例1. 已知a，b，c，d都是正數(shù)，并且。
求證：
證明：作和，使斜邊，，（如圖1）。
圖1
由得：
又
所以
又
所以
即
例2. A、B兩地相距64千米，甲騎車比乙騎車每小時少行4千米。如果甲、乙兩人分別從A、B兩地相向而行，甲比乙先行40分鐘，兩人相遇時所行的路程正好相等。求甲、乙兩人騎車的速度各是多少？
解：如圖2所示，AB表示A、B兩地相距64千米，AC⊥AB
圖2
設AC＝x，表示甲的行駛速度，作BD⊥AB
設BD＝x＋4，表示乙的行駛速度，在AB上，取，表示甲在40分鐘所行的路程，⊥AB，且＝x，連結與AB交于E，表示甲、乙各在A、B處同時相向而行并相遇于E點，于是
由，得
解得：（舍去）
于是
即甲、乙兩人騎車的速度分別為12千米/小時和16千米/小時。
例3. 甲對乙說：“當我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4歲。”乙對甲說：“當我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將61歲。”請你算一算甲、乙現(xiàn)在的各自歲數(shù)。
圖3
解：如圖3，畫兩條直線分別表示甲、乙的年齡，設乙現(xiàn)在的年齡為x歲，從圖形中可以很直觀地看到。當甲為x歲時，乙為4歲；當乙為x歲時，甲為歲；當乙為歲時，甲為61歲。
根據(jù)甲、乙的年齡差不變，可得
解得：
所以
答：甲現(xiàn)在42歲，乙現(xiàn)在23歲。
例4. 設a，b，c都是正實數(shù)，求證：
證明：時，顯然成立。由于a，b的地位相同，不妨假設，這時要證的不等式轉化為。
圖4
作△ABC（如圖4），CA＝CB，CD為底邊AB上的高，E為CD上的一點，使得，由勾股定理得：
又
在△CBE中，
即
綜上，命題得證。
例5. 設a，b，c，d均為正數(shù)，滿足，且a為最大。求證：。
證明：不妨取線段，在AC上取一點B，使，則，以BC為直徑作⊙O，如圖5。
圖5
設，作割線（或切線）交⊙O于E，作OF⊥AD，F(xiàn)為垂足 初中學習方法。
因為
即
因為，所以
又
在中，AO＞AF
所以即有
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