【—實(shí)數(shù)相關(guān)公理】實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類，或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)兩類，或正實(shí)數(shù)，負(fù)實(shí)數(shù)和零三類。

　　實(shí)數(shù)相關(guān)公理

　　從有理數(shù)構(gòu)造實(shí)數(shù)

　　實(shí)數(shù)可以用通過收斂于一個(gè)唯一實(shí)數(shù)的十進(jìn)制或二進(jìn)制展開如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定義的序列的方式而構(gòu)造為有理數(shù)的補(bǔ)全。實(shí)數(shù)可以不同方式從有理數(shù)構(gòu)造出來。這里給出其中一種，其他方法請(qǐng)?jiān)斠妼?shí)數(shù)的構(gòu)造。

　　公理的方法

　　設(shè) R 是所有實(shí)數(shù)的集合，則：

　　集合 R 是一個(gè)域： 可以作加、減、乘、除運(yùn)算，且有如交換律，結(jié)合律等常見性質(zhì)。

　　域 R 是個(gè)有序域，即存在全序關(guān)系≥ ，對(duì)所有實(shí)數(shù) x, y 和 z：

　　若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z;

　　若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0。

　　集合 R 滿足完備性，即任意 R 的有空子集S ( S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 內(nèi)有上界，那么 S 在 R 內(nèi)有上確界。

　　最后一條是區(qū)分實(shí)數(shù)和有理數(shù)的關(guān)鍵。例如所有平方小于 2 的有理數(shù)的集合存在有理數(shù)上界，如 1.5;但是不存在有理數(shù)上確界(因?yàn)?√2 不是有理數(shù))。

　　實(shí)數(shù)通過上述性質(zhì)唯一確定。更準(zhǔn)確的說，給定任意兩個(gè)有序域 R1 和 R2，存在從 R1 到 R2 的唯一的域同構(gòu)，即代數(shù)學(xué)上兩者可看作是相同的。

　　總結(jié)來說，實(shí)數(shù)是數(shù)學(xué)名詞。是有理數(shù)和無理數(shù)的總稱。

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