江蘇省揚州中學2012—2013學年度第一學期期中考試
高 二 數 學 試 卷 2012年11月
（注：本試卷滿分160分，考試時間120分鐘，請將答案寫在答題紙上）
一、題（本大題共14小題，每小題5分，計70分）
1． 命題“若 ，則 ”的否命題為 ．
2．若“ ”是“ ”的必要不充分條件，則 的最大值為 ．
3．已知直線 的斜率為 ，則其傾斜角為 ．
4．橢圓 的焦距為 ．
5．經過點 且與直線 平行的直線方程是 ．
6．當 時，直線 必過定點 ．
7．已知點 和 在直線 的兩側，則實數 的取值范若圍是 ．
8．以點 為圓心且與直線 相切的圓的方程為 ．
9．直線 被圓 截得的弦長為等于 ．
10．已知 為橢圓 的左右焦點，弦 過 ,則 的周長為 ．
11．已知圓 經過橢圓 的一個頂點和一個焦點，則此橢圓的離心率 ．
12．拋物線 上的點 到焦點 的距離為5， 為坐標原點，則 的面積為 ．
13．若實 數 滿足 ，則 的取值范圍是 ．
14．過橢圓 的左頂點A的斜率為 的直線交橢圓 于另一點 ，且點 在 軸上的射影為右焦點 ,若 ，則橢圓的離心率 的取值范圍是 ．

二、解答題（本大題共6小題，計90分
15．（本題滿分14分）已知命題 ；命題 關于 的方程 在實數集內沒 有解；若 和 都是真命題,求 的取值范圍.

16．（本題滿分14分）已知三點 、 （－6，0）、 （6，0）.
（Ⅰ）求以 、 為焦點且過點P的橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設點P、 、 關于直線y＝x的對稱點分別為 、 、 ，求以 、 為焦點且過點 的雙曲線的標準方程.
17．（本題滿分15分）已知點 ，直線 .求：
(1)過點A與 垂直的直線方程；
(2)求過點A的直線與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形面積的最小值及此時的直線方程．
18．（本題滿分15分）投資生產A產品時，每生產100t需要獎金200萬元，需場地2002，可獲利潤300萬元；投資生產B產品時，每生產100需要資金300萬元，需場地1002，可獲利潤200萬元，現某單位可使用資金1400萬元，場地900 2，問：應作怎樣的組合投資，可使獲利最大？

19．（本題滿分16分）如圖，圓弧BCD的圓心P在y軸上，直線AB切圓弧于點B，若A（-3，0），
C（0，2+1），D（1，0）.
（1）求曲線ABCD的方程；
（2）求曲線ABCD和 x軸圍成的圖形面積 .

20．（本題滿分16分）已知橢圓 ,過點 作直線 與橢圓交于 , 兩點．
⑴若點 平分線段 ，試求直線 的方程；
⑵設與滿足⑴中條件的直線 平行的直線與橢圓交于 兩點， 與橢圓交于點 ， 與橢圓交于點 ，求證： ∥


請將19、20題做在反面
高二數學期中試卷答案
1. 若 ，則 2.-1 3. 4.2 5. 6.（1,1） 7. 8. 9. 10. 811. 12.2 13. 14.
15. 解： , 或 .故命題p為真命題時, 或 .又命題q：方程 在實數集內沒解, , .故命題q為真命題時 .
= . 的取值范圍是 。
16．解：（1）由題意，可設所求橢圓的 標準方程為 (a>b>0),其半焦距c=6.
2a=PF1+PF2= + = .
∴a=3 ,b2=a2-c2=45-36=9.
∴所求橢圓的標準方程為 .
(2)點P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）關于直線y=x的對稱點分別為P′(2,5)、F1′（0，-6）、F2′(0,6).
設所求雙曲線的標準方程為
(a1>0,b1>0).
由題意知，半焦距c1=6,
2a1=P′F1′-P′F2′= - = .
∴a1= ,b12=c12-a12=36-20 =16.
∴所求雙曲線的標準方程為 .
17．解: (1)直線 的斜率為 .
所以所求直線方程為: ,即 .
(2)設過 點的直線方程為: ,則與 軸正半軸交點的坐標為 與 軸正半軸交點的坐標為 .
根據題意有 解得 .
此時,所求三角形的面積為: .
又 .
所以三角形面積的最小值為: =12.
此時 .此時直線的方程為: .
18．解： 設生產A產品 百噸，生產B產品 百米，利潤為 百萬元，則約束條件為
目標函數為
作出可行域（如圖），將目標函數 變形為 ，這是斜率為 ，隨 變化的一族直線， 是直線在 軸上的截距，當 最大時 最大，但直線要與可行域相交。
由如圖知，使 取得最大值的 是兩直線 與 的交點 ，此時 ，
答：生產A產品325t，生產B產品250時，獲利最大，且最大利潤為1475萬元。

19．（1）設圓的方程為：x2 +（y-b）2=r2，將C、D的坐標代入，得
（2+1-b）2=1+ b2，解得b=1，r2=2，
所以圓的方程為x2 +（y-1）2=2.
又設lAB：y=k（x+3），則3k-1k2+1=2，k2-6k-1=0 ，k=1或k=-17（舍去），
∴l(xiāng)AB：x- y +3=0.
lPB：x +y- 1=0，所以得點B（- 1，2）.
所以曲線ABCD的方程為：
x- y +3=0（-3≤x≤- 1）及x2 +（y-1）2=2（-1＜x≤2且0≤y≤2+1）.
（2）∵kPB= kPD =- 1，∴B、P、D三點共線，即BCD?為半圓，
∴曲線ABCD和x軸圍成的圖形面積= 12×4×2+π= 4+π.
解：⑴ ，則有
① 　　　�、�
①－②得 ，
即 ，得
故直線 的方程為 ，即
⑵設 ，且 ，
則有 ，即 ，
將點 的坐標分別代入橢圓方程：
① ②
②× ①得
易知 ，故約去 得 ③
同理有 ④
由④－③得
由已知 斜率為 ，有 ，
得 ，即 ，即 ，所以 ∥

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