AF＋1BF＝___________.
三、解答題：（本大題共5小題，共52分）
17．(本小題滿分10分)
設(shè)命題p：4x－3≤1；命題q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若┐p是┐q的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
18. （本小題滿分10分）
（1）求與橢圓 共焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)已知兩圓 ， ，動(dòng)圓 與兩圓一個(gè)內(nèi)切，一個(gè)外切，求動(dòng)圓圓心 的軌跡方程．
19．（本小題滿分10分）
如圖，已知點(diǎn)P在正方體 的對(duì)角線 上， .
（1）求DP與CC1所成角的大��；
（2）求DP與平面AA1D1D所成角的大小.
20．（本小題滿分10分）
如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2， ，且側(cè)面PAB是正三角形，平面 平面ABCD.
（1）求證： ；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E—BD—A的大小為 ，若存在，試求 的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
21．（本小題滿分12分）
已知圓C的方程為 ，過(guò)點(diǎn)（2，4）作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓 的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn).
（1）求橢圓T的方程；
（2）已知直線 與橢圓T相交于P，Q兩不同點(diǎn)，直線 方程為 ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求 面積的最大值.
昆明三中-學(xué)年度高二年級(jí)上學(xué)期期中試題
數(shù) 學(xué)（理）答案
一、選擇題：BADBC ABCCD DA
二、填空題：
13. 存在x∈R，x3－x2＋1＞0 14. 15. －13
16. 過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F的動(dòng)直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則1AF＋1BF為定值 43
三、解答題：
17.解析：解4x－3≤1得12≤x≤1.解q得a≤x≤a＋1.由題設(shè)條件得q是p的必要不充分條件，即p⇒q，q p.
∴[12，1] [a，a＋1]．
∴a≤12且a＋1≥1，得0≤a≤12.
18.（1） 或
（2）
19. 解：如圖，以 為原點(diǎn)， 為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系 ．
則 ， ．連結(jié) ， ．
在平面 中，延長(zhǎng) 交 于 ．設(shè) ，
由已知 ，由
可得 ．解得 ，所以 ．
（Ⅰ）因?yàn)?，
所以 ．即 與 所成的角為 ．
（Ⅱ）平面 的一個(gè)法向量是 ．
因?yàn)?，
所以 ．
可得 與平面 所成的角為 ．
20．解析：
取AB中點(diǎn)H，則由PA＝PB，得PH⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD．以H為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系H－ （如圖）．則
（I）證明：∵ ,
∴ ，
∴ ，即PD⊥AC． ………．．6分
（II） 假設(shè)在棱PA上存在一點(diǎn)E，不妨設(shè) =λ ，
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ， ………．．8分
∴
設(shè) 是平面EBD的法向量，則
，
不妨取 ，則得到平面EBD的一個(gè)法向量 ．
又面ABD的法向量可以是 =（0,0, ），
要使二面角E-BD-A的大小等于45°，
則
可解得 ，即 =
故在棱 上存在點(diǎn) ，當(dāng) 時(shí)，使得二面角E-BD-A的大小等于45°．
21．解析：
（Ⅰ）由題意：一條切線方程為： ，設(shè)另一條切線方程為：
則： ，解得： ，此時(shí)切線方程為：
切線方程與圓方程聯(lián)立得： ，則直線 的方程為
令 ，解得 ，∴ ；令 ,得 ,∴
故所求橢圓方程為
（Ⅱ）聯(lián)立 整理得 ，
令 ， ，則 ， ，
，即：
原點(diǎn)到直線 的距離為 ，
，
=
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，則 面積的最大值為1．
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