石家莊一中2015級高二級部第一學期開學考試數學試卷試卷Ⅰ一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．每小題選出答案后，請?zhí)钔吭诖痤}卡上．1．已知集合，則如圖所示韋恩圖中的陰影部分所表示的集合為（　C�。〢．　B．　C．　D．2．在下列命題中，不是公理的是（　A　）A．平行于同一個平面的兩個平面相互平行B．過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面C．如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在此平面內D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線3．下列函數中既不是奇函數也不是偶函數的是（　D�。〢．　B．　C．　D．4．過點且與直線平行的直線方程是（　D�。〢．　　 B．　　C．　　 D． 5．設，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（　B�。〢．若，，則　B．若，，則C．若，，則　D．若，，則6．為了得到函數的圖像，只需把函數的圖像（　B　）A．向左平移個長度單位　　　B．向右平移個長度單位 C．向左平移個長度單位　　　D．向右平移個長度單位7．等比數列，，，的第四項等于（　A�。〢．　　B．　　C．　　D．8．在中，角A、B、C所對的邊分別為、、，若，則的形狀為(　B　)A．銳角三角形　B．直角三角形　C．鈍角三角形　D．不確定9．（　C�。〢．　　B． C．　　D．10．已知點、、、，則向量在方向上的投影為（　A　）A．　　B．　　C．　　D．11．設是定義在實數集上的函數，滿足條件是偶函數，且當時，，則、、的大小關系是（　D�。〢．　　　B． C．　　D．12．設函數（，為自然對數的底數）．若存在使成立，則的取值范圍是（　B�。〢．　　B．　　C．　　D．試卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．答案填在答題紙相應的空內．13．，則 　***　 ．設變量滿足，若直線經過該可行域，則的最大值為已知三棱柱的6個頂點都在球的球面上，若，，，則球的為，各項均為正數的數列滿足，，若，則的值是 ．【解析】由題意得，，，…，，∵，且＞0，∴，易得==…====，∴+=+=．三、解答題：本大題共6小題，共70分．請將解答過程書寫在答題紙上，并寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（本題10分）被兩直線和截得線段的中點為，求直線的方程．17解：設所求直線與兩直線分別交于，則，　　　……………4分又因為點分別在直線上，則得，即解得，所求直線即為直線，所以為所求．……………10分18．（本題12分）已知函數，．(Ⅰ)求的值(Ⅱ)若，，求解：(Ⅰ)……………4分(Ⅱ)……………6分因為，，所以，…………所以， …所以……………12分19．（本題12分），，且與滿足，其中實數．（Ⅰ）試用表示；（Ⅱ）求的最小值，并求此時與的夾角的值．解：（I）因為，所以，，……3分，． …………6分（Ⅱ）由（1），…………9分當且僅當，即時取等號． …………10分此時，，，，所以的最小值為，此時與的夾角為　…………12分20．（本題12分）函數，若存在，使，則稱是的一個不動點函數（）對任意實數，函數恒有兩個相異的不動點，求的取值范圍；（）在（）的條件下，若的圖象上兩點的橫坐標是的不動點，且兩點關于直線對稱，求的最小值．解：（）∵函數恒有兩個相異的不動點，∴恒有兩個不等的實根，對恒成立，∴，得的取值范圍為．……………（）由得，由題知，，……………設中點為，則的橫坐標為，……………∴　，∴，當且僅當，即時等號成立，∴的最小值為．……………21．（本小題滿分12分）如圖幾何體中四邊形為菱形，，面∥面、、都垂直于面且為的中點為的中點(Ⅰ)求證為等腰直角三角形(Ⅱ)求二面角的余弦值．解:()連接，交于，因為四邊形為菱形，，所以因為、都垂直于面，，又面∥面，所以四邊形為平行四邊形，則因為、、都垂直于面，則 所以所以為等腰直角三角形……………6分(Ⅱ)取的中點，因為分別為的中點，所以∥以分別為軸建立坐標系則 所以 設面的法向量為，則，即且 令，則………8分設面的法向量為，則即且令，則則……………10分，二面角的余弦值為……………12分22．（本題12分）的前項和為，且，設．（Ⅰ）證明：數列是等比數列；（Ⅱ）求數列的前項和；（Ⅲ）設，，若數列的前項和為，求不超過的最大的整數值．22解：（Ⅰ）因為，所以 ①當時，，則，……………………1分②當時，，所以，即，所以，而，……………………3分所以數列是首項為，公比為的等比數列．……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以，．……………6分所以 ①，②，②-①得：，．………………8分（Ⅲ）由(1)知 ，………10分所以故　不超過的最大整數為．…………………………河北省石家莊市第一中學2015-2016學年高二上學期開學考試 數學理試題
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